241011_180302-基础习题册高数第二章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_03.基础定制_01.高数_讲义

第二章 导数与微分
2-1 基础过关
1.【答案】（1）在x0处连续，不可导 ；（2）在x0处连续且可导
【解析】方法一：
limylim|sinx|0 y(0)，所以
x0 x0
y  | s i n x | 在 x  0 处连续，
y(x)y(0) sinx sinx
y(0) lim  lim  lim 1
 x0 x0 x0 x x0 x
y  ( 0 )  l i
x 
m
0 
y ( x )
x


y
0
( 0 )
 l i
x 
m
0 
s i n
x
x
 l i
x 
m
0 
s i n
x
x
 1
因为 y  ( 0 )  y  ( 0 ) ，即 y 在x0处不可导.
【解析】方法二：
l i m
x  0
y  l i m
x  0
| x 2 s i n
1
x
| 0 = y ( 0 ) ，所以 y 在 x  0 处连续，
1
x2sin
y(x) y(0) x 1
y(0) lim  lim  lim xsin 0，所以
x0 x0 x0 x x0 x
y 在 x  0 处可导.
2.【答案】（1）  f ( x
0
) ；（2） f ( 0 ) ；（3） 2 f ( x
0
)
【解析】方法一： l ix m
0
f ( x
0
 

x )
x
 f ( x
0
)
  l ix m
0
f ( x
0
 

x

)
x
 f ( x
0
)
  f ( x
0
) .
f(x) f(x) f(0)
方法二：lim lim  f(0).
x0 x x0 x0
f(x h) f(x ) f(x ) f(x h)
方法三：lim 0 0 lim 0 0  f(x ) f(x )2f(x ).
h0 h h0 h 0 0 0
3.【答案】 f  ( 0 )  0 ， f  ( 0 )   1 ， f(0)不存在
f(x) f(0) x
【解析】 f(0) lim  lim 1.
 x0 x0 x0 x
f(x) f(0) x2
f(0) lim  lim 0.
 x0 x0 x0 x所以 f  ( 0 )  f  ( 0 ) ，所以 f ( 0 ) 不存在.
4.【答案】 k
1
 y  |x
 23 π
 
1
2
； k
2
 y  |x
 π
  1
2 2 1
【解析】ycosx，所以k  y   cos  ，
1  3  3 2
k
2
 y (  )  c o s    1 .
5.【答案】切线方程为
2
3
x  y 
1
2

1 
3
3
π

 0 ；
法线方程为
2
3
3
x  y 
1
2

2
9
3
π  0
【解析】ysinx，所以 y 
 
3

  s i n

3
 
2
3
，切线方程为：
y 
1
2
 
2
3 
x 

3

，即
2
3
x  y 
1
2

1 
3
3
π

 0 （或 y 
1
2

1 
3
3
π


2
3
x ）
法线方程为： y 
1
2

2
3

x 

3

，即
2
3
3
x  y 
1
2

2
9
3
π  0 （或
2 3 1 2 3
y  x  π）
3 2 9
6.【答案】 x  y  1  0
【解析】yex ， y ( 0 )  1 ，所以切线方程为 y  1  1  ( x  0 ) ，即 x  y  1  0 （或
y  x1）.
7.【答案】 y  x  1
【解析】直线x y 1的斜率为k 1，因为直线与切线垂直，即切线的斜率为1.
设切点为 ( x
0
, y
0
)
1
，则y  1，得
0 x
0
x
0
 1 ，所以 y
0
 l n 1  0 ，
因此切线方程为：y01(x1)，即y  x1.
8.【答案】A【解析】因为 f ( x ) 可导，要证明 F ( x ) 在x0处的可导性，只需要证明 f ( x ) | s i n x | 在
x0处的可导性
f(x)|sinx| |sinx|
F(0) f(0)lim  f(0)lim f(x) ，因为 f(x)可导，所以
x0 x0 x0 x
f(x)连续. 若函数极限存在，则需要 f ( 0 )  0 . 反之，若 f ( 0 )  0 ，则 F ( 0 )  0 . 所以
f ( 0 )  0 是 F ( x ) 在 x  0 处可导的充分必要条件.
常用结论：若 f ( x ) 在x x 处可导，
0
g ( x ) 在 x  x
0
处连续但不可导，则
F ( x )  f ( x ) g ( x ) 在 x  x
0
处可导的充要条件是 f ( x
0
)  0 .
9.【答案】B
【解析】
结论： f ( x )  x  x
0
g ( x ) ，且 lx i m
x0
g ( x )  A ，则 f ( x ) 在 x  x
0
处可导的充要条件是
A  0 .
证明： f ( x
0
)  lx i m
x0
f ( x )
x


f
x
(
0
x
0
)
 lx i m
x0
x  x
0
x 
g (
x
x
0
)  0
 lx i m
x0
g ( x )
x
x


x
x
0
0
，若极限存
在，则 lx i m
x0
g ( x )  A  0 ，得到 f(x )0，
0
f ( x ) 在 x  x
0
处可导.
因此 x 3  x  x ( x  1 ) ( x  1 )  0 ，得 x  0 ,  1 .
在 x  0 处， f ( x )  x  0 ( x 2  x  2 ) | x 2  1 | ，令 g ( x )  ( x 2  x  2 ) | x 2  1 |
，
limg(x)(x2 x2)|x2 1|20，所以 f(x)在
x0
x  0 处不可导.
在 x  1 处， f ( x )  x  1 ( x 2  x  2 ) | x 2  x | ，令 g ( x )  ( x 2  x  2 ) | x 2  x |
，
limg(x)(x2 x2)|x2 x|40，所以 f(x)在
x1
x  1 处不可导.
在 x   1 处， f ( x )  x  1 ( x 2  x  2 ) | x 2  x | ，令 g ( x )  ( x 2  x  2 ) | x 2  x | ，
limg(x)(x2 x2)|x2 x|0，所以 f(x)在x1处可导. 则函数有2个不可导
x0
点，答案选（B）.10.【答案】B
【解析】（B）选项，若 f(a)0， f(a)0. 记 F ( x )  f ( x ) ，不妨设 f(a)0，则
F  ( a )  l i
x 
m
a 
F ( x )
x


F
a
( a )
 l i
x 
m
a 
f
x
(

x )
a
 l i
x 
m
a 
f
x
(

x )
a
 l i
x 
m
a 
f ( x )
x


f
a
( a )
 f ( a )  f ( a )
F(x)F(a) f(x) f(x) f(x) f(a)
F(a) lim  lim  lim  lim
 xa xa xa xa xa xa xa xa
 f(a) f(a)
所以 F  ( a )  F  ( a ) ，所以函数 F ( x )  f ( x ) 在点 x  a 处不可导.
11.【答案】（1） y 
x 
π6 
3
2
 1
， y 
x 
π4  2 ；（2） f ( 0 ) 
3
2 5
， f ( 2 ) 
1
1
7
5
；
（3）
2
2
π
【解析】（1） y   c o s x  s i n x ， y 
 π
6


2
3

1
2

1 
2
3 π 2 2
，y      2
4 2 2
（2） f ( x )  
( 5 
3
x ) 2
 (  1 ) 
2
5
x 
( 5 
3
x ) 2

2
5
，所以 f ( 0 ) 
3
2 5
，
f ( 2 ) 
1
3

4
5

1
1
7
5
（3） y   2 a r c s i n x 
1
1
 x 2
， y 

2
2 
 2 

4
2 
2
2

12.【答案】（1）y2f(x2)4x2f(x2);（2） y  
f ( x ) f ( x
f
)
2 (

x
(
)
f ( x ) ) 2
【解析】
（1）y f(x2)2x， y f(x2)(2x)2 2f(x2)4x2f(x2)2f(x2)
1 f(x) f(x)f(x)[f(x)]2
（2）y  f(x) ，y
f(x) f(x) f 2(x)
e2y(2xey)
13.【答案】（1）y2cot3(x y)csc2(x y)；（2）y 或
(1xey)3e2y(3 y)
y
(2 y)3
【解析】
（1） y   s e c 2 ( x  y )  (1  y ) ，即 y  c o s 2 ( x  y )  1  y  ，得 y    c s c 2 ( x  y )
y  


2
2
c
c
s
s
c
c
2
(
(
x
x


y
y
)
)

c

o

t (
c
x
s c

( x
y

) (1
y

) c
c
o
s
t
c
(
2
x
( x


y )
y

)

)
(1



y
2
)
c s c 2 ( x  y ) c o t 3 ( x  y )
ey
（2）yey xeyy，所以y ，故yeyyeyyxey(y)2 xeyy，
1xey
所以 y  
e y y
1
(

2
x

e
x
y
y )

e 2 y
(1
(

2 
x e
x
y
e
)
y
3
)
14.【答案】（1） y  

1
x
 x

x

l n
1
x
 x

1
1
 x

；
（2） y  
1
5
5
5
x
x

2
5
 2

x
1
 5

5 ( x
2
2
x
 2 )

【解析】
（1） l n y  x l n
1
x
 x
 x  l n x  l n ( 1  x )  ，
y x 1 1  x 1  x  x  x 1 
ln x



ln  ，所以y
  
ln 

.
y 1x  x 1x 1x 1x 1x  1x 1x
1 1 
（2）ln y  ln|x5| ln(x2 2) ，所以
 
5 5 
y
y


1
5

x
1
 5

5 ( x
2
2
x
 2 )

所以 y  
1
5
5
5
x
x

2
5
 2

x
1
 5

5 ( x
2
2
x
 2 )

dy 3bt dy cossin
15.【答案】（1）  ；（2） 
dx 2a dx 1sincos
【解析】
dy dx dy 3bt2 3bt
（1）因 3bt2 ， 2at，所以  
dt dt dx 2at 2a（2）因
d
d
y
c o s s i n   

  ，
d
d
x
1 s i n c o s   

   ，所以
d
d
y
x 1
c o
s
s
i n
s i n
c o s
  
  




16.【答案】（1） y (4 )   4 e x c o s x ；（2） y (5 )  2 5 ( x 2 c o s 2 x  5 x s in 2 x  5 c o s 2 x )
 
【解析】（1）(cosx)(n) cos

xn

 2
y (4 ) 


C
C
e
0 e
4
3 (
4
x ( c
x
e
o
( c
x )
s
o s
( c
x 
(4 ) x ) 
 o s x )
4 s i n
C

x
14
C

( e
44
6
x )
( e
c o
( c o s
x (4 ) ) (
s x 
x
c
4
)
o
s
 
s x
i n
)
x
C
(0

24
)
(
c
e
o
x
s
 ) (
x )
c o

s

x
4
)
e

x c o s x
（2） ( s i n x ) (n )  s i n

x  n 

2

.
y(5) C0x2(sin2x)(5) C12x(sin2x)(4) C22(sin2x)0
5 5 5
54
 x225cos2x52x24sin2x 223cos2x
2
25(x2cos2x5xsin2x5cos2x)
17.【答案】（1） (  1 ) n
( n
x

n
2
 1
) !
( n  2 ) ；（2） e x ( x  n )
【解析】（1） ( l n x )  
1
x
 x  1 ， ( l n x )   (  1 ) x  2 ， ( l n x )   (  1 ) (  2 ) x  3 ，
( l n x ) (n )  (  1 ) (  2 )   ( n  1 )  x  n 
(  1 ) n  1
x
(
n
n  1 ) !
y (n )  C 0n x ( ln x ) (n )  C 1n 1 ( ln x ) (n  1 )  0 
(  1 ) n 
x
1 ( n
n  1
 1 ) !

(  1 ) n  2 ( n
n  x

1
2 ) ! n
 (  1 ) n
( n
x

n
2
 1
) !
( n  2 )
（2） y (n )  C 0n x ( e x ) (n )  C 1n 1 ( e x ) (n  1 )  0  x e x  n e x  e x ( x  n )
n!
18.【答案】(1)n1 (n3)
n2
【解析】方法一：
1
[ln(1x)] (1x)1 ， ln(1x) (1)(1x)2 ，
1x
ln(1x)(1)(2)(1x)3(1)n1(n1)!
ln(n)(1x)(1)(2) (n1)(1x)n 
(1x)n
f(n)(x)C0x2ln(n)(1x)C12xln(n1)(1x)C22ln(n2)(1x)0
n n n
f (n ) ( 0 )  n ( n  1 )  l n (n  2 ) ( 1  x )
x  0
 n ( n  1 )  (  1 ) n  3 ( n  3 ) ! ( 1  x )  (n  2 )
x  0
 (  1 ) n  1
n
n

!
2
方法二：利用泰勒公式求函数在一点的高阶导数
f ( x )  x 2

x 
1
2
x 2   (  1 ) n  3
n
1
 2
x n  2 

 x 3   (  1 ) n  1
n
1
 2
x n 
x n 的系数
f (n
n
) (
!
0 )
 (  1 ) n  1
n
1
 2
，所以 f (n ) ( 0 )  (  1 ) n  1
n
n

!
2
.
2-2 基础真题
1.【答案】B
【解析】方法一：
f(ax) f(a) f(a) f(ax)
原式=lim lim  f(a) f(a)2f(a)
x0 x x0 x
(ax)(ax)
方法二：利用结论得到原式= f(a)lim 2f(a)
x0 x
方法三：取特例，不妨设 f(x) x，则 f ( a )  1 ，
(ax)(ax)
原式lim 22f(a)，排除（A），（C），（D）.
x0 x
2.【答案】1
f(3h) f(3) f(3h) f(3)  1  1
【解析】lim lim 
 
 f(3)1.
h0 2h h0 3h3 2 2
3.【答案】D
【解析】已知导数求极限
方法一：已知周期函数，可以利用周期性，先算出在1点处的切线斜率.方法二：已知极限求导数，可以凑导数的定义.
f(x4) f(x)，则 f(x4) f(x)
f(1) f(1x) f(1) f(1x)
所以 f(5) f(1)lim 2lim 2.
x0 1(1x) x0 2x
4.【答案】C
【解析】 l i m
h  0
f ( h 2 )  l i m
h  0
f (
h
h
2
2 )
 h 2  1  0  0 ，因为函数连续，所以 f(0)0.
由于 h 2
f(0h2) f(0)
恒大于0，因此 f(0)lim 1.
 h0 h2
所以答案选（C）.
5.【答案】D
【解析】计算 f ( x ) 在x0处的左右极限及左右导数，判断该点的连续性和可导性.
1
x2
1cosx
lim f(x) lim x2g(x)0，lim f(x) lim  lim 2 0，
x0 x0 x0 x0 x x0 x
又因为 f ( 0 )  0 2  g ( 0 )  0 ，所以 lx i m
0
f ( x )  0  f ( 0 ) ，函数连续
f  ( 0 )  l i
x 
m
0 
f ( x )
x


f
0
( 0 )
 l i
x 
m
0 
x 2 g
x
( x )
 0
1
x2
f(x) f(0) 1cosx
2
f(0) lim  lim  lim 0
 x0 x0 x0 3 x0 3
x2 x2
因为 f  ( 0 )  f  ( 0 ) ，所以 f(0)0.函数可导.
6.【答案】D
【解析】线性主部就是微分，根据微分的定义列出等式.
因为dy  ydx yx(x0)，则dy f(x2)2xx
1
所以dy  f(1)(2)(0.1)0.1，故 f(1) . 案选（D）.
x1 27.【答案】C
【解析】先求出极限函数的表达式，再根据表达式判断分段函数的可导性.
f ( x )  ln i m

n 1  x
3 n
 m a x

1 , x
3 


1
3 ， x
，
|
|
x
x
| >
|
1
1
.明显，函数 f ( x ) 是一个偶函数，
我们只需要判断 x  1 函数的可导性就可以.
f(x) f(1) 11
f(1) lim  lim 0
 x1 x1 x1 x1
f(x) f(1) x31 (x1)(x2 x1)
f(1) lim  lim  lim 3
 x1 x1 x1 x1 x1 x1
f ( x ) 在 x  1 处左右导数不相等，因此 x  1 是函数的不可导点.
因为 f ( x ) 是一个偶函数，因此x1是函数的不可导点. 有两个不可导点.答案选（C）.
8.【答案】C
【解析】先判断函数是否连续，再根据导数的定义判断分段函数分段点处的可导性.
lim f(x)0 f(0)，所以 f(x)在
x0
x  0 处连续.
1 1
x sin sin
f(x) f(0) x2 x2
f(0) lim  lim  lim 不存在.
 x0 x0 x0 x0 x0 x
所以 f ( x ) 在 x  0 处不可导.
9.【答案】 a  2 , b   1
【解析】可导一定连续，先通过连续的定义，再根据分段点处函数可导，确定 a 和b的关
系.
函数可导一定连续，lim f(x)1，lim f(x)ab，所以
x1 x1
a  b  1 .
f(x) f(1) x2 1
f(1) lim  lim  lim(x1)2
 x1 x1 x1 x1 x1
f(x) f(1) axb1 axa
f(1) lim  lim  lim a，
 x1 x1 x1 x1 x1 x1因为 f ( x ) 可导，所以 f(1) f(1)，即
 
a  2 ，所以 b   1 .
10.【答案】（Ⅰ） f(x)kx(x2)(x4)；（Ⅱ） k  
1
2
【解析】
（1）由 x    2 , 0  ，得 x  2   0 , 2  ，所以 f ( x  2 )  ( x  2 ) [ ( x  2 ) 2  4 ]
所以 f ( x )  k f ( x  2 )  k ( x  2 ) ( x 2  4 x )
（2） f  ( 0 )  l i
x 
m
0 
f ( x )
x


f
0
( 0 )
 l i
x 
m
0 
x ( x 2
x
 4 )
  4
f(x) f(0) k(x2)(x2 4x)
f(0) lim  lim 8k
 x0 x0 x0 x
因为 f(x)在 x  0 处可导，所以 f  ( 0 )  f  ( 0 )
1
，即48k，k   .
2
11.【答案】
x 1
2
 x 2
【解析】yln( 1x2 1)ln( 1x2 1).
2x 2x
2 1x2 2 1x2 x  1 1 
y     
1x2 1 1x2 1 1x2  1x2 1 1x2 1
x  2  2
  .
 
1x2  x2  x 1x2
12.【答案】 n !
【解析】方法一：若干个式子相乘，若 f(a)0，可以考虑用导数的定义.
f ( 0 )  l i m
x  0
f ( x ) 
x
f ( 0 )
 l i m
x  0
x ( x  1 ) ( x 
x
2 ) ( x  n )
 n !
方法二：若干个式子相乘，可以分离出其中的一个零因子，然后用求导法则.
令g(x)(x1)(x2) (xn). 则 f(x) x(x1)(x2) (xn) xg(x).
则 f(x) g(x)xg(x)，于是 f(0) g(0)0n!.13.【答案】 
1
2

x ( 1
e 

x
 e 2 x )
【解析】 y =
(
1
e


e
x

)
2

x

e  x
1


( 
e  2
x
x
) 
 
1
2

x ( 1
e 

x
 e 2 x )
.
14.【答案】 
1
x 2
e
ta n 1x 
s e c 2
1
x
s i n
1
x
 c o s
1
x

【解析】
y  

e

ta n
1
x
1x
2
s
e
e c
ta n
2
1x
1
x




s e

2 c
1
x
1
x
2
s

i
s
n
i n
1
x
1
x


c o
e
s
ta n
1
x
1x

c o s
1
x



1
x 2

15.【答案】
3 π
2
【解析】
d
d
y
x
 f 
 3
3
x
x


2
2


 3 x
1 2
 2  2

 3 x
1 2
 2  2
a r c s i n
 3
3
x
x


2
2

2
.
16.【答案】 
3
2
【解析】利用复合函数求导公式，对数函数可以在求导之前优先利用性质化简.
y 
1
2
l n ( 1  x ) 
1
2
l n ( 1  x 2 ) ， y   
2  1
1
 x 

1 
x
x 2
，
y   
2 ( x
1
 1 ) 2

1
(1


x
x
2
2 ) 2
， y 
x  0
 
3
2
.
17.【答案】 e f ( x )
 1
x
f ( l n x )  f ( x ) f ( l n x )

d x
【解析】dy df(lnx)ef(x) df(lnx)ef(x)  f(lnx)def(x)
 
1 
 f(lnx)dx ef(x)  f(lnx)ef(x) f(x)dx
 
x 
1 
ef(x) f(lnx) f(x)f(lnx) dx
 
x 
x
18.【答案】dy  dx
2x y
【解析】隐函数求导公式，把y 看成 x 的函数.
对方程两边求微分， 2 d y  d x  ( d x  d y ) l n ( x  y )  ( x  y )
d x
x


d
y
y
，
结合题中所给方程，可得 d y 
2 x
x
 y
d x .
19.【答案】 2 e 2
【解析】隐函数求导公式，把y 看成x的函数.
方程两边对 x 求导得 y   e y  x e y y   0 ，两边再对 x 求导得
y   e y y   ( e y y   x e y y  2  x e y y )  0
由题设知x0时 y  1 ，代入上面两式解得 y ( 0 )  e ，y(0)2e2 . 即
d
d
2
x
y
2
x  0
 2 e 2 .
y2 2xcos(x2  y2)ex
20.【答案】
2ycos(x2  y2)2xy
【解析】隐函数求导公式，把y 看成x的函数.
等式sin(x2  y2)ex xy2 0两边对x求导得
2 c o s ( x 2  y 2 )  ( x  y y )  e x  y 2  2 x y y   0
dy y2 2xcos(x2  y2)ex
则  .
dx 2ycos(x2  y2)2xy
[1 f(y)]2  f(y)
21.【答案】
x2[1 f(y)]3【解析】隐函数求导公式，把y 看成 x 的函数. 其中幂指函数可以采用取对数的方法化简.
方程两边取对数，得lnx f(y) y，从而求得
1
x
 f ( y )  y   y  ， 
1
x 2
 f ( y )  ( y ) 2  f ( y )  y   y 
整理得 y  
x [1 
1
f ( y ) ]
，
(1  f ( y ) ) y   
1
x 2
 f ( y )  ( y ) 2  
1
x 2
 f ( y ) 
x 2 [1 
1
f ( y ) ] 2

f (
x
y
2
) 
[1 
 1 
f (
f
y
(
) ]
y
2
)  2
f(y)1 f(y)2
y .
x2[1 f(y)]3
1
22.【答案】 dx
x(1ln y)
【解析】隐函数求导公式，把y 看成 x 的函数.其中幂指函数可以采用取对数的方法化简.
方程 x  y y 两边取对数得lnx yln y，上式两边求微分得
1
x
d x  ( l n y  1 ) d y ，则
d y 
x ( 1 
1
l n y )
d x
23.【答案】(ln21)dx
【解析】隐函数求导公式，把y 看成x的函数.
等式两边同时求微分得 2 x y ( y d x  x d y ) l n 2  d x  d y ，由原方程知，当 x  0 时，
y 1，并代入上式得 l n 2 d x  d x  d y ，即 d y |
x  0
  l n 2  1  d x .
24.【答案】2
【解析】隐函数求导公式，把y 看成x的函数.
将方程两边对x求导，将 y 视为x的函数，得eyy6xy6y2x0 ①
再对x求导， y ，y均视为x的函数，得eyyey(y)2 6xy12y20 ②
当x0时，由原方程知y 0，再以x0，y 0，代入①中得，y0，再代入②得y2.
25.【答案】
d
d
y
x

1
s

i n
c o
t
s t
d2y 1
， 
dx2 5(1cost)2
【解析】因
d
d
y
t
 5 s i n t ，
d
d
x
t
 5  5 c o s t ，故
d
d
d
d
y
x
2
x
y
2


5
5
 1
d
d t
s


i n
c
1
t
o s t
s i n
 c o

t
s

t
1

s

d

d
i n
c
t
x
o
t
s

t
c
,
o s t  ( 1 
(
c
1
o

s
c
t
o
)
s

t
s
)
i
2
n t ( s i n t )

5 ( 1 
1
c o s t )
 
5 ( 1 
1
c o s t ) 2
26.【答案】
( c o s
2
t


2 t
t s i n t ) 3
【解析】
d
d
x
t
 c o s t  t s i n t ，
d
d
y
t
 s i n t  t c o s t
d
d
y
x

s
c
i n
o s
t
t


t
t
c
s
o
i
s
n
t
t
，
d
d
2
x
y
2




d s i n 
d t c o s 
( 2 c o s t
2 2 c o s t
2 
( c o s t 
t  t c
t  t s
 t s i n
 2 t s
2 t
t s i n t
o s t
i n t
t ) (
i n t
3 )
d t 
d x 
c o s t
c o s t


t s i n
( c o
t s i n
t )
s t
t c


o
(
t
s
s
s
t
i n
i n

t
t
t

2 )
2 s
( c
t c
i n
o s
o
2
t
s
t

t

)
t
(
2
s
 2
s i
i n
s i n
2 n t
3 t )
t


t
t
s
c o
i n
s
t
t
c
)
o

s
c
t
o

1
s t 
2 t s
t
i n
s i
t
n
c
t
o s t  t 2 c o s 2 t
27.【答案】 3
dy dy/dt f(e3t 1)3e3t
【解析】   ，
dx dx/dt f(t)
d
d
y
x
t 0

3 f
f
( 0
( 0
)
)
 3 .
(y2 et)(1t2)
28.【答案】
2(1ty)
【解析】利用参数方程求导公式，其中y 和t的关系需要用到隐函数求导.
dx 1 dy dy
 ，由2yty2 et 5，对t求导得2  y2 2ty et 0，整理得
dt 1t2 dt dtdy y2 et dy (y2 et)(1t2)
 ，因而  .
dt 2(1ty) dx 2(1ty)
29.【答案】（1） f ( x ) 
 x
g
 g (
( 0
2
x
)
)


1
g
,
( x ) 
2 x
( x  1  x ) e
, x
x


0
0
,
.
（2） f ( x ) 在 (   ,   ) 上连续
【解析】分段函数的分段点用导数的定义，不在分段点的直接用求导公式计算.
（1）当 x  0 时， f ( x ) 
x [ g ( x )  e  x
x
]
2
 g ( x )  e  x

x g ( x )  g ( x
x
)
2
 ( x  1 ) e  x
当 x  0 时， f ( 0 )  l i m
x  0
g ( x ) 
x
x
e  x
 0
 l i m
x  0
g ( x )
2

x
e  x
 l i m
x  0
g ( x )
2
 e  x

g ( 0
2
)  1
所以 f ( x ) 
 x
g
 g (
( 0
2
x
)
)


1
g
,
( x
x
)
2
 ( x  1 ) e  x
, x
x


0
0
,
.
（2） l i m
x  0
f ( x )  l i m
x  0
x g ( x )  g ( x
x
)
2
 ( x  1 ) e  x
 l i m
x  0
g ( x )
2
 e  x

g ( 0
2
)  1
 f ( 0 )
所以 f ( x ) 在 x  0 处连续，又 f(x)在 x  0 处连续，故 f ( x ) 在(,)上连续.
30.【答案】A
【解析】抽象函数高阶导数的计算可以通过找规律.
由
fx[f(x)]2
知，
f(x)2f(x)f(x)2[f(x)]3
f ( x )  2  3 [ f ( x ) ] 2 f ( x )  1  2  3 [ f ( x ) ] 4  3 ! [ f ( x ) ] 4
f(n)(x)n![f(x)]n1
31.【答案】C【解析】判断该点左右导数的是否连续判断 n 的最高阶导数.
由于 3 x 3 任意阶可导，则只需要考查x2 |x|.
令 ( x ) x 2 | x |  
x3,x0,
，则x
x3,x0,
( x )
3 x
3
2
x
, x
2 , x
0 ,
0 ,
  




， ( 0 ) 0    ，
6x,x0,
(x) ，
6x,x0,
( 0 ) 0    ，
即 ( x ) 6 | x |    . 由于 | x | 在 x  0 处不可导，则 f (n ) ( 0 ) 存在的最高阶数是2.
2n!
32.【答案】(1)n
(1x)n1
【解析】假分式通过化简转化成已知真分式，在通过找规律的方法计算.
由于
1x 2
f(x)  12(1x)11
1x 1x
f(x)2(1)(1x)2
f ( x )  2  (  1 )  (  2 ) ( 1  x )  3 , ,
f (n ) ( x )  2 (  1 ) n n ! (1  x )  (n  1 ) 
2
(1
( 

n 1 ) n
n  x )
!
1
2-3 拓展拔高
1.【答案】C
g(x)g(a)
【解析】由lim limf(x) f(x)f(a) f(a)得
   
xa xa xa
g(x)g(a)
g  (a)  f(a) f(a) . 由 x l  im a xa  x l  im a   f(x) f(x)    f(a) f(a) 
得g(a) f(a) f(a) . 所以g(x)在xa处可导的充要条件是 f(a) f(a) . 所以答
案选（C）
2.【答案】C
【解析】由 li m
x  0
f ( x )  0  f ( 0 ) ，得 f ( x ) 在x0处连续；
1
f(x) f(0) 12x
lim lim ，则
x0 x x0 1
12x
f (

0 )  1  f  ( 0 )   1 ，即 f ( x ) 在x0处不可导，故
答案选（C）.
3.【答案】D
【解析】
（A）不正确，例如： f  x  
 x
2
2 , x
, x


1 ,
1 ,
f(1h) f(1h)
显然lim 存在，但 f(x)在
h0 h
x  1
处不连续，所以也不可导；
（B）不正确，因为 li m
h  0
f [1  ln (1
e

h 2
2

h 2
1
) ]  f (1 )
存在，只能保证 f ( x ) 在 x  1 处右导数存
在；
（C）不正确，因为 li m
h  0
f ( 2  c o s
h
h )  f (1 )
 li m
h  0
f [1  (1 
1 
c o
c
s
o
h
s
)
h
]  f (1 )

1  c
h
o s h
1cosh
lim 0，所以
h0 h
li m
h  0
f [1  (1 
1 
c o
c
s
o
h
s
)
h
]  f (1 )
不一定存在，于是 f(x)在 x  1 处不一定
右可导，也不一定可导；
f(eh) f(1) f[1(eh 1)] f(1) eh 1 f[1(eh 1)] f(1)
lim lim  lim
h0 h h0 eh 1 h h0 eh 1
上式极限存在 f(x)在x1处可导，故选（D）.
4.【答案】D
【解析】由
f(ax) f(a)
 f(a)
x f(ax) f(a)xf(a) f(ax) f(a) 1
lim lim lim  f(a)
x0 x x0 x2 x0 2x 2，可得答案选（D）.
5.【答案】  π
【解析】由 li m
x  1
f ( 2 x
s i

n
1 )
π x
 2
 2 得 f ( 1 )  2 ，再由
2 

li m
x  1
2


f (
li m
x 
2
1
x
s i
f

n 
[1
1 )
x


2 (
2
2
x
( x



li m
x 
1 ) ]
1 )
1

f [1 
f (1 )
2

( x
s i


n 
2

1 )
x
f
] 
(1 )
f (1 )
  li m
x  1
f [1 
s
2
i
(
n
x
π

( x
1 )

]
1

)
f (1 )
得 f (1 )    ，故
f(12x) f(1x)4 f(12x) f(1) f(1x) f(1)
lim 2lim lim  f(1).
x0 x x0 x x0 x
6.【答案】1
【解析】方法一：因为 f(x)为偶函数，所以 f ( x ) 为奇函数，于是 f(0)0，又因为
f(x)在 x  0
 1 
 f  1 
 1   n  1
的邻域内连续，limn2  f  1  lim ，令  x，则
n  n  n 1 n
n2
 1 
 f  1 
 n  [f(x)1] f(x) f(x) f(0) f(0)
lim  lim  lim  lim  1.
n 1 x0 x2 x0 2x x0 2x 2
n2
方法二：因为 f ( x ) 为偶函数，所以 f ( x ) 为奇函数，于是 f ( 0 )  0 ，又因为 f ( x ) 在
f(0)
x0的邻域内连续，所以 f(x) f(0) f(0)x x2 o(x2)1x2 o(x2)，于是
2!
 1   1  1 
limn2  f  1  limn2  o  1.
n  n  n n2 n2 
7.【答案】A
【解析】当 f(x)可导且Δx0. 由微分的定义知 Δ y 与 d y 的差为 Δ x 的高阶无穷小量，且
dy为Δy的线性主部，因此有Δydyo(Δx) yΔxo(Δx)，当y f(x3)时，有
y3x2f(x3)，由题设有 f(x3)3x2 x0.3， f(1)1，故答案选（A）.
x18.【答案】C
【解析】显然 f(0)0，且lim f(x)0，所以 f(x)在
x0
x  0 处连续，又由 f ( x )  x 2 得
f(x) f(0)
0  x ，根据夹逼定理得
x
li m
x  0
f ( x ) 
x
f ( 0 )
 0 ，即 f ( 0 )  0 ，选（C）.
9.【答案】 a  b  3
【解析】因为两曲线过点 (  1 ,1 ) ，所以 b  a  0 ，又由 y  x 2  a x  b 得
d
d
y
x x   1
 a  2 ，
再由  2 y   1  x y 3
dy dy
得2 13 ，且两曲线在点
dx x1 dx x1
(  1 ,1 ) 处相切，则
a21，解得 a  b  3 .
10.【答案】 y  3 x  7
【解析】由 li m
x  1
f ( x
ln
) 
x
2
 li m
x  1
f ( x
x
)


1
2
 3 得 f(1)2， f (1 )  3
f (  3 )  f (  4  1 )  f (1 )   2 ， f (  3 )  f (1 )  3 ，故所求切线方程为 y  2  3 ( x  3 ) ，
即 y  3 x  7 .
11.【答案】  2
【解析】反函数求导法则及复合函数求导法则联用
1
由反函数求导法则，可知g(y) . 由复合函数求导法则，可知
f(x)
g ( y ) 
d
d y

f
1
( x )


d
d x

f
1
( x )


d
d
x
y
 
[
f
f
(
( x
x
)
)
] 2

f
1
( x )
 
[
f
f
( x )
( x ) ] 3
故 g ( y
0
)  
[
f
f
( x )
0
( x ) ]
0
3
  2 .
12.【答案】2
dx 1 d2x f(x) d2x f(0) 2
【解析】由  ，  得   2.
dy f(x) dy2 f3(x) dy2 f2(0) 1
y1
x2 2x 2 1 1 2 
13.【答案】y 3      cosx
1x (2x)2 x 1x 3(2x) 3(2x)【解析】所给函数为两项之和，第一项为连乘除形式，适合利用对数求导法，对此令
y
1

1
x

2
x
3
(
2
2


x
x ) 2
，则有 ln y
1
 2 ln x  ln 1  x 
1
3
ln 2  x 
2
3
ln 2  x ，两端关于x
1 2 1 1 2
求导，可得 y   
y 1 x 1x 3(2x) 3(2x)
1
x2 2x 2 1 1 2 
y 3     
1 1x (2x)2 x 1x 3(2x) 3(2x)
因此 y  
1
x

2
x
3
(
2
2


x
x ) 2
 2
x

1
1
 x

3 ( 2
1
 x )

3 ( 2
2
 x )

 c o s x
14.【答案】 f [ ( x ) y 2 ] ( x )
1
2 y
e y
    

 


【解析】由 y  e y  x ，两边同时对 x
1
求导，得yeyy1，解得y . 由
1ey
z f [ ( x ) y 2 ]    ，得
d
d
z
x
f [ ( x ) y 2 ] [ ( x ) 2 y y ] f [ ( x ) y 2 ] ( x )
1
2 y
e y
              

 


.
15.【答案】 d u   g ( s i n y )  c o s y 
b
a
2
2
x
y
d x
【解析】
d
d
u
x
 g ( s i n y )  c o s y 
d
d
y
x
，又
d
d
y
x

b

c
a
o
s
s
i n
t
t


b
a
a
b
a c
b
o
s
s
i n
t
t
 
b
a
2
2
x
y
，
du b2x b2x
故 g(siny)cosy ，即dug(siny)cosy dx.
dx a2y a2y
1
16.【答案】
e
【解析】当t 0时， x  0
dx
，y1， 2t1，由teyy10得
dt
e y  t e y
d
d
y
t

d
d
y
t
 0 ，解得
d
d
y
t
 
1
e

y
t e y
dy 1
，  ，所以
dt e
t0
dy dy/dt ey dy 1
  ，即  .
dx dx/dt (2t1)(1tey) dx e
t017.【答案】 
n
n

!
4
x2 x3 (1)n5
【解析】方法一：由ln(1x)x    xn4 o(xn4)
2 3 n4
得 ln (1  x )   x 
x
2
2

x
3
3
 
n
1
 4
x n  4  o ( x n  4 ) ，
x6 xn
则 f(x)x5    （o xn），
2 n4
由
f (n ) (
n !
0 )
 
n
1
 4
n!
得 f(n)(0)
n4
方法二：莱布尼兹公式
令ux4， v  ln (1  x )
n
，由公式(uv)(n) Cku(k)v(nk) ，而
n
k0
u ( 0 )  0 ， u ( 0 )  0 ，
u ( 0 )  0 ， u ( 0 )  0 ， u (4 ) ( 0 )  2 4 ， u (5 ) ( 0 )  0 ，则 f (n ) ( 0 )  C 4n u (4 ) ( 0 ) v (n  4 ) ( 0 ) ，而
vln(1x)， v   ( x  1 )  1 ， v    ( x  1 )  2 ， v    (  2 ) ( x  1 )  3  2 ( x  1 )  3 ，所以
v(n4) (1)n5(n5)!(x1)(n4)，从而 v (n  4 ) ( 0 )  (  1 ) n  5 ( n  5 ) ! (  1 )  (n  4 )   ( n  5 ) ! ，所以
n(n1)(n2)(n3) n!
fn(0)C4u(4)(0)v(n4)(0) 24(n5)! .
n 4! n4
18.【答案】 
9 9
2
!
π
【解析】易知 t a n
π
4
 1  0 ，令 g ( x ) 

t a n
 π
4
x 2

 2
 
t a n
 π
4
x 1 0 0

 1 0 0

则 f ( x ) 

t a n
 π
4
x

 1

 g ( x ) ，可得

 π   π π 
f(1)tan x1 g(1)0g(1) sec2  x [12] [1100]
 4    4 4  x1
x1
x1
π 1 99!
  (99!) π
4 π 2
cos2
 
4
方法二：一点处的导数，可以考虑导数的定义. 由 f(1)0，则 π    π  

tan x1
 
tan x100 100

f(x) f(1) f(x)  4    4  
f(1)lim lim lim
x1 x1 x1 x1 x1 x1
π 
tan x1
4  π π  99!
99!lim 99!lim sec2  x π
x1 x1 x1 4 4  2
19.【答案】A
【解析】由题意， f ( x ) 有任意阶导数且 f ( x )  f 2 ( x ) ，则
f ( x )  [ f 2 ( x ) ]  2 f ( x ) f ( x )  2 f ( x ) f 2 ( x )  2 f 3 ( x ) ，
f ( x )  [ 2 f 3 ( x ) ]  3  2 f 2 ( x ) f ( x )  3 ! f 4 ( x ) ，由此归纳，可知 f (n ) ( x )  n ! f n  1 ( x ) ，故选
项（A）正确.
20.【答案】 f (n ) ( 0 )   [1  (  1 ) n ] n !  2 n  1
【解析】利用高阶导公式.
1 1 1 1 1 
f(x)     
4x2 1 (2x1)(2x1) 22x1 2x1
1  1  (n)  1  (n) 1(1)nn!2n (1)nn!2n
f(n)(x)         
2 2x1 2x1  2(2x1)n1 (2x1)n1 
则 f (n ) ( 0 ) 
1
2
 ( 
(
1

n ) n
n 1 )
!

2
1
n
 (  1 ) n n ! 2 n

  [1  (  1 ) n ] n ! 2 n  1 .
21.【答案】C
【解析】两个曲线有公共的切线，在切点处有共同的导数值.
由 y  x 2  a x  b 得 y   2 x  a ； 2 y   1  x y 3 两边对 x 求导得 2 y   y 3  3 x y 2 y  ，解得
y3
y . 因为两曲线在(1,1)处相切，所以
23xy2
 1  1  a  b ， 2  a 
2  3
(

 1
1
)

3
(  1 ) 2
，
解得a1，b1，故答案应选（C）.
1
22.【答案】y x1
2
【解析】当x0时，y1，e2xy cosxye1两边对x求导得 dy  dy e2xy  2  sinxy  yx  0，将
 dx  dx
x  0 ， y  1 代入得 d
d
y
x
|
x  0
  2 ，
故所求法线方程为 y  1 
1
2
( x  0 ) ，即 y 
1
2
x  1 .
23.【答案】 y  2 x  3
【解析】2x2 y2 3两边对x求导得4x2yy0，即 y   
2 x
y
，y∣ 2，所求的切
x1
线方程为y12(x1)，即y2x3.
24.【答案】 g ( x ) 
 x
1
2
f ( x
 f (
)
x
0

2
) ,
f ( x )
, x
x


0
0
,
.
【解析】当 x  0 时， g ( x ) 
f (
x
x )
， g ( x ) 
x f ( x )
x

2
f ( x )
. 当 x  0 时，
f(x)
 f(0)
g(x)g(0) x f(x) f(0)x f(x) f(0)
g(0)lim lim lim lim
x0 x x0 x x0 x2 x0 2x
1
 f(0)
2
故 g ( x ) 
 x
1
2
f ( x
 f (
)
x
0

2
) ,
f ( x )
, x
x


0
0
,
.