(108)--笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

高数基础班（17）
17 多元函数微分法及举例（复合函数微分法；隐函数微分法） P195-P206
主讲 武忠祥 教授第二节 多元函数微分法
本节内容要点
一. 考试内容概要
(一）复合函数微分法
（二）隐函数微分法
二. 常考题型与典型例题
题型一 复合函数的偏导数与全微分
题型二 隐函数的偏导数与全微分考试内容概要
（一）复合函数的微分法
定理4 设 在点 处有对 及对
u  u( x, y), v  v( x, y) (x, y) x y
的偏导数, 函数 在对应点 处有连续偏
z  f (u,v) (u,v)
导数,则 在点 处的两个偏导数
z  f [u(x, y),v(x, y)] (x, y)
存在, 且有
z z u z v z z u z v
  ,  
x u x v x y u y v y
全微分形式的不变性
设函数 z  f (u,v), u  u( x, y) 及 v  v( x, y) 都有连续的
一阶偏导数,则复合函数 的全微分
z  f [u(x, y),v(x, y)]
z z z z
d z  d x  d y  du  dv.
x y u v（二）隐函数的微分法
1）由方程 F(x, y)  0 确定的隐函数 y  y( x)

F
y    x .

F
y
2）由方程 确定的隐函数
F( x, y, z)  0 z  z( x, y)
若 在点 的某一邻域内有连续
F(x, y, z) P(x , y , z )
0 0 0
偏导数,且 则方程
F(x , y , z )  0, F  (x , y , z )  0.
0 0 0 z 0 0 0
在点 的某邻域可唯一确定一个
F(x, y, z)  0 (x , y , z )
0 0 0
有连续偏导数的函数 z  z(x, y), 并有

z F  z F
  x ,   y .
x F  y F 
z z常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
复合函数及隐函数的偏导数与全微分的计算一.复合函数偏导数与全微分
sin t
xy
【例1】(2011年1）设函数 ，则
F(x, y)   d t
0 1  t 2
2
F
 _______ .
x 2
x0
y2
F ysin xy
【解1】 
x 1  x 2 y 2
2 F y 2 cos( xy)(1  x 2 y 2 )  2xy 3 sin xy

x 2 (1  x 2 y 2 ) 2
2
F
故
 4.
x 2
x0
y2sin t
xy
【例1】(2011年1）设函数 ，则
F(x, y)   d t
0 1  t 2
2
F
 _______ .
x 2
x0
y2
F ysin xy 2sin 2x
【解2】  F (x,2) 
x 1  x 2 y 2 x 1  4x 2
2
F 2sin 2x
 F (0,2)  lim
x 2 x0 xx x0 x(1  4x 2 )
y2
4x
 lim  4
x0 x(1  4x 2 )x
x
【例2】(2011年3）设 z  (1 ) y , 则 dz  _________ . [(12ln2)(dx dy)]
y (1,1)
【解1】
【解2】【例3】(2007年,1)设 f (u,v) 为二元可微函数， z  f (x y , y x ) ，
z
则 [yxy1f  yx ln yf ]
 _________ . 1 2
x
【解1】
【解2】【例4】(2024,数一）设函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且 df  3du  4dv,
(1,1)
2
d y
令 y  f (cos x,1  x 2 ), 则  ____________ .
2
dx
x0
【解1】由 df  3du  4dv, f  (1,1)  3, f  (1,1)  4.
u v
(1,1)
dy
 f  (u,v)( sin x)  f  (u,v)(2x)
u v
dx
2
d y  d   d 
 f  (u,v) ( sin x)  f  (u,v)( cos x)  f  (u,v) (2x)  2 f  (u,v)
   
2 u v v
dx dx  dx 
2
d y
  f  (1,1)  2 f  (1,1)  5
2 u v
dx
x0
【解2】令
f (u,v)  3u  4v
y  f (cos x,1  x 2 )  3cos x  4(1  x 2 )【例5】(2019年3) 设函数 具有2阶连续偏导数,函数
f (u,v)
2
g
2
g
2
g
g(x, y)  xy  f (x  y, x  y), 求   .
[13f  f ]
x 2 xy y 2 11 22
【解】【例6】(2009年2)设 z  f (x  y, x  y, xy) ,其中 f 具有二阶
2
z
连续偏导数，求 与
.
d z
xy
z z
【解】  f   f   yf   f   f   xf 
x 1 2 3 y 1 2 3
z z
d z  d x  d y  ( f   f   yf  )d x  ( f   f   xf  )d y
x y 1 2 3 1 2 3
2
z
 f   f   xf   f   f   xf   f   y( f   f   xf  )
xy 11 12 13 21 22 23 3 31 32 33
 f   (x  y) f   f   (x  y) f   xyf   f 
11 13 22 23 33 3【例7】(2011年1,2) 设函数 z  f (xy, yg(x)) ,其中函数 f
具有二阶连续偏导数，函数 g(x) 可导且在 x  1 处取得极值
2
z
g(1)  1. 求 .
xy
x1
y1
【解1】由 知
z  f (xy, yg(x))
z
 yf   yg  (x) f  ,
x 1 2
2
z
 f  y[xf   g(x) f  ] g  (x) f   yg  (x)[xf   g(x) f  ].
xy 1 11 12 2 21 22
由题意 g(1)  1, g  (1)  0, 在上式中令 x  1, y  1 得
2
z
 f  (1,1)  f  (1,1)  f  (1,1).
xy 1 11 12
x1
y1【例7】(2011年1,2) 设函数 z  f (xy, yg(x)) ,其中函数 f
具有二阶连续偏导数，函数 g(x) 可导且在 x  1 处取得极值
2
z
g(1)  1. 求 .
xy
x1
y1
【解2】由 知
z  f (xy, yg(x))
z
 yf   yg  (x) f  ,
x 1 2
由题意 g(1)  1, g  (1)  0, 在上式中令 x  1 得
z (1, y)  yf  ( y, y)
x 1
z (1, y)  f  ( y, y)  y[ f  ( y, y)  f  ( y, y)]
xy 1 11 12
2
z
 f  (1,1)  f  (1,1)  f  (1,1).
xy 1 11 12
x1
y1【例8】(2014年1,2）设函数 具有二阶连续导数，
f (u)
2
z
2
z
z  f (e x cos y) 满足   (4z  e x cos y)e 2x .
x 2 y 2
若 f (0)  0, f  (0)  0, 求 f (u) 的表达式。
【解】令 e x cos y  u, 则
z z
 f  (u)e x cos y,   f  (u)e x sin y,
x y
2
z
 f  (u)e 2x cos 2 y  f  (u)e x cos y
x 2
2
z
 f  (u)e 2x sin 2 y  f  (u)e x cos y
y 2
f  (u)  4 f (u)  u f  (u)  4 f (u)  u
f (u)  C e 2u  C e 2u f   au  b,
1 21
a   ,b  0.
4
1
f (u)  C e 2u  C e 2u  u
1 2
4
f (0)  0, f  (0)  0
1 1
C  ,C   ,
1 2
16 16
1
f (u)  (e 2u  e 2u  4u)
16二、隐函数的偏导数与全微分
【例9】(2015年2，3）若函数 z  z(x, y) 由方程
e x2y3z  xyz  1 确定，则 dz  ________ .
(0,0)
【解1】由 知
x  0, y  0 z  0
方程 e x2y3z  xyz  1 两端微分得
e
x2y3z
(dx  2dy  3dz)  yzdx  xzdy  xydz  0
将 x  0, y  0, z  0 代入上式得
dx  2dy  3dz  0
1
则 dz   (dx  2dy).
(0,0) 3【例9】(2015年2，3）若函数 z  z(x, y) 由方程
e x2y3z  xyz  1 确定，则 dz  ________ .
(0,0)
【解2】由 知
x  0, y  0 z  0
dz  z (0,0)dx  z (0,0)dy
(0,0) x y
在 e x2y3z  xyz  1 中令 y  0 得， e x3z  1, 两边对 x 求导得
e
x3z
(1  3z )  0,
x
1
z (0,0)  
x
3
2
同理可得 z (0,0)  
y
3
1
则 dz   (dx  2dy).
(0,0) 3【例10】(2024,数三）设函数 z  z(x, y) 由方程 z  e x  y ln(1  z 2 )  0 确定,求
2
z
2
z
(  ) .
x 2 y 2
(0,0)
【解】由 z  e x  y ln(1  z 2 )  0 可知 z(0,0)  1 ，且
z 2 yz z z
 e x   0,  1.
x 1  z 2 x x
(0,0)
z 2 z 2 z
上式中令 y  0 得  e x  0 ，  e x  0,  1.
x x 2 x 2
(0,0)
等式 z  e x  y ln(1  z 2 )  0 两端对 y 求偏导得
2
z
2
z
(  )  1  2ln 2
z 2 yz z z
 ln(1  z 2 )   0,  ln 2.
x 2 y 2
(0,0)
y 1  z 2 y y
(0,0)
2 z 2z z 2z z   2z z  2 z
   y    0,  2ln 2.
y 2 1  z 2 y 1  z 2 y y  1  z 2 y  y 2
(0,0) y z 
【例11】(2010年1,2）设函数 z  z(x, y) 由方程 F ,   0
 x x 
z z
确定，其中 为可微函数,且 F   0 ，则 x  y （ ）．
F
2 x y
（ A ） x （B ） z （ C ）  x （D）  z
y z 1
 F  F F
z x 2 1 x 2 2 z x 1
【解】   ,   ,
x 1 y 1
F F
2 2
x x
y z y
 F  F F
z z 1 2 1
x x x
x  y     z
x y 1 1
F F
2 2
x x
故应选（B）.【例12】(2001年3）设 u  f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，
又函数 y  y(x) 及 z  z(x) 分别由下列两式确定：
xz sin t d u
e xy  xy  2 和 e x   d t, 求 .
0 t d x
d u f f d y f d z
【解1】    . (1)
d x x y d x z d x
由 e xy  xy  2 两边对 x 求导，得
 d y   d y  d y y
e xy  y  x    y  x   0,   .
 d x   d x  d x x
xz sin t
又由 e x   d t 两边对 x 求导，得
0 t
sin( x  z)  d z  d z e x (x  z)
e x   1  ,  1  .
x  z  d x  d x sin( x  z)
d u f y f  e x (x  z)  f
   1  .
 
d x x x y  sin( x  z) z【例12】(2001年3）设 u  f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，
又函数 y  y(x) 及 z  z(x) 分别由下列两式确定：
xz sin t d u
e xy  xy  2 和 e x   d t, 求 .
0 t d x
f f f
【解2】 d u  dx  dy  dz (1)
x y z
等式 e xy  xy  2 两端微分得
y
e xy ( ydx  xdy)  ( ydx  xdy)  0, dy   dx
x
xz sin t
等式 e x   d t 两端微分得
0 t
sin( x  z) e x (x  z)
e x dx  (dx  dz) dz  (1  )dx.
x  z sin( x  z)
f y f  e x (x  z)  f
du  [   1  ]dx
 
x x y  sin( x  z) z【例13】(2008年3）设 z  z(x, y) 是由方程 x 2  y 2  z 
(x  y  z) 所确定的函数,其中 具有二阶导数，且   1.
（I）求
d z
1  z z  u
（II）记 u(x, y)    ，求
x  y  x y  x
【解1】（I）设 ，则
F(x, y, z)  x 2  y 2  z (x  y  z)
z F  2x  z F  2 y 
  x    y 
x F  1  y F  1 
z z
z z 1
d z  d x  d y  [(2x  )d x  (2 y  )d y].
x y 1 
2
（II）由于 ，所以
u(x, y) 
1

u  2  z  2(2x  1)
 1     .
x (1  ). 2  x 
(1

)
3【例13】(2008年3）设 z  z(x, y) 是由方程 x 2  y 2  z 
(x  y  z) 所确定的函数,其中 具有二阶导数，且   1.
（I）求
d z
1  z z  u
（II）记 u(x, y)    ，求
x  y  x y  x
【解2】（I）对等式 x 2  y 2  z  (x  y  z) 两端求微分，得
2x d x  2 y d y  d z   (d x  d y  d z).
解出 d z ，得
2x

2 y

d z  d x  d y.
1

1

（II）同解1 .