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专题 18 圆综合
考情概览
考点1 圆综合
考点 1 圆综合
1．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作 的两条切线，切点分别为A，B，连接 ，
， ，取 的中点C，连接 并延长，交 于点D，连接 ．
(1)求证： ；
(2)延长 交 的延长线于点E．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) 长为44．
【分析】（1）利用切线长定理得 平分 ，利用圆周角定理得 ，
等量代换即可证明；
（2）延长 交 于点F，连接 ，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角
形相似，最后根据相似求得 长．
【详解】（1）证明： ， 分别切 于A点，B点，
平分 ，
，又 ，
，
．
（2）延长 交 于点F，连接 ，则 ，
， 分别切 于A点，B点，
C为 的中点，
，
，
又 ， ，
，
，
， ，
，
，
又 ，
，
， ，
， ，
，，
．
【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角
形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅
助线是解题的关键．
2．（2024·北京·中考真题）如图， 是 的直径，点 ， 在 上， 平分
.
(1)求证： ；
(2)延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于
点 .若 ， ，求 半径的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得 ，结合 ，得到 ，继而得
到 ，根据 平分 ，得到 ，继而得到 ，
可证 ；
（2）不妨设 ，则 ，求得
，证明 ， ，求得 ，取 的中点M，连接 ，则 ，求得 ， ，结合切线性质，
得到 ，解答即可.
【详解】（1）根据题意，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
不妨设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
取 的中点M，连接 ，
则
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，∴ ，
∴ ，
解得 ，
故 半径的长为 .
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和
性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判
定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键.
3．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ，
平分 ， ．
(1)求证 平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出 ，则 ，即可证明 平分 ，进而根据 平分 ，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得
；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出， ， 是等边三角形，进而得出
，由 是直径，根据含 度角的直角三角形的性质可得
，在 中，根据含 度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可
求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直径，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是直径，∴ ，则 ．
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴此圆半径的长为 ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直
角，含 度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·北京·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的一条弦， 连接
(1)求证：
(2)连接 ,过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，若 为
的中点，求证：直线 为 的切线．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析【分析】（1）设 交 于点 ，连接 ，证明 ，故可得
，于是 ，即可得到 ；
（2）连接AD，解出 ，根据 为直径得到 ，进而得到
，即可证明 ，故可证明直线 为 的切线．
【详解】（1）证明：设 交 于点 ，连接 ，
由题可知，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：
连接 ，
，，
同理可得： , ，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
直线 为 的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，
直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的
关键．
5．（2021·北京·中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，
于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为5，
，求 和 的长．
【答案】（1）见详解；（2） ，【分析】（1）由题意易得 ，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有 ，进而可
得 ，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为5，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂
径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．1．（2025·北京大兴·一模）如图， 内接于 ， ，过点 作 的切线
交 延长线于点 ， 是 的直径．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 并延长，交 于点F，连接 ，利用切线的性质定理得到
，利用圆周角定理得到 ，再利用平行线的判定定理解答即可；
（2）连接 ，过点C作 于点F，利用平行线的性质和直角三角形的边角关
系定理求得 ，利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质，正方形的判
定与性质得到 ，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得 ，
则结论可求．
【详解】（1）证明：连接 并延长，交 于点F，连接 ，如图，
则 为 的直径，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，过点C作 于点F，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的判
定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，矩形与正方形的
判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的
半径是解决此类问题常添加的辅助线．
2．（2025·北京丰台·一模）如图， ， 是 的直径，点 在 上，连接 交
于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 的切线交 的延长线于点 ．若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的长为 ．
【分析】（1）证明 ，利用垂径定理即可证明 ；
（2）设 ，则 ， ，证明 ，推出， ，求得 ， ，
得到 ，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ， ，
∵ 是 的切线， 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，即 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
整理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定
和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
3．（2025·北京东城·一模）如图，在 中， 为直径， 为弦， ，垂足为
，过点 作 的切线，与 的延长线交于点 ．
(1)求证： ；(2)若 的半径为2， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 于点 ，得 ，由切线的性质得 ，即可
由 ， ，且 ，证明 ；
（2）由 的半径为2，得 ，因为 ，所以 ，由
，求得 ，则 ．
【详解】（1）证明： ，垂足为 ，
，
与 相切于点 ，
，
，
， ，且 ，
．
（2）解： 的半径为2， ，
，
， ，
，
，
，
，
的长是 ．
【点睛】此题重点考查切线的性质、等角的余角相等、勾股定理、垂径定理、解直角三角
形等知识，推导出 ，进而证明 是解题的关键．4．（2025·北京石景山·一模）如图， 是 的直径，点C在 上， 交
于点D，过点D作 的切线交 的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)过点B作 交 于点M．若 ， ，求 半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的
性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）延长 交 于F，先证明 ， ，则可证明四边形 是
矩形，得到 ，再证明 ，推出 ，即可证明 ；
（2）先证明 ，得到 ，即 ，设 ，
则 ， ，解直角三角形得到 ； ，
则 ，由相似三角形的性质得到 ，由矩形的性质得到
，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，延长 交 于F，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ 半径的长为20．
5．（2025·北京顺义·一模）如图， 是 的直径， ， 交 于点 ，过点
作 的切线交 于点 ．(1)求证： ；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角
形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接 ，利用等腰三角形的性质得到 ，继而得到 ，根据切
线的性质得到 ，得出 ，即可得到结论；
（2）连接 ，得到 ，继而得到 ，求出
， ．得到 ．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
．
，
．
．
．
．
是 的切线，
．
．
．
．（2）解：如图，连接 ．
是 的直径，
．
∵ ，
是 的中点．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
6．（2025·北京朝阳·一模）如图， 是 的内接三角形， ，点P在
的延长线上， ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 半径的长．
【答案】(1) 是 的切线
(2)1
【分析】（1）先利用圆周角定理证得 ，再根据平行线的性质，求得
，然后利用切线的判定得出结论；
（2）先证明 ，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设 ，接着用
表示出 ，然后利用勾股定理求得 ，代入比例式中，求得 ，再利用线段的和求
得 ，得到关于 的方程，求出 ，最后求出 ．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
，
．
，
．
∵ 是半径，
是 的切线．
（2）设 与 相交于点D．
，
．
∵ ，
．，
，
．
，
．
设 ，则 ．
∴在 中， ．
．
．
．
，
，
．
．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性
质求角度，解题的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长．
7．（2025·北京西城·一模）如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ，作直线
，交直线 于点E，交 的角平分线于点D，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)连接 交 于点F．若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定
与性质、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关
键．
（1）由角平分线的定义以及已知条件可证明 可得 ，进而
得到 即可证明结论；
（2）如图：连接 ．易证 可得 、
，进而得到 ，易证 可得 ，则
、 、 ，根据特殊角的三角函数值可得 ，则
，进而得到 ，然后求得 即可解答．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
．
，
．
．
，垂足是C，
．
．
∴半径 ．
∴ 是 的切线．
（2）解：如图：连接 ．．
，
．
．
， ，
，
．
．
，
．
，
．
．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，即 的半径为 ．
8．（2025·北京平谷·一模）如图， 为 的直径，点 为 外一点， ，连接
交 于点 ，连接 ，过 作 的切线交 的延长线于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由 ，得 ，由 ，得 ，所以
，则 ；
（2）连接 ，作 于点F，由 为 的直径，得 ，由
， ，且 ，得 ， ，可求得
，由 ，求得 ，则 ，
可证明 ，则 ，所以 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：连接 ，作 于点F，则 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
∴
∵
∴ ，
∴
∵ 与 相切于点B，
∴ 于点B，
∴ ，
∵ ，
∴
则
∴ 的长为 ．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的性质、勾股定理、解直
角三角形、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2025·北京房山·一模）如图， 是 直径，点D是 上一点， 是 切线，连接 交 于点E， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识
点，是解题的关键．
（1）切线的性质，得到 ，进而得到 ，圆周角定理结合已知
条件推出 ，进而得到 ，即可；
（2）解 ，求出 的长，进而求出 的长，连接 ，圆周角定理得到
，根据 ，求出 的长即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，则： ，
∴ ，
∴ ．
10．（2025·北京通州·一模）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 是
的中点，连接 ，分别与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 的切线交 的延长线于点 ．若 ，求 半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）证明 和 ，得到 ，即可得到结论；
（2）证明 ，得到 ，设 ，得到 ，
则 ，由 即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵点 是 的中点，
，
．
∵ ，
．
，
．
（2）解：如图，
∵ ，
，
，
设 ，
∵ 是 的直径，
，
∵ ，
于点 ，
，是 的中位线，
，
，
∵ 是 的切线，
，
，
∵ ，
，
∴ 半径的长为3．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、
三角形的中位线的性质等知识，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关
键．
11．（2025·北京海淀·一模）如图，在 中， ，以 为直径作 交
于点D．点 在线段 上， ．连接 并延长交 于 ．
(1)求证： ；
(2)连接 交 于点 ．若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，设 ，先证明 ，然后根据垂直平分线的性质定
理证明 ，再逐步求得 ，即得答案；
（2）连接 ，先证明 ，接着证明 ，即得 和
，从而可得 ，继续证明 是等边三角形，最后利用直角三角
形的性质，即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，连接 ，设 ，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接 ，
由（1）可得 ， ，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
，
，
即 的半径为 ．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合性问题，垂直平分线的性质定理，圆周角定理，
相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定与
性质是解题的关键．
12．（2025·北京·一模）如图，在△ABC中， ，点D在AB上，以AD为直径
作 与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)5
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的判定和性质，三角函数比，勾股定理
等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并准确构造辅助线．
（1）利用圆的切线的性质得出 ，再结合条件得出 ，根据平行线的性
质和等边对等角即可得出 ；
（2）连接 ，则 ，利用三角函数比和勾股定依次求出
的长即可求得半径．
【详解】（1）证明:∵ 是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图所示，连接 ，则 ，由（1）得 ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
的半径长为5．
13．（2025·北京房山·二模）如图，已知 为 的外接圆， 为 的直径， 是
的中点，弦 于点 ， 是 上一点，连接 ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，以及解直角三角
形，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据题意可得 ，根据垂径定理可得 进而可得 ，则 ；
（2）连接 ，证明 得出 ，进而得出 ，根据
，即可求解．
【详解】（1）解：∵D是 的中点，
∴ ，
∵ 且 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
14．（2025·北京西城·二模）如图， 为 的外接圆，点 为 的中点， 的
切线 交 的延长线于点 ， 交 于点 ．连接 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）本题要证明 ，通过设 ，利用同弧所对圆心角是
圆周角的两倍，得到 ．再根据等腰三角形 两底角相等以及三角形内角
和求出 ．由切线性质得到 ，进而得出 的度数．最后结合已知
，得出 的度数，从而证明两角相等．
（2）求 的长，先延长 交 于 ．根据点 为 的中点，利用垂径定理的推论
得到 ，再通过证明 得出 ．由 得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出
，从而得到线段相等关系 ，
最后根据 ，结合 求出 的长．
【详解】（1）证明：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴半径 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：延长 交 于 ，则 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括同弧所对圆心角与圆周角的关系、切线的性质、
垂径定理及其推论，以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定．解题的关键在于利用圆
的性质找出角之间的等量关系，通过角的关系推导线段的等量关系，进而求解问题．
15．（2025·北京海淀·二模）如图， 为 的切线， 为切点， 与 交于
点P， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 交 于点 ．若 的半径为 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角
形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键；
（1）根据切线长定理得 ， 根据平行线的性质即可得
证；（2）连接 ．由（1）可得 ，则 ，由
可得 则 ，勾股定理求得 证明
得出 ，根据 ，即可求解．
【详解】（1）证明： 为 的切线，
．
．
．
，
．
（2）解：如图，连接 ．
由（1）可得 ，
是 的直径．
是 的切线，
．
．
，
．
，
．
．
．
在 中， ，
．
在 中，由（1）可得， ，
为 的中点．
为 的中点，
．
，
．
．
．
．
在 中， ，
．
16．（2025·北京大兴·二模）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点 作
交 于点D，连接 交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，再根据圆周角定理和等角对等边可证
．
（2）根据直径所对的圆周角为直角，切线的性质定理，可推出 ， ，
设 ，则 ，利用勾股定理可得 ， ， ，
进而证明 ，即可得出 ．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
．
（2）解：连接 ，
为 切线， 是直径，
，
， ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
是直径，，
在 中， ，
，负值舍去
在 中， ，
，
解得： ，负值舍去
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形，切线的性质定理，平行线的性质，等角对
等边，勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．（2025·北京石景山·二模）如图，四边形 内接于 ， ．(1)求证： ；
(2)作直径 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 ．若 ， ，
．求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合圆内角四边形对角互补以及圆周角定理得 ，则
，即可作答．
（2）根据 ，得 ．则 ，结合 ， ，得
，运用 ． ， ．根据 ，得
， ，再证明 是等边三角形．得 ，在 中，
，运用勾股定理算出 ，即可作答．
【详解】（1）证明：∵四边形 内接于 ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ；
（2）解：依题意，连接 ， ，过点A作 于点H．∵ ，
∴ ．
∴
∵ 是 直径，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∵在 中， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ，
∵
∴ ，
在 中， ，∴ ， ．
∴ ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，平行线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性
质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
18．（2025·北京朝阳·二模）如图， 为 的直径，点 ， 在 上， 平分
，连接 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 的切线，分别交 ， 的延长线于点 ， ，连接 ，交 于点 ．
若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）利用圆周角定理和角平分线的定义可得 ，进而即可求证；
（ ）由切线的性质可得 ，由 得 ，
，即得 ，利用三角函数得 ，即得
，设 的半径为 ，由 解得 ，即得 ，
，进而得 ， ，即可得
，最后代入 计算即可求解．
【详解】（1）证明： 为 上的点，
，平分 ，
，
，
∴ ；
（2）解：如图，
与 相切于点 ，
∴ ，
，
∵ ，
， ，
，
，
∴在 中， ，
，
设 的半径为 ，则 ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ，，
，
∵ ，
∴ ，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，平行线的判定，切线的性质，相似三
角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用以上知识点是解题的关键．
19．（2025·北京顺义·二模）如图， 是 的直径，点 在 上，
．
(1)求证： ；
(2) 为 中点，直线 交 于点 ， （点 在点 上方），连接 ，过点
作 的切线交 的延长线于点 ．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，解直角三角形等知识，正确作
辅助线是解答本题的关键．
（1）由 ，且 ，得 ，
由 得 ，则 ，推出 ，从而
可得结论；
（2）连接 ，由 是 的直径， 为 的中点，根据垂径定理得出
，则 ，可证明 ，由可求得 ， ，则
， ，求得 ， ，由
可得结论．
【详解】（1）证明：∵ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图，
∵ 是 的直径， 为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 的长为 ．
20．（2025·北京密云·二模）如图， 是 的直径，点E在 上，连接 交
于点F，连接 交 于点G， ．
(1)求证： ；
(2)过点D作 的切线交 的延长线于点H．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，证明 ，得 ，得出 ，由圆周
角定理得 ，从而可得结论；
（2）设 ，则 ， ，证明 ，推出
， ，求得 ， 即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
又 ，
∴ ；
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ 是 的切线， 是 的直径，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
即 ， ，∴ ， ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定
和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
21．（2025·北京丰台·二模）如图， 是 的直径，点 在 上， 于点
，
(1)求证： ；
(2)过点 的切线交 延长线于点 ．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）垂径定理，得到 ，圆周角定理得到 即可；
（2）垂径定理，得到 ，解 ，求出 的长，设 的半径为 ，在
，勾股定理求出 的值，证明 ，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 于点 是 的半径，
∴ ．
∴ ．（2）解：∵ 于点E， 是 的半径， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
在 中， ．
∴
设 的半径为 ．
∴ ．
在 中， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判
定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．22．（2025·北京昌平·二模）如图，在 中， ，过 中点 作 与
相切于点 ，交 于点E，F，交 于点M，N．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ， ．由圆切线的定义得出 ，由直角三角形斜边的中线
等于斜边的一半得出 ．再由等腰三角形三线合一即可得出答案．
（2）过点 作 于点 ，连接 ．设 的半径为 ，则
．先由勾股定理定理得出 ，再由垂径定理得出 ，
再根据矩形的判定和性质得出 ，再根据勾股定理得出 ，
再利用垂径定理求值即可．
【详解】（1）解：连接 ， ．
与 相切，
．
在 中， ，
．
．
（2）解：过点 作 于点 ，连接 ．设 的半径为 ，则 ．
，
．
在 中，
，
．
．
解得： ．
为 的弦，
．
，
四边形 为矩形．
．
在 中，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，垂径定理，三线合一，矩形的判定和性质，直角
三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是
