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大 大 大求积分讲义 大 大 大 大 大 大 大 大
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(一) 不定积分
(1) 三种主要的积分法
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 1）第一类换元O法（凑微分法） O O O O O O O O O
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若∫ f(u)du = F (u)+C，且ϕ(x)可导，则
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
∫ f(ϕ(x))ϕ′(x)dx = ∫ f(ϕ(x))dϕ(x)=F(ϕ(x))+C
x3
【例1】（1992年）求∫ dx.
C C 1+ x2 C C C C C C C C C
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x2 1 ⎛ 1 ⎞
学 【解】 原式 学 = ∫ d(1+ x2)= ∫ 学⎜ 1+ x2 − ⎟d(1+ 学 x2) 学 学 学 学 学 学 学
大 大
2 1+ x2
大2 ⎜
⎝ 1+ x2
⎟
⎠
大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 3 1
= (1+ x2)2 −(1+ x2)2 +C.
3
C C C C C C C C C C C
O (arctan Ox)2 2O O O O O O O O O
O 【例2】∫ O dx O[ (arctan x)3 +C] O O O O O O O O
M xM(1+x) M3 M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 1
C 【例3】∫sin5 xcos3Cxdx [ sCin6 x− sin8x+C] C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
ln(x+1)−lnx 1 1
【例4】 ∫ dx [− ln2(1+ )+C]
C x(x+1C) 2C x C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 1 MM MM MM MM MM MM MM
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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大 大 sin2 x 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 【例5】国 ∫ dx 国 国 国 国 国 国 国 国 国
(xcosx−sinx)2
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
sin2 x tan2 x
【解】∫ dx = ∫ dx
(xcosx−sinx)2 (x−tanx)2
C C C C C C C C C C C
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O
sec
O2
x−1 d(x−tanx
O
)
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M = ∫ M dx =−∫ M M M M M M M M M
学 学(x−tanx)2 (x−ta学nx)2 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 1 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 = +C 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x−tanx
2）第二类换元法
C 设函数x=ϕ(tC)可导，且ϕ′(t)≠0,又设 C C C C C C C C C
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∫ f(ϕ(t))ϕ′(t)dt = F(t)+C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
则 ∫ f(x)dx = ∫ f(ϕ(t)ϕ′(t)dt =F(ϕ−1(x))+C
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
三种常用的变量代换
C (1) 被积函数C中含有 a2 −x2 时，令x=Casint,或x =acost; C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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(2) 被积函数中含有 a2 +x2 时，令x=atant；
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
（3）被积函数中含有 x2 −a2 时，令x =asect ；
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1.求下列不定积分
a2 −x2
C C C C C C C C C C C
O 【例1】计算∫ O dx，其中a >0. O O O O O O O O O
O Ox O O O O O O O O O
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【解】x=asint,则
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
a2 −x2 cos2t
∫ dx =a∫ dt
x sint
C C 1−sin2t C C C C C C C C C
O O =a∫ dt O O O O O O O O O
O O sint O O O O O O O O O
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大 大 =−alncsct+大cott +acost+C 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
a a2 −x2
=−aln + + a2 −x2 +C
x x
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 2 MM MM MM MM MM MM MM
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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大 大 dx 大 大x 大 大 大 大 大 大 大
【例2】(2001年2)∫ [arctan( )+C]
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
(2x2 +1) 1+x2 1+x2
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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中 中 dx 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【例3】∫
1+ex
【解】令 1+ex =t,则
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M Mdx dt M M M M M M M M M
∫ =2∫
学 学 1+ex t2 −1 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
t−1
=ln +C
t+1
3）分部积分法
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
设u(x),v(x)有连续一阶导数，则
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∫udv =uv−∫vdu
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【注】(1) 分部积分法常用于被积函数为两类不同函数相乘的不定积分;
(2)分部积分法选择u(x),v(x)的原则是∫vdu比∫udv好积， 设 p (x)是n次多项
n
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 式，则 O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
形如∫p (x)eαxdx, ∫p (x)sinαxdx, ∫p (x)cosαxdx 的积分都是先把多项
大 大 n n 大 n 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 式中以外的函数凑进微分号，然中后分部积分； 中 中 中 中 中 中 中 中
形如 ∫p (x)lnxdx, ∫p (x)arctanxdx, ∫p (x)arcsinxdx 的积分都是先把
n n n
C C C C C C C C C C C
多项式函数凑进微分号，然后分部积分；
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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形如 ∫eαxsinβxdx,∫eαx cosβxdx 的积分可连续两次将指数函数凑进微分号分
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 部积国分还原,求得原不定积分. 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
表格法:
【例1】∫x3e2xdx
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 3 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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学 学 1 3 3学 3 学 学 学 学 学 学 学 学
大 【解】∫x3大e2xdx= x3e2x − x2e2x +大xe2x − e2x +C 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 2 4 国4 8 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【例2】∫x2cos2xdx
1 1 1
【解】∫x2cos2xdx= x2sin2x+ xcos2x− sin2x+C
C C2 2 C4 C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 【例3】∫e2xcosOxdx O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
4 1 1
大 【解】∫e2大xcosxdx= ( cosxe2x + 大 sinxe2x)+C 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
5 2 4
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x
xcos4
2
【例4】（1993年）求不定积分∫ dx.
sin3x
C C x xC C C C C C C C C
O Oxcos4 xcosO O O O O O O O O
O O 1 O O O O O O O O O
2 2
M 【解】 原式=M∫ dx = ∫ M dx M M M M M M M M
学 学 8sin3 x cos3 x 8学 sin3 x 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 2 2 大 2 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 ⎛ x⎞ 1 x 1 dx
=− ∫xd⎜sin−2 ⎟=− xsin−2 + ∫
8 ⎝ 2⎠ 8 2 8 sin2 x
2
C C C C C C C C C C C
O O1 x 1 x O O O O O O O O O
O O=− xcsc2 − cot +OC. O O O O O O O O
M M 8 2 4 2M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大
【例5】（1大997年）计算∫e2x(tanx+1大)2dx
大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【解】 原式= ∫e2xsec2 xdx+2∫e2xtanxdx
=e2xtanx−2∫e2xtanxdx+2∫e2xtanxdx =e2xtanx+C.
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
ln(1+ x)
O 【例6】（2000年）O设 f(lnx)= ，计O算∫ f(x)dx. O O O O O O O O
M M x M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
ln(1+et)
国 【解】 国设lnx =t，则x =et， f(国t)= . 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 et 中 中 中 中 中 中 中 中
ln(1+ex)
∫ f(x)dx= ∫ dx =−∫ln(1+ex)de−x
ex
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O 1 O O O O O O O O O
M M=−e−xln(1+ex)+∫ Mdx M M M M M M M M
1+ex
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国
=−e−xln(1+ex)+国x−ln(1+ex)+C
国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
= x+(1+e−x)ln(1+ex)+C.
CC (2) 三类常见函数的CC积分 CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 4 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 1）有理大函数积分 ∫R(x)dx 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
（1）一般方法（部分分式法）
（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）；
C xC+1 C C C C C C C C C
O 【例1】∫ O dx O O O O O O O O O
O (x− O 1)(x2 +1)2 O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
x+1 A Bx+C Dx+E
国 【解】国设 = 国+ + 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 (x−1)(x2 +1)2 x−中1 x2 +1 (x2 +1)2 中 中 中 中 中 中 中 中
1 1 1
解得A= ,B =− ,C =− ,D =−1,E =0.
2 2 2
C C C C C C C C C C C
O x+1O 1 1 O 1 1 O O O O O O O O
O ∫ O dx= lnx−1− lnO(x2 +1)− arctanx+ O +C O O O O O O O
M (x−1)M(x2 +1)2 2 4M 2 2(1M+x2) M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 dx 国 国 国 国 国 国 国 国 国
【例2】∫
中 中 x(x10 +1)2 中 中 中 中 中 中 中 中 中
dx x9dx
【解】∫ = ∫
C x(x10 +1C)2 x10(x10 +1)2 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
1 dt 1 (t+1)−t
学 学 = ∫ = ∫ 学 dt 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 10 t(t+1)2 10 大t(t+1)2 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 1 1 1
= ∫[ − − ]dt
10 t t+1 (t+1)2
1 1
C = [Clnt −lnt+1+ ]+C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
10 t+1
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 2) 三角有学理式积分 ∫R(sinx,cos学x)dx 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 x 国 国 国 国 国 国 国 国
中 （中1）一般方法（万能代换）中 令tan =t 中 中 中 中 中 中 中 中
2
2t 1−t2 2
∫R(sinx,cosx)dx = ∫R( , ) dt
1+t2 1+t2 1+t2
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
（2）特殊方法 （三角变形，换元，分部）
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
几种常用的换元法
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 i)若R(−sinx,cosx)=−中R(sinx,cosx), 则凑d中cosx; 中 中 中 中 中 中 中
ii)若R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx), 则凑dsinx;
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 5 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 ii大i)若R(−sinx,−cosx)= R大(sinx,cosx), 则凑dtan大x. 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 sinx 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【例1】∫ dx
1+sinx
sinx sinx(1−sinx)
【解】∫ dx= ∫ dx
C 1+sinx C cos2 x C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
sinx
O = ∫ O dx−∫tan2 xdx O O O O O O O O O
M cos2M
x
M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
1
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
= −tanx+x+C
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
cosx
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
sinxcosx
【例2】∫ dx
sinx+cosx
sinxcosx 1 (1+2sinxcosx)−1
【解】∫ dx = ∫ dx
C sinx+cosxC 2 sinx+cosx C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O1 1 O 1 O O O O O O O O
M M= ∫(sinx+cosx)dx− M∫ dx M M M M M M M M
学 学2 2学2 π 学 学 学 学 学 学 学 学
sin(x+ )
大 大 大 4 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 1 π π
= (sinx−cosx)+ lncsc(x+ )+cot(x+ ) +C]
2 2 2 4 4
1
C C C C C C C C C C C
O 【例3】∫ O dx O O O O O O O O O
O sinx(1O+cosx) O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大1 si大nx 大 大 大 大 大 大 大 大
【解】∫ dx = ∫ dx
国 国
sinx(1+cosx)
sin2国
x(1+cosx)
国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
dcosx
=−∫
(1−cos2 x)(1+cosx)
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O dt O O O O O O O O O
M =M−∫ M M M M M M M M M
学 学 (1−t2)(1+t) 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国sinxcosx 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 【例4中】∫ dx 中 中 中 中 中 中 中 中 中
sin4 x+cos4 x
sinxcosx tanx
【解】∫ dx = ∫ dtanx
sin4 x+cos4 x tan4 x+1
C C C C C C C C C C C
O O 1 dtan2 x O O O O O O O O O
O O = ∫ O O O O O O O O O
M M 2 tan4 x+1M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 1 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 = arcta国n(tanx)2 +C 国 国 国 国 国 国 国 国
2
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2sinx+cosx
【例5】 ∫ dx
sinx+cosx
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 6 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 2sin学x+cosx a(sinx+c学osx)+b(cosx−sinx) 学 学 学 学 学 学 学 学
大 【解】∫ 大 dx = ∫ 大 dx大 大 大 大 大 大 大 大
国 国sinx+cosx 国sinx+cosx 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 3 中1 cosx−sinx 中 中 中 中 中 中 中 中
= ∫dx− ∫ dx
2 2 sinx+cosx
3 1
= x− lnsinx+cosx +C
C C 2 2 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
sinx
O 【例6】∫ O dx O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
1+sinx+cosx
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
x
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
【解】令tan =t
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
2
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2t
sinx 1+t2 2dt
∫ dx= ∫
1+sinx+cosx 2t 1−t2 1+t2
1+ +
C C 1+t2 1+t2 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M t M M M M M M M M M
=2∫ dt
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
(1+t)(1+t2)
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 (1+ 中 t)2 −(1+t2) 中 中 中 中 中 中 中 中
= ∫ dt
(1+t)(1+t2)
C C 1 x Cx C C C C C C C C
O O = x−lnsin +coOs +C O O O O O O O O
O O 2 2 O2 O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 a大x+b 大 大 大 大 大 大 大 大
国
3) 简
国
单无理函数积分 ∫R(x,n国 )dx
国 国 国 国 国 国 国 国
cx+d
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
ax+b
令 n =t,将其化为有理函数积分进行计算.
cx+d
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
1 1−x
M 【例1】∫ M dx M M M M M M M M M
学 学x2 1+x 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 1−x 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【解】令 =t ,则
1+x
1 1−x 4t2
C ∫ Cdx =−∫ dt C C C C C C C C C
O x2 1+Ox (t2 −1)2 O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
1
学
=2
学∫td 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 t2 −1 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 2t 1+t 中 中 中 中 中 中 中 中 中
= +ln +C
t2 −1 1−t
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 7 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大1−x2 1+x + 1大−x 大 大 大 大 大 大 大 大
=− +ln +C
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
x 1+x − 1−x
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
(二) 定积分
C 定积分的计算常用C方法有以下五种 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 1）牛顿-莱M布尼兹公式 M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
如果函数F(x)是连续函数 f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
b
∫ f(x)dx= F (b)−F(a)；
a
2）换元积分法
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 设 f(x)在O区间[a,b]上连续，函数xO=ϕ(t)满足以下条件： O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 （1）大ϕ(α)=a,ϕ(β)=b； 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
（2）ϕ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域R =[a,b],则
ϕ
b β
∫ f(x)dx = ∫ f(ϕ(t))ϕ′(t)dt.
C a C α C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 3）分部积分法O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 设函数学u(x)和v(x)在[a,b]上有学连续一阶导数，则 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 b b 中b 中 中 中 中 中 中 中 中
∫ udv=uv −∫ vdu.
a a
a
4）利用奇偶性和周期性
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O (1) 设 f(xO)为[−a,a]上的连续函数(aO>0)，则 O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 ⎧0, 大 f(x) 为奇函大数时， 大 大 大 大 大 大 大
a ⎪
国 国 ∫ f(x)dx =⎨ 国a 国 国 国 国 国 国 国 国
2∫ f(x)dx, f(x) 为偶函数时.
中 中 −a 中⎪ 中 中 中 中 中 中 中 中
⎩ 0
(2) 设 f(x)是以T 为周期的连续函数，则对任给数a，总有
C C a+T CT C C C C C C C C
O O ∫ f(x)dx=O∫ f(x)dx. O O O O O O O O
O O a O0 O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 5）利用公学式 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 8 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大 ⎧ n−1n−3 1π大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 π π 国 ⎪ ⋅⋅⋅ 国, n为正偶数 国 国 国 国 国 国 国
中 中(1)∫ 2sinn xdx= ∫ 2co中sn xdx =⎨ n n−2 中 2 2 中 中 中 中 中 中 中
n−1n−3 2
0 0
⎪ ⋅⋅⋅ , n为大于1的奇数
⎩ n n−2 3
π π π
(2) ∫ x f(sinx)dx = ∫ f(sinx)dx （其中f(x)在[0,1]上连续)
C C C C C C C C C C C
O 0 O 2 0 O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
2
学 【例1】（201学2年）∫ x 2x− x2dx = 学 . 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 0 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
2 2
中 【解1中】∫ x 2x− x2dx = ∫ x 1中−(x−1)2dx (x−1=s中int) 中 中 中 中 中 中 中
0 0
π
= ∫2 (1+sint)cos2tdt
π
−
C C 2 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O π O O O O O O O O O
M M = M M M M M M M M M
学 学 2 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
2 2
国 【解2】国∫ x 2x− x2dx = ∫ [(x−1国)+1] 1−(x−1)2dx 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中0 0 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2
= ∫ 2x−x2dx
0
π
C C = C C C C C C C C C
O O 2 O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 【例2】（1997年 M ）若 f(x)= 1 + 1− M x2∫ 1 f(x)dx，则∫ 1 f(x) M dx= _______. M M M M M M M
学 学 1+ x2 学 0 0 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 【解】∫国1 f(x)dx= ∫ 1 dx +∫ 1 1− 国 x2dx⋅∫ 1 f(x)dx 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 0 01+x2 0 中 0 中 中 中 中 中 中 中 中
1 π π 1
∫ f(x)dx = + ∫ f(x)dx
0 4 4 0
C ∫ 1 f(x)dx = C π C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
0 4−π
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
π
学 【例3】（199学2年）求∫ 1−sinxdx. 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 0 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 π x x 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【解】原式= ∫ sin −cos dx
0 2 2
π⎛ x x⎞ π⎛ x x⎞
C = ∫2⎜cosC−sin ⎟dx+∫ ⎜sin −Ccos ⎟dx C C C C C C C C
O 0 ⎝ O2 2⎠ π ⎝ 2O 2⎠ O O O O O O O O
O O 2 O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
=4( 2 −1).
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 π x 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【例4】（1993年）求∫ 4 dx.
0 1+cos2x
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 9 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 π x 1 π大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 【解】 国原式=∫4 dx= 国∫4 xd(tanx) 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 0 2cos2 x 中 2 0 中 中 中 中 中 中 中 中
1⎛ π π ⎞
= ⎜xtanx 4 −∫4tanxdx⎟
⎜ ⎟
2 ⎝ 0 0 ⎠
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
⎛ π⎞
M M1⎜π 4 ⎟ π 1M M M M M M M M M
学 学= +lncosx = −学ln2. 学 学 学 学 学 学 学 学
⎜ ⎟
大 大 2⎜ 4 ⎟ 8大4 大 大 大 大 大 大 大 大
⎝ 0 ⎠
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 f(x) xln(1+t)
【例5】（2013年）计算∫ dx,其中 f(x)=∫ dt.
0 x 1 t
C C C C C C C C C C C
O 1 f(x) O1 O O O O O O O O O
O 【解】∫ dxO=2∫ f(x)d x O O O O O O O O O
M 0 x M 0 M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 1 1国ln(1+x) 国 国 国 国 国 国 国 国
=2 xf(x) −2∫ dx
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0 0 x
1
=−4∫ ln(1+x)d x
0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O 1 1 Ox O O O O O O O O
M M=−4ln(1+x) x +4∫ Mdx M M M M M M M M
学 学 0 学01+x 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国
=−4ln2+8−2π
国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 x 中1 中 中 中 中 中 中 中
【例 6】（1999 年）设函数 f(x)连续，且∫ tf(2x−t)dt = arctanx2.已知 f(1)=1，求
0 2
2
∫ f(x)dx的值.
1
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 【解】令u =2x−Ot ，则t =2x−u，dt = −Odu， O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 x 学 x 学 学 学 学 学 学 学 学
∫ tf(2x−t)dt =−∫ (2x−u)f(u)du
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
0 2x
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 2x中 2x 中 中 中 中 中 中 中 中
=2x∫ f(u)du−∫ uf(u)du.
x x
于是
C C 2x 2x C 1 C C C C C C C C
O O2x∫ f(u)du−∫ ufO(u)du = arctanx2. O O O O O O O O
O O x x O 2 O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 上式两边对x学求导，得 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 2x 国 国 x 国 国 国 国 国 国 国
2∫ f(u)du+2x[2f(2x)− f(x)]−[2xf(2x)⋅2− xf(x)]= ,
中 中 x 中 中 1+ x4 中 中 中 中 中 中 中
即
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 10 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 2 学 x x 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 2大∫ f(u)du = + xf(大x). 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国x 1+ x4 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 2 1中 3 2 中3 中 中 中 中 中 中 中
令x =1，得2∫ f(u)du = +1= .于是∫ f(x)dx = .
1 2 2 1 4
【例 7】(2018 年 1)设函数 f(x)具有 2 阶连续导数，若曲线y = f(x)过点(0,0)且与曲线
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O y =2x在点 O(1,2)处相切，则∫ 1 xf′′(x)Odx = ___________. O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
0
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
【解】由曲线y = f(x)过点(0,0)且与曲线y =2x在点(1,2)处相切可知
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
f(0)=0, f(1)=2
f′(1)=(2x)′ =2xln2 =2ln2
C x=1C x=1 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
M O 则∫ 1 xf′′(Mx) O dx= ∫ 1 xdf′(x)= xf′(x) 1 M− O ∫ 1 f′(x)dx M O M O M O M O M O M O M O M O
学 0 学 0 学 0 0 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
1
国 国 =2ln2− f(x) =2ln国2−2 国 国 国 国 国 国 国 国
0
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
=2(ln2−1)
π
C C C C C C C C C C C
O 【例8】（1995年）O∫2 sinx arctanexdx O O O O O O O O O
π
O O− O O O O O O O O O
2
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
π π
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
【解】∫2 sinx arctanexdx = ∫2 sint arctane−tdt (x=−t)
国 国π π 国 国 国 国 国 国 国 国 国
− −
中 中2 2中 中 中 中 中 中 中 中 中
π 1 π
∫2 |sinx|arctanexdx= ∫2 |sinx|(arctanex +arctane−x)dx
− π 2 − π
2 2
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O π O π π O O O O O O O O O
M ∫2 |sinxM|arctanexdx = ∫2|sinxM|dx M M M M M M M M
学 − π 学 2 0 学 学 学 学 学 学 学 学 学
2
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 π中 π π 中 中 中 中 中 中 中 中
= ∫2sinxdx= .
2 0 2
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 11 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中
