241011_180302-基础习题册高数第二章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_基础_高数

第二章 导数与微分 2-1 基础过关 1.【答案】（1）在x0处连续，不可导 ；（2）在x0处连续且可导 【解析】方法一： limylim|sinx|0 y(0)，所以 x0 x0 y  | s i n x | 在 x  0 处连续， y(x)y(0) sinx sinx y(0) lim  lim  lim 1  x0 x0 x0 x x0 x y  ( 0 )  l i x  m 0  y ( x ) x   y 0 ( 0 )  l i x  m 0  s i n x x  l i x  m 0  s i n x x  1 因为 y  ( 0 )  y  ( 0 ) ，即 y 在x0处不可导. 【解析】方法二： l i m x  0 y  l i m x  0 | x 2 s i n 1 x | 0 = y ( 0 ) ，所以 y 在 x  0 处连续， 1 x2sin y(x) y(0) x 1 y(0) lim  lim  lim xsin 0，所以 x0 x0 x0 x x0 x y 在 x  0 处可导. 2.【答案】（1）  f ( x 0 ) ；（2） f ( 0 ) ；（3） 2 f ( x 0 ) 【解析】方法一： l ix m 0 f ( x 0    x ) x  f ( x 0 )   l ix m 0 f ( x 0    x  ) x  f ( x 0 )   f ( x 0 ) . f(x) f(x) f(0) 方法二：lim lim  f(0). x0 x x0 x0 f(x h) f(x ) f(x ) f(x h) 方法三：lim 0 0 lim 0 0  f(x ) f(x )2f(x ). h0 h h0 h 0 0 0 3.【答案】 f  ( 0 )  0 ， f  ( 0 )   1 ， f(0)不存在 f(x) f(0) x 【解析】 f(0) lim  lim 1.  x0 x0 x0 x f(x) f(0) x2 f(0) lim  lim 0.  x0 x0 x0 x所以 f  ( 0 )  f  ( 0 ) ，所以 f ( 0 ) 不存在. 4.【答案】 k 1  y  |x  23 π   1 2 ； k 2  y  |x  π   1 2 2 1 【解析】ycosx，所以k  y   cos  ， 1  3  3 2 k 2  y (  )  c o s    1 . 5.【答案】切线方程为 2 3 x  y  1 2  1  3 3 π   0 ； 法线方程为 2 3 3 x  y  1 2  2 9 3 π  0 【解析】ysinx，所以 y    3    s i n  3   2 3 ，切线方程为： y  1 2   2 3  x   3  ，即 2 3 x  y  1 2  1  3 3 π   0 （或 y  1 2  1  3 3 π   2 3 x ） 法线方程为： y  1 2  2 3  x   3  ，即 2 3 3 x  y  1 2  2 9 3 π  0 （或 2 3 1 2 3 y  x  π） 3 2 9 6.【答案】 x  y  1  0 【解析】yex ， y ( 0 )  1 ，所以切线方程为 y  1  1  ( x  0 ) ，即 x  y  1  0 （或 y  x1）. 7.【答案】 y  x  1 【解析】直线x y 1的斜率为k 1，因为直线与切线垂直，即切线的斜率为1. 设切点为 ( x 0 , y 0 ) 1 ，则y  1，得 0 x 0 x 0  1 ，所以 y 0  l n 1  0 ， 因此切线方程为：y01(x1)，即y  x1. 8.【答案】A【解析】因为 f ( x ) 可导，要证明 F ( x ) 在x0处的可导性，只需要证明 f ( x ) | s i n x | 在 x0处的可导性 f(x)|sinx| |sinx| F(0) f(0)lim  f(0)lim f(x) ，因为 f(x)可导，所以 x0 x0 x0 x f(x)连续. 若函数极限存在，则需要 f ( 0 )  0 . 反之，若 f ( 0 )  0 ，则 F ( 0 )  0 . 所以 f ( 0 )  0 是 F ( x ) 在 x  0 处可导的充分必要条件. 常用结论：若 f ( x ) 在x x 处可导， 0 g ( x ) 在 x  x 0 处连续但不可导，则 F ( x )  f ( x ) g ( x ) 在 x  x 0 处可导的充要条件是 f ( x 0 )  0 . 9.【答案】B 【解析】 结论： f ( x )  x  x 0 g ( x ) ，且 lx i m x0 g ( x )  A ，则 f ( x ) 在 x  x 0 处可导的充要条件是 A  0 . 证明： f ( x 0 )  lx i m x0 f ( x ) x   f x ( 0 x 0 )  lx i m x0 x  x 0 x  g ( x x 0 )  0  lx i m x0 g ( x ) x x   x x 0 0 ，若极限存 在，则 lx i m x0 g ( x )  A  0 ，得到 f(x )0， 0 f ( x ) 在 x  x 0 处可导. 因此 x 3  x  x ( x  1 ) ( x  1 )  0 ，得 x  0 ,  1 . 在 x  0 处， f ( x )  x  0 ( x 2  x  2 ) | x 2  1 | ，令 g ( x )  ( x 2  x  2 ) | x 2  1 | ， limg(x)(x2 x2)|x2 1|20，所以 f(x)在 x0 x  0 处不可导. 在 x  1 处， f ( x )  x  1 ( x 2  x  2 ) | x 2  x | ，令 g ( x )  ( x 2  x  2 ) | x 2  x | ， limg(x)(x2 x2)|x2 x|40，所以 f(x)在 x1 x  1 处不可导. 在 x   1 处， f ( x )  x  1 ( x 2  x  2 ) | x 2  x | ，令 g ( x )  ( x 2  x  2 ) | x 2  x | ， limg(x)(x2 x2)|x2 x|0，所以 f(x)在x1处可导. 则函数有2个不可导 x0 点，答案选（B）.10.【答案】B 【解析】（B）选项，若 f(a)0， f(a)0. 记 F ( x )  f ( x ) ，不妨设 f(a)0，则 F  ( a )  l i x  m a  F ( x ) x   F a ( a )  l i x  m a  f x (  x ) a  l i x  m a  f x (  x ) a  l i x  m a  f ( x ) x   f a ( a )  f ( a )  f ( a ) F(x)F(a) f(x) f(x) f(x) f(a) F(a) lim  lim  lim  lim  xa xa xa xa xa xa xa xa  f(a) f(a) 所以 F  ( a )  F  ( a ) ，所以函数 F ( x )  f ( x ) 在点 x  a 处不可导. 11.【答案】（1） y  x  π6  3 2  1 ， y  x  π4  2 ；（2） f ( 0 )  3 2 5 ， f ( 2 )  1 1 7 5 ； （3） 2 2 π 【解析】（1） y   c o s x  s i n x ， y   π 6   2 3  1 2  1  2 3 π 2 2 ，y      2 4 2 2 （2） f ( x )   ( 5  3 x ) 2  (  1 )  2 5 x  ( 5  3 x ) 2  2 5 ，所以 f ( 0 )  3 2 5 ， f ( 2 )  1 3  4 5  1 1 7 5 （3） y   2 a r c s i n x  1 1  x 2 ， y   2 2   2   4 2  2 2  12.【答案】（1）y2f(x2)4x2f(x2);（2） y   f ( x ) f ( x f ) 2 (  x ( ) f ( x ) ) 2 【解析】 （1）y f(x2)2x， y f(x2)(2x)2 2f(x2)4x2f(x2)2f(x2) 1 f(x) f(x)f(x)[f(x)]2 （2）y  f(x) ，y f(x) f(x) f 2(x) e2y(2xey) 13.【答案】（1）y2cot3(x y)csc2(x y)；（2）y 或 (1xey)3e2y(3 y) y (2 y)3 【解析】 （1） y   s e c 2 ( x  y )  (1  y ) ，即 y  c o s 2 ( x  y )  1  y  ，得 y    c s c 2 ( x  y ) y     2 2 c c s s c c 2 ( ( x x   y y ) )  c  o  t ( c x s c  ( x y  ) (1 y  ) c c o s t c ( 2 x ( x   y ) y  )  ) (1    y 2 ) c s c 2 ( x  y ) c o t 3 ( x  y ) ey （2）yey xeyy，所以y ，故yeyyeyyxey(y)2 xeyy， 1xey 所以 y   e y y 1 (  2 x  e x y y )  e 2 y (1 (  2  x e x y e ) y 3 ) 14.【答案】（1） y    1 x  x  x  l n 1 x  x  1 1  x  ； （2） y   1 5 5 5 x x  2 5  2  x 1  5  5 ( x 2 2 x  2 )  【解析】 （1） l n y  x l n 1 x  x  x  l n x  l n ( 1  x )  ， y x 1 1  x 1  x  x  x 1  ln x    ln  ，所以y    ln   . y 1x  x 1x 1x 1x 1x  1x 1x 1 1  （2）ln y  ln|x5| ln(x2 2) ，所以   5 5  y y   1 5  x 1  5  5 ( x 2 2 x  2 )  所以 y   1 5 5 5 x x  2 5  2  x 1  5  5 ( x 2 2 x  2 )  dy 3bt dy cossin 15.【答案】（1）  ；（2）  dx 2a dx 1sincos 【解析】 dy dx dy 3bt2 3bt （1）因 3bt2 ， 2at，所以   dt dt dx 2at 2a（2）因 d d y c o s s i n       ， d d x 1 s i n c o s        ，所以 d d y x 1 c o s s i n s i n c o s           16.【答案】（1） y (4 )   4 e x c o s x ；（2） y (5 )  2 5 ( x 2 c o s 2 x  5 x s in 2 x  5 c o s 2 x )   【解析】（1）(cosx)(n) cos  xn   2 y (4 )    C C e 0 e 4 3 ( 4 x ( c x e o ( c x ) s o s ( c x  (4 ) x )   o s x ) 4 s i n C  x 14 C  ( e 44 6 x ) ( e c o ( c o s x (4 ) ) ( s x  x c 4 ) o s   s x i n ) x C (0  24 ) ( c e o x s  ) ( x ) c o  s  x 4 ) e  x c o s x （2） ( s i n x ) (n )  s i n  x  n   2  . y(5) C0x2(sin2x)(5) C12x(sin2x)(4) C22(sin2x)0 5 5 5 54  x225cos2x52x24sin2x 223cos2x 2 25(x2cos2x5xsin2x5cos2x) 17.【答案】（1） (  1 ) n ( n x  n 2  1 ) ! ( n  2 ) ；（2） e x ( x  n ) 【解析】（1） ( l n x )   1 x  x  1 ， ( l n x )   (  1 ) x  2 ， ( l n x )   (  1 ) (  2 ) x  3 ， ( l n x ) (n )  (  1 ) (  2 )   ( n  1 )  x  n  (  1 ) n  1 x ( n n  1 ) ! y (n )  C 0n x ( ln x ) (n )  C 1n 1 ( ln x ) (n  1 )  0  (  1 ) n  x 1 ( n n  1  1 ) !  (  1 ) n  2 ( n n  x  1 2 ) ! n  (  1 ) n ( n x  n 2  1 ) ! ( n  2 ) （2） y (n )  C 0n x ( e x ) (n )  C 1n 1 ( e x ) (n  1 )  0  x e x  n e x  e x ( x  n ) n! 18.【答案】(1)n1 (n3) n2 【解析】方法一： 1 [ln(1x)] (1x)1 ， ln(1x) (1)(1x)2 ， 1x ln(1x)(1)(2)(1x)3(1)n1(n1)! ln(n)(1x)(1)(2) (n1)(1x)n  (1x)n f(n)(x)C0x2ln(n)(1x)C12xln(n1)(1x)C22ln(n2)(1x)0 n n n f (n ) ( 0 )  n ( n  1 )  l n (n  2 ) ( 1  x ) x  0  n ( n  1 )  (  1 ) n  3 ( n  3 ) ! ( 1  x )  (n  2 ) x  0  (  1 ) n  1 n n  ! 2 方法二：利用泰勒公式求函数在一点的高阶导数 f ( x )  x 2  x  1 2 x 2   (  1 ) n  3 n 1  2 x n  2    x 3   (  1 ) n  1 n 1  2 x n  x n 的系数 f (n n ) ( ! 0 )  (  1 ) n  1 n 1  2 ，所以 f (n ) ( 0 )  (  1 ) n  1 n n  ! 2 . 2-2 基础真题 1.【答案】B 【解析】方法一： f(ax) f(a) f(a) f(ax) 原式=lim lim  f(a) f(a)2f(a) x0 x x0 x (ax)(ax) 方法二：利用结论得到原式= f(a)lim 2f(a) x0 x 方法三：取特例，不妨设 f(x) x，则 f ( a )  1 ， (ax)(ax) 原式lim 22f(a)，排除（A），（C），（D）. x0 x 2.【答案】1 f(3h) f(3) f(3h) f(3)  1  1 【解析】lim lim     f(3)1. h0 2h h0 3h3 2 2 3.【答案】D 【解析】已知导数求极限 方法一：已知周期函数，可以利用周期性，先算出在1点处的切线斜率.方法二：已知极限求导数，可以凑导数的定义. f(x4) f(x)，则 f(x4) f(x) f(1) f(1x) f(1) f(1x) 所以 f(5) f(1)lim 2lim 2. x0 1(1x) x0 2x 4.【答案】C 【解析】 l i m h  0 f ( h 2 )  l i m h  0 f ( h h 2 2 )  h 2  1  0  0 ，因为函数连续，所以 f(0)0. 由于 h 2 f(0h2) f(0) 恒大于0，因此 f(0)lim 1.  h0 h2 所以答案选（C）. 5.【答案】D 【解析】计算 f ( x ) 在x0处的左右极限及左右导数，判断该点的连续性和可导性. 1 x2 1cosx lim f(x) lim x2g(x)0，lim f(x) lim  lim 2 0， x0 x0 x0 x0 x x0 x 又因为 f ( 0 )  0 2  g ( 0 )  0 ，所以 lx i m 0 f ( x )  0  f ( 0 ) ，函数连续 f  ( 0 )  l i x  m 0  f ( x ) x   f 0 ( 0 )  l i x  m 0  x 2 g x ( x )  0 1 x2 f(x) f(0) 1cosx 2 f(0) lim  lim  lim 0  x0 x0 x0 3 x0 3 x2 x2 因为 f  ( 0 )  f  ( 0 ) ，所以 f(0)0.函数可导. 6.【答案】D 【解析】线性主部就是微分，根据微分的定义列出等式. 因为dy  ydx yx(x0)，则dy f(x2)2xx 1 所以dy  f(1)(2)(0.1)0.1，故 f(1) . 案选（D）. x1 27.【答案】C 【解析】先求出极限函数的表达式，再根据表达式判断分段函数的可导性. f ( x )  ln i m  n 1  x 3 n  m a x  1 , x 3    1 3 ， x ， | | x x | > | 1 1 .明显，函数 f ( x ) 是一个偶函数， 我们只需要判断 x  1 函数的可导性就可以. f(x) f(1) 11 f(1) lim  lim 0  x1 x1 x1 x1 f(x) f(1) x31 (x1)(x2 x1) f(1) lim  lim  lim 3  x1 x1 x1 x1 x1 x1 f ( x ) 在 x  1 处左右导数不相等，因此 x  1 是函数的不可导点. 因为 f ( x ) 是一个偶函数，因此x1是函数的不可导点. 有两个不可导点.答案选（C）. 8.【答案】C 【解析】先判断函数是否连续，再根据导数的定义判断分段函数分段点处的可导性. lim f(x)0 f(0)，所以 f(x)在 x0 x  0 处连续. 1 1 x sin sin f(x) f(0) x2 x2 f(0) lim  lim  lim 不存在.  x0 x0 x0 x0 x0 x 所以 f ( x ) 在 x  0 处不可导. 9.【答案】 a  2 , b   1 【解析】可导一定连续，先通过连续的定义，再根据分段点处函数可导，确定 a 和b的关 系. 函数可导一定连续，lim f(x)1，lim f(x)ab，所以 x1 x1 a  b  1 . f(x) f(1) x2 1 f(1) lim  lim  lim(x1)2  x1 x1 x1 x1 x1 f(x) f(1) axb1 axa f(1) lim  lim  lim a，  x1 x1 x1 x1 x1 x1因为 f ( x ) 可导，所以 f(1) f(1)，即   a  2 ，所以 b   1 . 10.【答案】（Ⅰ） f(x)kx(x2)(x4)；（Ⅱ） k   1 2 【解析】 （1）由 x    2 , 0  ，得 x  2   0 , 2  ，所以 f ( x  2 )  ( x  2 ) [ ( x  2 ) 2  4 ] 所以 f ( x )  k f ( x  2 )  k ( x  2 ) ( x 2  4 x ) （2） f  ( 0 )  l i x  m 0  f ( x ) x   f 0 ( 0 )  l i x  m 0  x ( x 2 x  4 )   4 f(x) f(0) k(x2)(x2 4x) f(0) lim  lim 8k  x0 x0 x0 x 因为 f(x)在 x  0 处可导，所以 f  ( 0 )  f  ( 0 ) 1 ，即48k，k   . 2 11.【答案】 x 1 2  x 2 【解析】yln( 1x2 1)ln( 1x2 1). 2x 2x 2 1x2 2 1x2 x  1 1  y      1x2 1 1x2 1 1x2  1x2 1 1x2 1 x  2  2   .   1x2  x2  x 1x2 12.【答案】 n ! 【解析】方法一：若干个式子相乘，若 f(a)0，可以考虑用导数的定义. f ( 0 )  l i m x  0 f ( x )  x f ( 0 )  l i m x  0 x ( x  1 ) ( x  x 2 ) ( x  n )  n ! 方法二：若干个式子相乘，可以分离出其中的一个零因子，然后用求导法则. 令g(x)(x1)(x2) (xn). 则 f(x) x(x1)(x2) (xn) xg(x). 则 f(x) g(x)xg(x)，于是 f(0) g(0)0n!.13.【答案】  1 2  x ( 1 e   x  e 2 x ) 【解析】 y = ( 1 e   e x  ) 2  x  e  x 1   (  e  2 x x )    1 2  x ( 1 e   x  e 2 x ) . 14.【答案】  1 x 2 e ta n 1x  s e c 2 1 x s i n 1 x  c o s 1 x  【解析】 y    e  ta n 1 x 1x 2 s e e c ta n 2 1x 1 x     s e  2 c 1 x 1 x 2 s  i s n i n 1 x 1 x   c o e s ta n 1 x 1x  c o s 1 x    1 x 2  15.【答案】 3 π 2 【解析】 d d y x  f   3 3 x x   2 2    3 x 1 2  2  2   3 x 1 2  2  2 a r c s i n  3 3 x x   2 2  2 . 16.【答案】  3 2 【解析】利用复合函数求导公式，对数函数可以在求导之前优先利用性质化简. y  1 2 l n ( 1  x )  1 2 l n ( 1  x 2 ) ， y    2  1 1  x   1  x x 2 ， y    2 ( x 1  1 ) 2  1 (1   x x 2 2 ) 2 ， y  x  0   3 2 . 17.【答案】 e f ( x )  1 x f ( l n x )  f ( x ) f ( l n x )  d x 【解析】dy df(lnx)ef(x) df(lnx)ef(x)  f(lnx)def(x)   1   f(lnx)dx ef(x)  f(lnx)ef(x) f(x)dx   x  1  ef(x) f(lnx) f(x)f(lnx) dx   x  x 18.【答案】dy  dx 2x y 【解析】隐函数求导公式，把y 看成 x 的函数. 对方程两边求微分， 2 d y  d x  ( d x  d y ) l n ( x  y )  ( x  y ) d x x   d y y ， 结合题中所给方程，可得 d y  2 x x  y d x . 19.【答案】 2 e 2 【解析】隐函数求导公式，把y 看成x的函数. 方程两边对 x 求导得 y   e y  x e y y   0 ，两边再对 x 求导得 y   e y y   ( e y y   x e y y  2  x e y y )  0 由题设知x0时 y  1 ，代入上面两式解得 y ( 0 )  e ，y(0)2e2 . 即 d d 2 x y 2 x  0  2 e 2 . y2 2xcos(x2  y2)ex 20.【答案】 2ycos(x2  y2)2xy 【解析】隐函数求导公式，把y 看成x的函数. 等式sin(x2  y2)ex xy2 0两边对x求导得 2 c o s ( x 2  y 2 )  ( x  y y )  e x  y 2  2 x y y   0 dy y2 2xcos(x2  y2)ex 则  . dx 2ycos(x2  y2)2xy [1 f(y)]2  f(y) 21.【答案】 x2[1 f(y)]3【解析】隐函数求导公式，把y 看成 x 的函数. 其中幂指函数可以采用取对数的方法化简. 方程两边取对数，得lnx f(y) y，从而求得 1 x  f ( y )  y   y  ，  1 x 2  f ( y )  ( y ) 2  f ( y )  y   y  整理得 y   x [1  1 f ( y ) ] ， (1  f ( y ) ) y    1 x 2  f ( y )  ( y ) 2   1 x 2  f ( y )  x 2 [1  1 f ( y ) ] 2  f ( x y 2 )  [1   1  f ( f y ( ) ] y 2 )  2 f(y)1 f(y)2 y . x2[1 f(y)]3 1 22.【答案】 dx x(1ln y) 【解析】隐函数求导公式，把y 看成 x 的函数.其中幂指函数可以采用取对数的方法化简. 方程 x  y y 两边取对数得lnx yln y，上式两边求微分得 1 x d x  ( l n y  1 ) d y ，则 d y  x ( 1  1 l n y ) d x 23.【答案】(ln21)dx 【解析】隐函数求导公式，把y 看成x的函数. 等式两边同时求微分得 2 x y ( y d x  x d y ) l n 2  d x  d y ，由原方程知，当 x  0 时， y 1，并代入上式得 l n 2 d x  d x  d y ，即 d y | x  0   l n 2  1  d x . 24.【答案】2 【解析】隐函数求导公式，把y 看成x的函数. 将方程两边对x求导，将 y 视为x的函数，得eyy6xy6y2x0 ① 再对x求导， y ，y均视为x的函数，得eyyey(y)2 6xy12y20 ② 当x0时，由原方程知y 0，再以x0，y 0，代入①中得，y0，再代入②得y2. 25.【答案】 d d y x  1 s  i n c o t s t d2y 1 ，  dx2 5(1cost)2 【解析】因 d d y t  5 s i n t ， d d x t  5  5 c o s t ，故 d d d d y x 2 x y 2   5 5  1 d d t s   i n c 1 t o s t s i n  c o  t s  t 1  s  d  d i n c t x o t s  t c , o s t  ( 1  ( c 1 o  s c t o ) s  t s ) i 2 n t ( s i n t )  5 ( 1  1 c o s t )   5 ( 1  1 c o s t ) 2 26.【答案】 ( c o s 2 t   2 t t s i n t ) 3 【解析】 d d x t  c o s t  t s i n t ， d d y t  s i n t  t c o s t d d y x  s c i n o s t t   t t c s o i s n t t ， d d 2 x y 2     d s i n  d t c o s  ( 2 c o s t 2 2 c o s t 2  ( c o s t  t  t c t  t s  t s i n  2 t s 2 t t s i n t o s t i n t t ) ( i n t 3 ) d t  d x  c o s t c o s t   t s i n ( c o t s i n t ) s t t c   o ( t s s s t i n i n  t t t  2 ) 2 s ( c t c i n o s o 2 t s t  t  ) t ( 2 s  2 s i i n s i n 2 n t 3 t ) t   t t s c o i n s t t c ) o  s c t o  1 s t  2 t s t i n s i t n c t o s t  t 2 c o s 2 t 27.【答案】 3 dy dy/dt f(e3t 1)3e3t 【解析】   ， dx dx/dt f(t) d d y x t 0  3 f f ( 0 ( 0 ) )  3 . (y2 et)(1t2) 28.【答案】 2(1ty) 【解析】利用参数方程求导公式，其中y 和t的关系需要用到隐函数求导. dx 1 dy dy  ，由2yty2 et 5，对t求导得2  y2 2ty et 0，整理得 dt 1t2 dt dtdy y2 et dy (y2 et)(1t2)  ，因而  . dt 2(1ty) dx 2(1ty) 29.【答案】（1） f ( x )   x g  g ( ( 0 2 x ) )   1 g , ( x )  2 x ( x  1  x ) e , x x   0 0 , . （2） f ( x ) 在 (   ,   ) 上连续 【解析】分段函数的分段点用导数的定义，不在分段点的直接用求导公式计算. （1）当 x  0 时， f ( x )  x [ g ( x )  e  x x ] 2  g ( x )  e  x  x g ( x )  g ( x x ) 2  ( x  1 ) e  x 当 x  0 时， f ( 0 )  l i m x  0 g ( x )  x x e  x  0  l i m x  0 g ( x ) 2  x e  x  l i m x  0 g ( x ) 2  e  x  g ( 0 2 )  1 所以 f ( x )   x g  g ( ( 0 2 x ) )   1 g , ( x x ) 2  ( x  1 ) e  x , x x   0 0 , . （2） l i m x  0 f ( x )  l i m x  0 x g ( x )  g ( x x ) 2  ( x  1 ) e  x  l i m x  0 g ( x ) 2  e  x  g ( 0 2 )  1  f ( 0 ) 所以 f ( x ) 在 x  0 处连续，又 f(x)在 x  0 处连续，故 f ( x ) 在(,)上连续. 30.【答案】A 【解析】抽象函数高阶导数的计算可以通过找规律. 由 fx[f(x)]2 知， f(x)2f(x)f(x)2[f(x)]3 f ( x )  2  3 [ f ( x ) ] 2 f ( x )  1  2  3 [ f ( x ) ] 4  3 ! [ f ( x ) ] 4 f(n)(x)n![f(x)]n1 31.【答案】C【解析】判断该点左右导数的是否连续判断 n 的最高阶导数. 由于 3 x 3 任意阶可导，则只需要考查x2 |x|. 令 ( x ) x 2 | x |   x3,x0, ，则x x3,x0, ( x ) 3 x 3 2 x , x 2 , x 0 , 0 ,        ， ( 0 ) 0    ， 6x,x0, (x) ， 6x,x0, ( 0 ) 0    ， 即 ( x ) 6 | x |    . 由于 | x | 在 x  0 处不可导，则 f (n ) ( 0 ) 存在的最高阶数是2. 2n! 32.【答案】(1)n (1x)n1 【解析】假分式通过化简转化成已知真分式，在通过找规律的方法计算. 由于 1x 2 f(x)  12(1x)11 1x 1x f(x)2(1)(1x)2 f ( x )  2  (  1 )  (  2 ) ( 1  x )  3 , , f (n ) ( x )  2 (  1 ) n n ! (1  x )  (n  1 )  2 (1 (   n 1 ) n n  x ) ! 1 2-3 拓展拔高 1.【答案】C g(x)g(a) 【解析】由lim limf(x) f(x)f(a) f(a)得     xa xa xa g(x)g(a) g  (a)  f(a) f(a) . 由 x l  im a xa  x l  im a   f(x) f(x)    f(a) f(a)  得g(a) f(a) f(a) . 所以g(x)在xa处可导的充要条件是 f(a) f(a) . 所以答 案选（C） 2.【答案】C 【解析】由 li m x  0 f ( x )  0  f ( 0 ) ，得 f ( x ) 在x0处连续； 1 f(x) f(0) 12x lim lim ，则 x0 x x0 1 12x f (  0 )  1  f  ( 0 )   1 ，即 f ( x ) 在x0处不可导，故 答案选（C）. 3.【答案】D 【解析】 （A）不正确，例如： f  x    x 2 2 , x , x   1 , 1 , f(1h) f(1h) 显然lim 存在，但 f(x)在 h0 h x  1 处不连续，所以也不可导； （B）不正确，因为 li m h  0 f [1  ln (1 e  h 2 2  h 2 1 ) ]  f (1 ) 存在，只能保证 f ( x ) 在 x  1 处右导数存 在； （C）不正确，因为 li m h  0 f ( 2  c o s h h )  f (1 )  li m h  0 f [1  (1  1  c o c s o h s ) h ]  f (1 )  1  c h o s h 1cosh lim 0，所以 h0 h li m h  0 f [1  (1  1  c o c s o h s ) h ]  f (1 ) 不一定存在，于是 f(x)在 x  1 处不一定 右可导，也不一定可导； f(eh) f(1) f[1(eh 1)] f(1) eh 1 f[1(eh 1)] f(1) lim lim  lim h0 h h0 eh 1 h h0 eh 1 上式极限存在 f(x)在x1处可导，故选（D）. 4.【答案】D 【解析】由 f(ax) f(a)  f(a) x f(ax) f(a)xf(a) f(ax) f(a) 1 lim lim lim  f(a) x0 x x0 x2 x0 2x 2，可得答案选（D）. 5.【答案】  π 【解析】由 li m x  1 f ( 2 x s i  n 1 ) π x  2  2 得 f ( 1 )  2 ，再由 2   li m x  1 2   f ( li m x  2 1 x s i f  n  [1 1 ) x   2 ( 2 2 x ( x    li m x  1 ) ] 1 ) 1  f [1  f (1 ) 2  ( x s i   n  2  1 ) x f ]  (1 ) f (1 )   li m x  1 f [1  s 2 i ( n x π  ( x 1 )  ] 1  ) f (1 ) 得 f (1 )    ，故 f(12x) f(1x)4 f(12x) f(1) f(1x) f(1) lim 2lim lim  f(1). x0 x x0 x x0 x 6.【答案】1 【解析】方法一：因为 f(x)为偶函数，所以 f ( x ) 为奇函数，于是 f(0)0，又因为 f(x)在 x  0  1   f  1   1   n  1 的邻域内连续，limn2  f  1  lim ，令  x，则 n  n  n 1 n n2  1   f  1   n  [f(x)1] f(x) f(x) f(0) f(0) lim  lim  lim  lim  1. n 1 x0 x2 x0 2x x0 2x 2 n2 方法二：因为 f ( x ) 为偶函数，所以 f ( x ) 为奇函数，于是 f ( 0 )  0 ，又因为 f ( x ) 在 f(0) x0的邻域内连续，所以 f(x) f(0) f(0)x x2 o(x2)1x2 o(x2)，于是 2!  1   1  1  limn2  f  1  limn2  o  1. n  n  n n2 n2  7.【答案】A 【解析】当 f(x)可导且Δx0. 由微分的定义知 Δ y 与 d y 的差为 Δ x 的高阶无穷小量，且 dy为Δy的线性主部，因此有Δydyo(Δx) yΔxo(Δx)，当y f(x3)时，有 y3x2f(x3)，由题设有 f(x3)3x2 x0.3， f(1)1，故答案选（A）. x18.【答案】C 【解析】显然 f(0)0，且lim f(x)0，所以 f(x)在 x0 x  0 处连续，又由 f ( x )  x 2 得 f(x) f(0) 0  x ，根据夹逼定理得 x li m x  0 f ( x )  x f ( 0 )  0 ，即 f ( 0 )  0 ，选（C）. 9.【答案】 a  b  3 【解析】因为两曲线过点 (  1 ,1 ) ，所以 b  a  0 ，又由 y  x 2  a x  b 得 d d y x x   1  a  2 ， 再由  2 y   1  x y 3 dy dy 得2 13 ，且两曲线在点 dx x1 dx x1 (  1 ,1 ) 处相切，则 a21，解得 a  b  3 . 10.【答案】 y  3 x  7 【解析】由 li m x  1 f ( x ln )  x 2  li m x  1 f ( x x )   1 2  3 得 f(1)2， f (1 )  3 f (  3 )  f (  4  1 )  f (1 )   2 ， f (  3 )  f (1 )  3 ，故所求切线方程为 y  2  3 ( x  3 ) ， 即 y  3 x  7 . 11.【答案】  2 【解析】反函数求导法则及复合函数求导法则联用 1 由反函数求导法则，可知g(y) . 由复合函数求导法则，可知 f(x) g ( y )  d d y  f 1 ( x )   d d x  f 1 ( x )   d d x y   [ f f ( ( x x ) ) ] 2  f 1 ( x )   [ f f ( x ) ( x ) ] 3 故 g ( y 0 )   [ f f ( x ) 0 ( x ) ] 0 3   2 . 12.【答案】2 dx 1 d2x f(x) d2x f(0) 2 【解析】由  ，  得   2. dy f(x) dy2 f3(x) dy2 f2(0) 1 y1 x2 2x 2 1 1 2  13.【答案】y 3      cosx 1x (2x)2 x 1x 3(2x) 3(2x)【解析】所给函数为两项之和，第一项为连乘除形式，适合利用对数求导法，对此令 y 1  1 x  2 x 3 ( 2 2   x x ) 2 ，则有 ln y 1  2 ln x  ln 1  x  1 3 ln 2  x  2 3 ln 2  x ，两端关于x 1 2 1 1 2 求导，可得 y    y 1 x 1x 3(2x) 3(2x) 1 x2 2x 2 1 1 2  y 3      1 1x (2x)2 x 1x 3(2x) 3(2x) 因此 y   1 x  2 x 3 ( 2 2   x x ) 2  2 x  1 1  x  3 ( 2 1  x )  3 ( 2 2  x )   c o s x 14.【答案】 f [ ( x ) y 2 ] ( x ) 1 2 y e y           【解析】由 y  e y  x ，两边同时对 x 1 求导，得yeyy1，解得y . 由 1ey z f [ ( x ) y 2 ]    ，得 d d z x f [ ( x ) y 2 ] [ ( x ) 2 y y ] f [ ( x ) y 2 ] ( x ) 1 2 y e y                     . 15.【答案】 d u   g ( s i n y )  c o s y  b a 2 2 x y d x 【解析】 d d u x  g ( s i n y )  c o s y  d d y x ，又 d d y x  b  c a o s s i n t t   b a a b a c b o s s i n t t   b a 2 2 x y ， du b2x b2x 故 g(siny)cosy ，即dug(siny)cosy dx. dx a2y a2y 1 16.【答案】 e 【解析】当t 0时， x  0 dx ，y1， 2t1，由teyy10得 dt e y  t e y d d y t  d d y t  0 ，解得 d d y t   1 e  y t e y dy 1 ，  ，所以 dt e t0 dy dy/dt ey dy 1   ，即  . dx dx/dt (2t1)(1tey) dx e t017.【答案】  n n  ! 4 x2 x3 (1)n5 【解析】方法一：由ln(1x)x    xn4 o(xn4) 2 3 n4 得 ln (1  x )   x  x 2 2  x 3 3   n 1  4 x n  4  o ( x n  4 ) ， x6 xn 则 f(x)x5    （o xn）， 2 n4 由 f (n ) ( n ! 0 )   n 1  4 n! 得 f(n)(0) n4 方法二：莱布尼兹公式 令ux4， v  ln (1  x ) n ，由公式(uv)(n) Cku(k)v(nk) ，而 n k0 u ( 0 )  0 ， u ( 0 )  0 ， u ( 0 )  0 ， u ( 0 )  0 ， u (4 ) ( 0 )  2 4 ， u (5 ) ( 0 )  0 ，则 f (n ) ( 0 )  C 4n u (4 ) ( 0 ) v (n  4 ) ( 0 ) ，而 vln(1x)， v   ( x  1 )  1 ， v    ( x  1 )  2 ， v    (  2 ) ( x  1 )  3  2 ( x  1 )  3 ，所以 v(n4) (1)n5(n5)!(x1)(n4)，从而 v (n  4 ) ( 0 )  (  1 ) n  5 ( n  5 ) ! (  1 )  (n  4 )   ( n  5 ) ! ，所以 n(n1)(n2)(n3) n! fn(0)C4u(4)(0)v(n4)(0) 24(n5)! . n 4! n4 18.【答案】  9 9 2 ! π 【解析】易知 t a n π 4  1  0 ，令 g ( x )   t a n  π 4 x 2   2   t a n  π 4 x 1 0 0   1 0 0  则 f ( x )   t a n  π 4 x   1   g ( x ) ，可得   π   π π  f(1)tan x1 g(1)0g(1) sec2  x [12] [1100]  4    4 4  x1 x1 x1 π 1 99!   (99!) π 4 π 2 cos2   4 方法二：一点处的导数，可以考虑导数的定义. 由 f(1)0，则 π    π    tan x1   tan x100 100  f(x) f(1) f(x)  4    4   f(1)lim lim lim x1 x1 x1 x1 x1 x1 π  tan x1 4  π π  99! 99!lim 99!lim sec2  x π x1 x1 x1 4 4  2 19.【答案】A 【解析】由题意， f ( x ) 有任意阶导数且 f ( x )  f 2 ( x ) ，则 f ( x )  [ f 2 ( x ) ]  2 f ( x ) f ( x )  2 f ( x ) f 2 ( x )  2 f 3 ( x ) ， f ( x )  [ 2 f 3 ( x ) ]  3  2 f 2 ( x ) f ( x )  3 ! f 4 ( x ) ，由此归纳，可知 f (n ) ( x )  n ! f n  1 ( x ) ，故选 项（A）正确. 20.【答案】 f (n ) ( 0 )   [1  (  1 ) n ] n !  2 n  1 【解析】利用高阶导公式. 1 1 1 1 1  f(x)      4x2 1 (2x1)(2x1) 22x1 2x1 1  1  (n)  1  (n) 1(1)nn!2n (1)nn!2n f(n)(x)          2 2x1 2x1  2(2x1)n1 (2x1)n1  则 f (n ) ( 0 )  1 2  (  ( 1  n ) n n 1 ) !  2 1 n  (  1 ) n n ! 2 n    [1  (  1 ) n ] n ! 2 n  1 . 21.【答案】C 【解析】两个曲线有公共的切线，在切点处有共同的导数值. 由 y  x 2  a x  b 得 y   2 x  a ； 2 y   1  x y 3 两边对 x 求导得 2 y   y 3  3 x y 2 y  ，解得 y3 y . 因为两曲线在(1,1)处相切，所以 23xy2  1  1  a  b ， 2  a  2  3 (   1 1 )  3 (  1 ) 2 ， 解得a1，b1，故答案应选（C）. 1 22.【答案】y x1 2 【解析】当x0时，y1，e2xy cosxye1两边对x求导得 dy  dy e2xy  2  sinxy  yx  0，将  dx  dx x  0 ， y  1 代入得 d d y x | x  0   2 ， 故所求法线方程为 y  1  1 2 ( x  0 ) ，即 y  1 2 x  1 . 23.【答案】 y  2 x  3 【解析】2x2 y2 3两边对x求导得4x2yy0，即 y    2 x y ，y∣ 2，所求的切 x1 线方程为y12(x1)，即y2x3. 24.【答案】 g ( x )   x 1 2 f ( x  f ( ) x 0  2 ) , f ( x ) , x x   0 0 , . 【解析】当 x  0 时， g ( x )  f ( x x ) ， g ( x )  x f ( x ) x  2 f ( x ) . 当 x  0 时， f(x)  f(0) g(x)g(0) x f(x) f(0)x f(x) f(0) g(0)lim lim lim lim x0 x x0 x x0 x2 x0 2x 1  f(0) 2 故 g ( x )   x 1 2 f ( x  f ( ) x 0  2 ) , f ( x ) , x x   0 0 , .