(409)--专题十微分方程有关的综合题笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题10 微分方程有关的综合题 （P121-128） 主讲 武忠祥 教授（一）一阶微分方程 1. 可分离变量的方程 y   f ( x)g( y) g( y)dy  f ( x)dx y y 2. 齐次方程 y   f ( ) (  u) x x 3. 线性方程 y   P(x) y  Q(x) 通解 y  e  p(x)dx   Q(x)e  p(x)dx dx  C      （二）高阶线性方程 1.常系数齐次线性微分方程 y   py   qy  0 2.常系数非齐次线性微分方程 y   py   qy  f (x) 1. f (x)  P (x)e x m   2. f (x)  e x P (x)cosx  P (x)sinx l n【例1】设函数 满足 f (x) f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0), 1 且 f (0)  2, 则 lim( f (x)  e x )sin x  _______ . x0 【解】由 f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0) f (x  x)  f (x) (x) 知  2xf (x)  x x f  (x)  2xf (x) 2 f (x)  Ce x 又 则 2 f (0)  2, C  2, f (x)  2e x , 1 1 lim( f (x)  e x )sin x  lim[1  (2e x 2  e x  1)]sin x  e 1 x0 x0【例2】设 f ( x) 在 (0,) 上有定义， f  (1)  1 ，对任意的正数 x, y 1 f (xy)  yf (x)  xf ( y), 求  f (x)dx. 0 x f [x(1  )]  f (x) f (x  x)  f (x) x 【解】 f  (x)  lim  lim x0 x x0 x x x xf (1  )  (1  ) f (x)  f (x) x x  lim x0 x x f (1  )  f (1) f (x)  lim x  ( f (1)  0) x x0 x x f (x) f (x)  f  (1)   1  f (x)  x ln x x x 1 1 1  f (x)dx   x ln xdx   0 0 4【例3】设 y  y(x) 是二阶常系数微分方程 y   py   qy  e 3x 满足初始条件 y(0)  y  (0)  0 的特解,则当 x  0 时,函数 ln(1  x 2 ) 的极限（ ） y(x) （A）不存在; （B）等于1; （C）等于2; （D）等于3 【解】由 y   py   qy  e 3x 知 y  (x) 连续且 y  (0)  1 ln(1  x 2 ) x 2 lim  lim x0 y(x) x0 y(x) 2x 2 2  lim  lim   2    x0 y (x) x0 y (x) y (0) 故应选（C）.x x 【例4】已知连续函数 f ( x) 满足  f (t)dt   tf (x  t)dt  ax 2 . 0 0 (Ⅰ)求 f (x); (Ⅱ)若 f (x) 在区间 [0,1] 上的平均值为 1, 求 a 的值. 【解】(Ⅰ)令 则 x  t  u, dt  du, x 0  tf (x  t)dt   (x  u) f (u)du 0 x x x  x  f (u)du   uf (u)du 0 0 x x x  f (u)du x  f (u)du   uf (u)du  ax 2 0 0 0 x f (x)   f (u)du  xf (x)  xf (x)  2ax 0 x f (x)   f (u)du  2ax f  (x)  f (x)  2a 0 f (x)  e x [  2ae x dx  C] Ce x  2a 由 f (0)  0, 可得 C  2a, 从而 f ( x )  2 a ( 1  e x )1 1 (Ⅱ)由题意可知  f (x)dx  1 1  0 0 1 即  2a(1  e x )dx  1 0 e 解得 a  2【例5】设函数 在 上连续，且满足 f (x) (,) x f (x)(  e t f (t)dt  1)  (x  1)e x 求 f (x). 0 x 【解】等式 f (x)(  e t f (t)dt  1)  (x  1)e x 两端同乘 e x 得 0 x e x f (x)(  e t f (t)dt  1)  (x  1) 0 x 令  e t f (t)dt  1  F(x) ，则 0 1 F  (x)F(x)  x  1 [F 2 (x)]   x  1 2 [F 2 (x)]   2(x  1) F 2 (x)  (x  1) 2  C 又 则 F(0)  1, F ( x )  x  1 , x 即  e t f ( t)dt  1  x  1 0 e x f (x)  1 f (x)  e x【例6】设 为连续函数， f (x)  y   ay  f (x), （1）求初值问题 的解 ，其中 是正常数； y(x) a  y  0  x0 （2）若 （ 为常数），证明当 时，有 f (x)  k k x  0 k y(x)  (1  e ax ) a 【证1】（1）原方程的通解为   y(x)  e adx  f (x)e ax dx  C  e ax [F(x)  C] 其中 F(x) 是 f (x)e ax 的任一原函数.由 y(0)  0, 得 C  F(0) x y(x)  e ax [F(x)  F(0)]  e ax  f (t)e at dt 0 . k x x （2） y(x)  e ax  f (t)e at dt  ke ax  e at dt  e ax (e ax  1) a 0 0 k  (1  e ax ), x  0. a【例6】设 为连续函数， f (x)  y   ay  f (x), （1）求初值问题 的解 ，其中 是正常数； y(x) a  y  0  x0 （2）若 f (x)  k （ k 为常数），证明当 x  0 时，有 k y(x)  (1  e ax ) a 【证2】（1）在原方程的两端同乘以 e a，x 得 y  e ax  aye ax  f (x)e ax 从而 ( ye ax )   f (x)e ax x 所以 ye ax   f (t)e at dt 0 x 或 y(x)  e ax  f (t)e at dt 0 （2）同证法一.【例7】函数 f (x) 在 [0,) 上可导， f (0)  1, 且满足等式 1 x f  (x)  f (x)   f (t)dt  0 x  1 0 （1）求导数  f (x); （2）证明：当 x  0 时,成立不等式: e x  f (x)  1. x 【解】（1）由题设知 (x  1) f  (x)  (x  1) f (x)   f (t)dt  0 0 (x  1) f  (x)  (x  2) f  (x). du x  2 设 u  f  (x) ,则有   u dx x  1 x Ce 解之得 f  (x)  u  . x  1 由 f (0)  1 及 f  (0)  f (0)  0 ,知 f  (0)  1 x e 从而 C  1, 故 f  (x)   . x  1【例7】函数 f (x) 在 [0,) 上可导， f (0)  1, 且满足等式 1 x f  (x)  f (x)   f (t)dt  0 x  1 0 （1）求导数 f  (x); e x f  (x)   . x  1 （2）证明：当 x  0 时,成立不等式: e x  f (x)  1. （2)【证1】当 x  0 时， f  (x)  0, 即 f (x) 单调减少,又 f (0)  1 所以 f (x)  f (0)  1. 设 (x)  f (x)  e ，x 则 x (0)  0, (x)  f  (x)  e x  e x x  1 当 x  0 时， (x)  0 ，即 (x) 单调增加，因而 (x)  (0)  0 即有 f (x)  e x .【例7】函数 f (x) 在 [0,) 上可导， f (0)  1, 且满足等式 1 x f  (x)  f (x)   f (t)dt  0 x  1 0 （1）求导数 f  (x); e x f  (x)   . x  1 （2）证明：当 x  0 时,成立不等式: e x  f (x)  1. x 【证2】 由于  f  (t)dt  f (x)  f (0)  f (x)  1 0 t e x x 所以 f (x)  1   f  (t)dt  1   dt. 0 0 t  1 t e x x 注意到当 x  0 时， 0   dt   e t dt  1  e x 0 t  1 0 因而 e x  f (x)  1【例8】设函数 y(x) 满足方程 y   2 y   ky  0, 其中 0  k  1.  （Ⅰ）证明：反常积分  y(x)dx 收敛; 0  (Ⅱ) 若 y(0)  1, y  (0)  1, 求  y(x)dx 的值. 0 【解】(Ⅰ)特征方程为 r 2  2r  k  0, r  1  1  k, r  1  1  k, 1 2 y  C e r 1 x  C e r 2 x 1 2  因为 0  k  1, 所以 r  0,r  0, 从而  y(x)dx 收敛. 1 2 0 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， r  0,r  0, 所以 1 2 lim y(x)  lim [C e r 1 x  C e r 2 x ]  0 1 2 x x lim y  (x)  lim [C r e r 1 x  r C e r 2 x ]  0 1 1 2 2 x x    1 1 3  y(x)dx   [ ( y  (x)  2 y  (x))]dx   ( y  (x)  2 y(x))  0 0 k k k 0【例9】设 f ( x) 在 [1,) 上有连续二阶导数， f (1)  0, f  (1)  1, 2 z 2 z 且 z  (x 2  y 2 ) f (x 2  y 2 ) 满足   0 ，求 f (x) 在 [1,) x 2 y 2 上的最大值。 【解】令 x 2  y 2  t, 则 z  tf (t)  z(t) z 2 z  z  (t) 2x,  2z  (t)  4x 2 z  (t) x x 2 2 z  2z  (t)  4 y 2 z  (t) y 2  2 z  2 z   4(x 2  y 2 )z  (t)  4z  (t)  0 x 2 y 2 tz  (t)  z  (t)  0, z(1)  0, z  (1)  1. ln t 1 解得 z(t)  ln t, f (t)  , f (t) 在 [1,) 上的最大值， f (e)  . t e【例10】设函数 的全微分 u(x, y) du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy 其中 f 具有二阶连续的导数，且 f (0)  4, f  (0)  3, 求 f (x) 及 u(x, y). 【解】由题设 知 du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy [e x  f  (x)]  f  (x) 即 f   ( x )  f  (x)  e x 解方程得 f (x)  C  C e x  xe x , 1 2 由 f (0)  4, f  (0)  3, 得 C  0,C  4. 1 2 则 f (x)  4e x  xe x . du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy  yf  (x)dx  f (x)dy  ydf (x)  f (x)dy  d( yf (x)) 故 u(x, y)  yf (x)  C  y(4  x)e x  C.【例11】设 f (x) 连续,且 f (t)   (x 2  y 2 ) f ( x 2  y 2 )dxdy  t 4 x 2y 2t 2 求 f (x). 2 t 【解】 f ( t)   d 2 f ()d t 4 0 0 t  2 3 f ()d t 4 0 f  (t)  2t 3 f (t)  4t 3 即 f  (t )  2t 3 f (t)  4t 3     2 t 3 dt  2 t 3 dt  t 4 2  t 4 f (t)  e  e (4t 3 )dt  C  e 2  e 2  C           4 2 t  Ce 2   2  2 4 由 f (0)  0, 知 C  . 则 f (x)  (e 2 x  1)      【例12】设 y  y(x) 是区间 (,) 内过点   ,  的光滑曲  2 2  线.当 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当   x  0 0  x   时,函数 y(x) 满足 y   y  x  0. 求函数 y(x) 的表达式. 【解】当 时，   x  0 dy x   . dx y     解得 x 2  y 2  C. 由初始条件 y    , 得 C  2  2  2 所以 y  2  x 2 ,   x  0. 当 0  x   时， y   y  x  0 的通解为 y  C cos x  C sin x  x 1 2 y(0)  lim y ( x)  lim 2  x 2   x0  x0  C ,C  1 1 2 2  x 2  y  (0)  y  (0)  lim  0.   x x02 x 1 【例13】设函数 y  y(x) 是方程 满足条件 y   xy  e 2 2 x y(1)  e 的特解. (Ⅰ) 求 y(x);   (Ⅱ) 设平面域 D  (x, y)1  x  2,0  y  y(x) , 求 D 绕 x 轴旋转的体积. 【解】（Ⅰ）由一阶线性方程通解公式得 2 x  xdx 1  xdx y(x)  e [  e 2 e dx  C] 2 x 2 x  e 2 ( x  C) 由 可知， y(1)  e C  0. 2 x 则 y(x)  xe 2 .2 x 1 【例13】设函数 y  y(x) 是方程 满足条件 y   xy  e 2 2 x y(1)  e 的特解. (Ⅰ) 求 y(x);   (Ⅱ) 设平面域 D  (x, y)1  x  2,0  y  y(x) , 求 D 绕 x 轴旋转的体积. 【解】(Ⅱ) 设平面域 绕 x 轴旋转的体积为 D 2 V   y 2 (x)dx 1 2 2   xe x dx 1   (e 4  e) 2【例14】（I）验证函数 3 6 9 3n x x x x y(x)  1        (  x  ) 3! 6! 9! (3n)! 满足微分方程 y   y   y  e x ;  3n x （II）利用（I）的结果求幂级数  的和函数. (3n)! n0 3 6 9 3n x x x x 【解】（1）因为 y(x)  1         3! 6! 9! (3n)! 2 5 8 3n1 x x x x y  (x)         2! 5! 8! (3n  1)! 4 7 3n2 x x x y  (x)  x        4! 7! (3n  2)! 所以 y   y   y  e x x   3 3  1 y  Y  y *  e 2 C cos x  C sin x  e x .   1 2  2 2  3祝同学们 考研路上一路顺利！