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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
第九章 多元函数微分法及其应用
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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第一节 多元函数的基本概念
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主讲 武忠祥 教授
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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大一、平面大点集 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1）邻域：
C UC(a,) (x, yC) (x x ) 2 C ( y y ) 2 C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
0 0
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国 2）去心国邻域： 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 U(中a,) U(a, 中) \ a 中 中 中 中 中 中 中
3C）内点： 若 C 0 ,使C U(a,) AC ,则称 a 是C 集 A 的内C点； C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 国 4）外点 中 国 ： 若 中 国 0 ,使 U(中a 国 ,) A 中 国 ,则称 a 是 中 集国 A 的外点 中 国 ； 中 国 中 国 中 国 中 国
5 C ）边界点： C 若 0C ， U(a,) 中 C 既含有 A 中 C 的点，也 含 C 有 A 的余集 C A c 中的点 C . C C C
O O O O O O O O O O O
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国 6）聚点 国 ： 0国,U(a,) A 国 0. 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
7）开集：
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
8）闭集：
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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国 9）连通国集： 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1C0）区域： C C C C C C C C C C
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国 11）闭区国域： 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
12）有界集：
C C C C C C C C C C C
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13）无界集：
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大二、多元大函数的概念大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
定义1 设 D R 2 是一个点集，称映射 f : D R 是定义
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 在 上M的一个 二元M数函数。 M M M M M M M M
D
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
z f (x, y), (x, y) D
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 三元函数 学 u f (x,学y, z),(x, y, z)学 D R 3 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
n元函数 u f (x , x ,, x ), (x , x ,, x ) D
1 2 n 1 2 n
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学【例1】 z 学1 x 2 y 2学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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大三、多元大函数的极限大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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定义2 设 是一个二元函数，
D R 2 , f : D R (x , y )
C C C C C C C C C C C
O O O O 0O 0 O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 是 D 的一学个聚点， a 学 R .若 学 0, 0, 学使得 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
(x, y)U((x , y ),) D, 恒有 | f (x, y) a | .
0 0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
记作
O lOim f (x, yO) a 或 O lim f (x, y) Oa O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 (x 学 ,y)(x ,y ) 学 学 xx 学 学 学 学 学 学 学
大 大 0 0 大 大 0 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 y y 国 国 国 国 国 国 国
0
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1
【例2】用定义证明 lim (x 2 y 2 )sin 0.
C C (x,y)(0,0)C Cx 2 y 2 C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
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MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 xy 大 大 大 大 大 大 大 大
国 【例3】证国明极限 国 国 不存在. 国 国 国 国 国 国 国
lim
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
(x,y)(0,0) x 2 y 2
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
2
中 中 中 sin( xy ) 中 中 中 中 中 中 中 中
【例4】求极限
lim
(x,y)(0,1) x
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大四、多元大函数的连续大性 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
定义3（连续) 设 D R 2 , f : D R, (x , y ) 是 的聚点，
D
0 0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 且 (x , y M ) D, 若当M (x, y) D 时M有 M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 0大 0 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
lim f (x, y) f (x , y )
0 0
(x,y)(x ,y )
0 0
C C C C C C C C C C C
O则称函数 O在点 O处连续，否O则，称 O 在点 O O O O O O
f (x , y ) f
O O O O O O O O O O O
M M 0 M0 M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 ( x , y )国 处间断. 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 0 0中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
若 f 在 D 中的每一点处连续，则称 f 在集合 D
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M上连续. 此M时，我们说M 是 上M的连续函数M. M M M M M M
f D
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM 多元初等MM函数在其定义MM区域内连续MM； MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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多元连续函数的性质
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
定理2.1 设 是有界闭区域 上的连续函数，则
f D
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
（1）（有界性） 在 上有界；
M M f MD M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中
（2）（
中
最大最小值
中
定理）
在中 上能取得中它的最大 中 中 中 中 中 中
f D
C 值与C最小值. C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 定理2.2（大介值定理）大设 是有界大闭区域 上大的连续函数大， 大 大 大 大 大
f D
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
与 分别是 在 上的最小值与最大值.如果常数
m M f D
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 是 m 与 M O 之间的任一 O 数： m OM ，则必 Ox D, O O O O O O
M M M M M M M M M M M
0
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 使 f (x ) 国 . 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
内容小结
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O1.区域 O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 • 中邻域 : 中 中 中 中 中 中 中 中 中
U (P , δ), U (P , δ)
0 0
• 区域 连通的开集
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 • 学n空间 学 学 学 学 学 学 学 学 学
R
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2.多元函数概念
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
M
O n 元函
M
O数 u f (
M
P O ) f (x ,
M
O x ,, x )
M
O
M
O
M
O
M
O
M
O
M
O
M
O
学 学 学 1学 2 n 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 n 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 P 中D R 中 中 中 中 中 中 中 中
二元函数 (图形一般为空间曲面)
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO 常用 OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学三元函数学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 3.多元国函数的极国限 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C lim f (P C ) A C ε 0, C δ 0, 当 0C PP δ 时 C ， C C C C C
O O O O O O O O O O O
0
O PP O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
0
学 学 学 有 f 学(P) A ε学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
4.多元函数的连续性
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 1) 函 M 数 在 M 连续 M lim f M (P) f (P M ) M M M M M
学 学 f (P) 学P 学 学 学 学 学 学 学 学
0
大 大 大 0 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国
PP国
国 国 国 国 国 国
0
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
C C C C C C C C C C C
O 有界定O 理 ; 最O值定理 ; O 介值定理O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 3) 国一切多元初国等函数在国定义区域内国 连 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
续
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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作 业
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
P64 5 (2), (5),
C C C C C C C C C C C
O O 6 (2)O, (3), (5), O(6) O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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