(146)--基础综合测试卷（三卷合一）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

2026 年全国硕士研究生招生考试
基础摸底测试（高数、线代）（三卷合一）
一、选择题:1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是最符合题目要求的.
1.当
1
x  0 时， f ( x )  x  s i n a x 与g(x) x2ln(1bx)是等价无穷小量，则
1 1
（A）a1,b . （B）a1,b .
6 6
（C） a   1 , b  
1
6
. （D） a   1 , b 
1
6
.
2.函数 f ( x ) 
x
s i

n
x

3
x
的可去间断点的个数为
（A） 1 . （B） 2 . （C）3. （D）无穷多个.
3.使不等式 
x
1
s i n
t
t
d t  l n x 成立的 x 的范围是
（A） ( 0 , 1 )
   
. （B） 1, . （C） , . （D）(,).
 2 2 
4.（数二）若 f ( x ) 不变号，且曲线 y  f ( x ) 在点 (1 , 1 ) 上的曲率圆为 x 2  y 2  2 ，则函数
f ( x ) 在区间 (1 , 2 ) 内
（A）有极值点，无零点. （B）无极值点，有零点.
（C）有极值点，有零点. （D）无极值点，无零点.
（数一、三）设有两个数列  a
n
 ,  b
n
 ，若 ln i m

a
n
 0 ，则
（A）当

n
 1
b
n

收敛时， a b 收敛. （B）当
n n
n1

n
 1
b
n

发散时， a b 发散.
n n
n1
（C）当

n
 1
b
n

收敛时， a2b2 收敛. （D）当
n n
n1

n
 1
b
n

发散时， a2b2 发散.
n n
n1
5.设函数y  f(x)在区间[1,3]上的图形如图所示，则函数
2
F ( x )  
x
0
f ( t ) d t 的图形为
（A）. （B）.
（C）. （D）.
6.设函数z  f(x,y)的全微分为dz  xdx ydy，则点 ( 0 , 0 )
（A）不是 f ( x , y ) 的连续点. （B）不是 f ( x , y ) 的极值点.
（C）是 f ( x , y ) 的极大值点. （D）是 f ( x , y ) 的极小值点.
7.如图，正方形

( x , y ) | x  1 , y  1

被其
对角线划分为四个区域 D
k
( k  1 , 2 , 3 , 4 ) ，
I
k
 D k y c o s x d x d y ，则maxI 
k
1k4
（A） I
1
. （B）I .
2
（C） I
3
. （D） I
4
.
2 2 2 4y
8.设函数 f(x,y)连续，则 dx f(x,y)dy dy f(x,y)dx 
1 x 1 y2 4x 2 4x
（A） dx f(x,y)dy. （B） dx f(x,y)dy.
1 1 1 x
2 4y
（C） dy f(x,y)dx. （D）
1 1
3

2
1
d y 
2
y
f ( x , y ) d x .
9.设 A , B 均为 2 阶矩阵， A * , B * 分别为A,B的伴随矩阵，若 A  2 , B  3 ，则分块矩阵
 O
B
A
O

的伴随矩阵为
（A）

2
O
A *
3 B
O
* 
. （B）

3
O
A *
2 B
O
* 
.
 O 3A*  O 2A*
（C） . （D） .
2B* O  3B* O 
10.（数二、三）设 A , P 均为 3 阶矩阵， P T 为 P 的转置矩阵，且 P T A P 
 1
0
0
0
1
0
0
0
2

.若
P  ( α
1
, α
2
, α
3
) , Q  ( α
1
 α
2
, α
2
, α
3
) ，则 Q T A Q 为
2 1 0
 
（A） 1 1 0 . （B）
 
 
0 0 2
 
 1
1
0
1
2
0
0
0
2

.
（C）
 2
0
0
0
1
0
0
0
2

. （D）
 1
0
0
0
2
0
0
0
2

.
（数一）设 α ,α ,α 是
1 2 3
3 维向量空间 R 3 的一组基，则由基 α
1
,
1
2
α
2
,
1
3
a
3
到基
α
1
 α
2
, α
2
 α
3
, α
3
 α
1
的过渡矩阵为
（A）
 1
2
0
0
2
3
1
0
3

. （B）
 1
0
1
2
2
0
0
3
3

.
 1 1 1  1 1 1 
 
   
2 4 6 2 2 2
   
 1 1 1   1 1 1
（C）  . （D） 
 2 4 6   4 4 4
   
1 1 1 1 1 1
    
   
 2 4 6   6 6 6 二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.
11（. 数一）若二阶常系数线性齐次微分方程
4
y   a y   b y  0 的通解为 y  ( C
1
 C
2
x ) e x ，
则非齐次方程 y   a y   b y  x 满足条件y(0)2,y(0)0的解为 y  .
（数二）设 y  y ( x )
d2y
是由方程xyey  x1确定的隐函数，则 = .
dx2
x0
eecosx
（数三）lim  .
x0 31x2 1
12.（数一、二）曲线
 x
y
=

 1
0
t

2
t e
l n
2  u
( 2
d

u ,
2 t )
在 ( 0 , 0 ) 处的切线方程为 .
（数三）设某产品的需求函数为 Q  Q ( p ) ，其对价格 p 的弹性 0.2，则当需求量为
p
1 0 0 0 0 件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.
13.（数一）设函数 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数， z  f ( x , x y ) ，则


x
2

z
y
 .
（数二、三）函数 y  x 2 x 在区间 ( 0 ，1 ] 上的最小值为 .
14.（数一）设  (x,y,z) x2  y2 z2 1  ，则z2dxdydz  .

（数二）已知 
 
 
e k x d x  1 ，则k  .
（数三）设 z  ( x  e y ) x ，则


z
x
1 ,0 
 .
15.（数一）已知曲线 L : y  x 2 ( 0  x  2 ) ，则 xds  .
L
1
（数二）lim exsinnxdx .
n 0
（数三）幂级数

n
 1
e n 
n
( 
2
1 ) n
x n 的收敛半径为 .
16.（数一）若3维列向量α,β满足 α T β  2 ，其中 α T 为α的转置，则矩阵 β α T 的非零特征
值为 .（数二）设
5
α , β 为 3 维列向量， β T 为 β 的转置.若矩阵 α β T
2 0 0
 
相似于 0 0 0 ，则
 
 
0 0 0
 
β T α  .
（数三）设α (1,1,1)T， β  ( 1 , 0 , k ) T . 若矩阵 α β T 相似于
 3
0
0
0
0
0
0
0
0

，则 k  .
三、解答题:17~22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分10分)
（数一）求二元函数 f ( x , y )  x 2 ( 2  y 2 )  y l n y 的极值.
（数二）求极限 l i m
x  0
( 1  c o s x )  x
s i

n 4
l n
x
( 1  t a n x ) 
.
（数三）计算不定积分  l n

1 
1 
x
x 
d x ( x  0 ) .
18.(本题满分12分)
（数一）设 a
n
为曲线 y  x n 与 y  x n  1 ( n  1 , 2 , )

所围成区域的面积，记S a ，
1 n
n1
S
2


n
 1
a
2 n  1
，求 S
1
与 S
2
的值.
（数二）设非负函数 y  y ( x ) ( x  0 ) 满足微分方程 x y   y   2  0 ，当曲线 y  y ( x ) 过原
点时，其与直线 x  1 及 y  0 围成平面区域 D 的面积为 2 ，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体
积.
（数三）设曲线 y  f ( x ) ，其中 f ( x ) 是可导函数，且 f ( x )  0 . 已知曲线 y  f ( x ) 与直
线y0， x  1 及xt (t 1)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲
边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程.
19.(本题满分12分)（数一）椭球面S 是椭圆
1
6
x
4
2

y
3
2
 1 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S
2
是过点 ( 4 , 0 ) 且与椭圆
x
4
2

y
3
2
 1 相切的直线绕 x 轴旋转而成.
（Ⅰ）求S 及S 的方程；
1 2
（Ⅱ）求 S
1
与 S
2
之间的立体体积.
（数二）设y y(x)是区间(,)内过



2
,

2

的光滑曲线.当    x  0 时，曲线上
任一点处的法线都过原点；当 0  x   时，函数 y ( x ) 满足 y   y  x  0 .求 y ( x ) 的表达式.
（数三）设 z  f ( x  y , x  y , x y ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 d z 与


x
2

z
y
.
20.(本题满分12分)
（数一）计算曲面积分 I   
x d y d
(
z
x

2 
y d
y
z
2
d

x 
z 2
z
)
d
32
x d y
，其中  是曲面2x2 2y2 z2 4
的外侧.
（数二、三）计算二重积分  D ( x  y ) d x d y ，其中 D   ( x , y ) ( x  1 ) 2  ( y  1 ) 2  2 , y  x  .
21.（本题满分12分）
设
A 
 1

0
1

1

1
4

1

1
2

， ξ
1

 
1

1
2

（Ⅰ）求满足Aξ ξ ，A2ξ ξ 的所有向量
2 1 3 1
ξ
2
, ξ
3
；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ ,ξ ，证明ξ ,ξ ,ξ 线性无关.
2 3 1 2 3
22.（本题满分12分）
设二次型
f(x ,x ,x )ax2 ax2 (a1)x2 2x x 2x x
1 2 3 1 2 3 1 3 2 3（Ⅰ）求二次型
7
f 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y 21  y 22 ，求 a 的值.