(409)--专题十微分方程有关的综合题笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题10 微分方程有关的综合题
（P121-128）
主讲 武忠祥 教授（一）一阶微分方程
1. 可分离变量的方程
y   f ( x)g( y) g( y)dy  f ( x)dx
y y
2. 齐次方程 y   f ( ) (  u)
x x
3. 线性方程 y   P(x) y  Q(x) 通解 y  e  p(x)dx   Q(x)e  p(x)dx dx  C 
 
 
（二）高阶线性方程
1.常系数齐次线性微分方程 y   py   qy  0
2.常系数非齐次线性微分方程 y   py   qy  f (x)
1. f (x)  P (x)e
x
m
 
2. f (x)  e
x
P (x)cosx  P (x)sinx
l n【例1】设函数 满足
f (x) f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0),
1
且 f (0)  2, 则 lim( f (x)  e x )sin x  _______ .
x0
【解】由
f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0)
f (x  x)  f (x) (x)
知
 2xf (x) 
x x
f  (x)  2xf (x)
2
f (x)  Ce x
又 则 2
f (0)  2, C  2, f (x)  2e x ,
1
1
lim( f (x)  e x )sin x  lim[1  (2e x 2  e x  1)]sin x  e 1
x0
x0【例2】设 f ( x) 在 (0,) 上有定义， f  (1)  1 ，对任意的正数 x, y
1
f (xy)  yf (x)  xf ( y), 求  f (x)dx.
0
x
f [x(1  )]  f (x)
f (x  x)  f (x)
x
【解】 f  (x)  lim  lim
x0
x
x0
x
x x
xf (1  )  (1  ) f (x)  f (x)
x x
 lim
x0
x
x
f (1  )  f (1)
f (x)
 lim x  ( f (1)  0)
x
x0 x
x
f (x)
f (x)
 f  (1)   1  f (x)  x ln x
x
x
1
1 1
 f (x)dx   x ln xdx  
0 0 4【例3】设 y  y(x) 是二阶常系数微分方程 y   py   qy  e 3x
满足初始条件 y(0)  y  (0)  0 的特解,则当 x  0 时,函数
ln(1  x 2 )
的极限（ ）
y(x)
（A）不存在; （B）等于1; （C）等于2; （D）等于3
【解】由 y   py   qy  e 3x 知 y  (x) 连续且 y  (0)  1
ln(1  x 2 ) x 2
lim  lim
x0 y(x) x0 y(x)
2x 2 2
 lim  lim   2
  
x0 y (x) x0 y (x) y (0)
故应选（C）.x x
【例4】已知连续函数 f ( x) 满足  f (t)dt   tf (x  t)dt  ax 2 .
0 0
(Ⅰ)求
f (x);
(Ⅱ)若 f (x) 在区间 [0,1] 上的平均值为 1, 求 a 的值.
【解】(Ⅰ)令 则
x  t  u, dt  du,
x 0
 tf (x  t)dt   (x  u) f (u)du
0 x
x x
 x  f (u)du   uf (u)du
0 0
x x x
 f (u)du x  f (u)du   uf (u)du  ax 2
0 0 0
x
f (x)   f (u)du  xf (x)  xf (x)  2ax
0
x
f (x)   f (u)du  2ax f  (x)  f (x)  2a
0
f (x)  e x [  2ae x dx  C] Ce x  2a
由 f (0)  0, 可得 C  2a, 从而 f ( x )  2 a ( 1  e x )1
1
(Ⅱ)由题意可知
 f (x)dx  1
1  0 0
1
即  2a(1  e x )dx  1
0
e
解得 a 
2【例5】设函数 在 上连续，且满足
f (x) (,)
x
f (x)(  e t f (t)dt  1)  (x  1)e x 求 f (x).
0
x
【解】等式 f (x)(  e t f (t)dt  1)  (x  1)e x 两端同乘 e x 得
0
x
e x f (x)(  e t f (t)dt  1)  (x  1)
0
x
令  e t f (t)dt  1  F(x) ，则
0
1
F  (x)F(x)  x  1 [F 2 (x)]   x  1
2
[F 2 (x)]   2(x  1) F 2 (x)  (x  1) 2  C
又 则
F(0)  1, F ( x )  x  1 ,
x
即  e t f ( t)dt  1  x  1
0
e x f (x)  1 f (x)  e x【例6】设 为连续函数，
f (x)
 y   ay  f (x),
（1）求初值问题 的解 ，其中 是正常数；
y(x) a

y  0

x0
（2）若 （ 为常数），证明当 时，有
f (x)  k k x  0
k
y(x)  (1  e
ax
)
a
【证1】（1）原方程的通解为
 
y(x)  e adx  f (x)e ax dx  C  e ax [F(x)  C]
其中 F(x) 是 f (x)e ax 的任一原函数.由 y(0)  0, 得 C  F(0)
x
y(x)  e ax [F(x)  F(0)]  e ax  f (t)e at dt
0
.
k
x x
（2） y(x)  e ax  f (t)e at dt  ke ax  e at dt  e ax (e ax  1)
a
0 0
k
 (1  e
ax
), x  0.
a【例6】设 为连续函数，
f (x)
 y   ay  f (x),
（1）求初值问题 的解 ，其中 是正常数；
y(x) a

y  0

x0
（2）若 f (x)  k （ k 为常数），证明当 x  0 时，有
k
y(x)  (1  e
ax
)
a
【证2】（1）在原方程的两端同乘以 e a，x 得
y  e ax  aye ax  f (x)e ax
从而 ( ye ax )   f (x)e ax
x
所以 ye ax   f (t)e at dt
0
x
或 y(x)  e ax  f (t)e at dt
0
（2）同证法一.【例7】函数 f (x) 在 [0,) 上可导， f (0)  1, 且满足等式
1
x
f  (x)  f (x)   f (t)dt  0
x  1 0
（1）求导数 
f (x);
（2）证明：当
x  0
时,成立不等式:
e
x
 f (x)  1.
x
【解】（1）由题设知 (x  1) f  (x)  (x  1) f (x)   f (t)dt  0
0
(x  1) f  (x)  (x  2) f  (x).
du x  2
设 u  f  (x) ,则有   u
dx x  1
x
Ce
解之得 f  (x)  u  .
x  1
由 f (0)  1 及 f  (0)  f (0)  0 ,知 f  (0)  1
x
e
从而 C  1, 故 f  (x)   .
x  1【例7】函数 f (x) 在 [0,) 上可导， f (0)  1, 且满足等式
1
x
f  (x)  f (x)   f (t)dt  0
x  1 0
（1）求导数 f  (x); e
x
f  (x)   .
x  1
（2）证明：当
x  0
时,成立不等式:
e
x
 f (x)  1.
（2)【证1】当 x  0 时， f  (x)  0, 即 f (x) 单调减少,又 f (0)  1
所以 f (x)  f (0)  1.
设 (x)  f (x)  e
，x 则
x
(0)  0, (x)  f  (x)  e x  e x
x  1
当 x  0 时， (x)  0 ，即 (x) 单调增加，因而
(x)  (0)  0 即有 f (x)  e x .【例7】函数 f (x) 在 [0,) 上可导， f (0)  1, 且满足等式
1
x
f  (x)  f (x)   f (t)dt  0
x  1 0
（1）求导数 f  (x); e
x
f  (x)   .
x  1
（2）证明：当
x  0
时,成立不等式:
e
x
 f (x)  1.
x
【证2】 由于  f  (t)dt  f (x)  f (0)  f (x)  1
0
t
e
x x
所以
f (x)  1   f  (t)dt  1   dt.
0 0 t  1
t
e
x x
注意到当 x  0 时， 0   dt   e t dt  1  e x
0 t  1 0
因而
e
x
 f (x)  1【例8】设函数 y(x) 满足方程 y   2 y   ky  0, 其中 0  k  1.

（Ⅰ）证明：反常积分  y(x)dx 收敛;
0

(Ⅱ) 若 y(0)  1, y  (0)  1, 求  y(x)dx 的值.
0
【解】(Ⅰ)特征方程为
r 2  2r  k  0,
r  1  1  k, r  1  1  k,
1 2
y  C e r 1 x  C e r 2 x
1 2

因为 0  k  1, 所以 r  0,r  0, 从而  y(x)dx 收敛.
1 2
0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， r  0,r  0, 所以
1 2
lim y(x)  lim [C e r 1 x  C e r 2 x ]  0
1 2
x x
lim y  (x)  lim [C r e r 1 x  r C e r 2 x ]  0
1 1 2 2
x x

  1 1 3
 y(x)dx   [ ( y  (x)  2 y  (x))]dx   ( y  (x)  2 y(x)) 
0 0 k k k
0【例9】设 f ( x) 在 [1,) 上有连续二阶导数， f (1)  0, f  (1)  1,
2
z
2
z
且 z  (x 2  y 2 ) f (x 2  y 2 ) 满足   0 ，求 f (x) 在 [1,)
x 2 y 2
上的最大值。
【解】令 x 2  y 2  t, 则 z  tf (t)  z(t)
z
2
z
 z  (t) 2x,  2z  (t)  4x 2 z  (t)
x x 2
2
z
 2z  (t)  4 y 2 z  (t)
y 2
 2 z  2 z
  4(x 2  y 2 )z  (t)  4z  (t)  0
x 2 y 2
tz  (t)  z  (t)  0, z(1)  0, z  (1)  1.
ln t 1
解得 z(t)  ln t, f (t)  , f (t) 在 [1,) 上的最大值， f (e)  .
t e【例10】设函数 的全微分
u(x, y) du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy
其中 f 具有二阶连续的导数，且 f (0)  4, f  (0)  3, 求 f (x) 及
u(x, y).
【解】由题设 知
du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy
[e x  f  (x)]  f  (x)
即 f   ( x )  f  (x)  e x
解方程得 f (x)  C  C e x  xe x ,
1 2
由 f (0)  4, f  (0)  3, 得 C  0,C  4.
1 2
则 f (x)  4e x  xe x .
du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy  yf  (x)dx  f (x)dy
 ydf (x)  f (x)dy  d( yf (x))
故
u(x, y)  yf (x)  C  y(4  x)e x  C.【例11】设 f (x) 连续,且 f (t)   (x 2  y 2 ) f ( x 2  y 2 )dxdy  t 4
x
2y 2t 2
求
f (x).
2 t
【解】 f ( t)   d 2 f ()d t 4
0 0
t
 2 3 f ()d t 4
0
f  (t)  2t 3 f (t)  4t 3
即 f  (t )  2t 3 f (t)  4t 3
   
2 t 3 dt  2 t 3 dt  t 4 2  t 4
f (t)  e  e (4t 3 )dt  C  e 2  e 2  C
 
 
  
 

4 2
t
 Ce 2 

2 
2 4
由 f (0)  0, 知 C  . 则 f (x)  (e 2 x  1)

   
【例12】设 y  y(x) 是区间 (,) 内过点   ,  的光滑曲
 2 2 
线.当 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当
  x  0
0  x   时,函数 y(x) 满足 y   y  x  0. 求函数 y(x) 的表达式.
【解】当 时，
  x  0
dy x
  .
dx y
   
解得 x 2  y 2  C. 由初始条件 y    , 得 C  2
 2  2
所以 y  2  x 2 ,   x  0.
当 0  x   时， y   y  x  0 的通解为 y  C cos x  C sin x  x
1 2
y(0)  lim y ( x)  lim 2  x 2  
x0  x0  C ,C  1
1 2
2  x 2 
y  (0)  y  (0)  lim  0.

 x
x02
x
1
【例13】设函数 y  y(x) 是方程 满足条件
y   xy  e 2
2 x
y(1)  e 的特解.
(Ⅰ) 求
y(x);
 
(Ⅱ) 设平面域 D  (x, y)1  x  2,0  y  y(x) , 求 D 绕 x
轴旋转的体积.
【解】（Ⅰ）由一阶线性方程通解公式得
2
x
 xdx 1  xdx
y(x)  e [  e 2 e dx  C]
2 x
2
x
 e 2 ( x  C)
由 可知，
y(1)  e C  0.
2
x
则 y(x)  xe 2 .2
x
1
【例13】设函数 y  y(x) 是方程 满足条件
y   xy  e 2
2 x
y(1)  e 的特解.
(Ⅰ) 求
y(x);
 
(Ⅱ) 设平面域 D  (x, y)1  x  2,0  y  y(x) , 求 D 绕 x
轴旋转的体积.
【解】(Ⅱ) 设平面域 绕 x 轴旋转的体积为
D
2
V   y 2 (x)dx
1
2
2
  xe x dx
1

 (e 4  e)
2【例14】（I）验证函数
3 6 9 3n
x x x x
y(x)  1        (  x  )
3! 6! 9! (3n)!
满足微分方程
y   y   y  e x ;
 3n
x
（II）利用（I）的结果求幂级数  的和函数.
(3n)!
n0
3 6 9 3n
x x x x
【解】（1）因为 y(x)  1        
3! 6! 9! (3n)!
2 5 8 3n1
x x x x
y  (x)        
2! 5! 8! (3n  1)!
4 7 3n2
x x x
y  (x)  x       
4! 7! (3n  2)!
所以 y   y   y  e x
x
  3 3  1
y  Y  y *  e 2 C cos x  C sin x  e x .
 
1 2
 2 2  3祝同学们
考研路上一路顺利！