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六安一中 2024 年春学期高一年级期末考试 底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，
数学试卷 其中
底面 ，底面扇环所对的圆心角为 ，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 ，
个选项是符合题目要求的.
，E是 的中点，则异面直线BE与 所成角的余弦值为（ ）
1．若复数 为纯虚数，则复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
A． B．
2．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知 ， ， 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） C． D．
A． ， ， B． ， ，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
C． ， ， D． ， ，
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
4．某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两 9．2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21
同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为（ 世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》（以下简称《宣言》）.承诺继续共同努
） 力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候
行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了
A． B． C． D．
2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所
5．已知样本数据 的平均数为 ，方差为 ，若样本数据
示．经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍，则预计该地区
(a>0)的平均数为4 ，方差为 ，则平均数 （ ）
（ ）
A． B．1 C． D．2
A．2030年煤的消费量相对2020年减少了
B．2030年石油的消费量相对2020年不变
6．已知 ，则 到直线 的距离为（ ）
C．2030年天然气的消费量是2020年的5倍
6
D．2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍
A． B． 3 C．1 D．
10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红
7． 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那么直线 与平面
灯的概率都是 ，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
所成角的正弦值是（ ）
1
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 ，假设他们破译密码是相
A． B． C． D．
2
互独立的，则此密码被破译的概率为
8．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下
1
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
C．设两个独立事件A和B都不发生的概率为 发生且B不发生的概率与B发生且A不发生
15．（本小题满分13分）
在 中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足 .
的概率相同，则事件A发生的概率是
（1）求角A；
D．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 （2）若 ，边 上的中线 ，求ABC的周长.
11．如图，已知正方体 的棱长为1，P为底面ABCD
内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
16．（本小题满分15分）
A．不存在点P，使 平面
如图，在直三棱柱 中， ，E为 的中
B．三棱锥 的体积为定值
点，F为BC的中点．
C．若 ，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
（1）证明： 平面 ；
D．若点P是AD的中点，点Q是 的中点，过P，Q作平面 平面 ，则平面 （2）若 ，求平面 与平面AEF的夹角的余弦值．
截正方体 的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
17．（本小题满分15分）
12．袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，
有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都 近年来，“直播带货”受到越来越多
取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概 人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种
率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用 代表“中､华､民､族”这 流行营销形式.某直播平台有1000个直播商
家，对其进行调查统计，发现所售商品多
四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机
数： 为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，
各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方
式抽取80个直播商家进行问询交流.
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 .
（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
13．在 中，角 所对的边分别为 若 且 的外
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统
接圆的半径为 则 面积的最大值为 ．
计（单位：元），所得频率分布直方图如图②所示.
14．半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将
（i）估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；
正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有
（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”
十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，
的个数.
称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为 的二十四等边体，其外接
18．（本小题满分17分）
球体积为 ，则 .
小明同学与甲、乙二位同学进行一场乒乓球比赛，每局两人比赛，没有平局，一局决出胜
2
学科网（北京）股份有限公司负.已知每局比赛小明胜甲的概率为 ，小明胜乙的概率为 ，甲胜乙的概率为 ，比赛胜负间 因为 ，可得 ，解得 ， ……………………4分
互不影响.规定先由其中2人进行第一局比赛，后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的比
所以 ……………………6分
赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者，比赛结束.因为小明是三人中水平最
（2）解：由边 的中线 ，可得 ， ……………………7分
弱的，所以让小明决定第一局的两个比赛者（小明可以选定自己比赛，也可以选定甲､乙比
赛）. 可得 ，
（1）若小明选定第一局由甲、乙比赛，求“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率；
即 ，即 ， ……………………9分
（2）若小明参与第一局比赛，请帮助小明进行决策，第一局与甲、乙中的哪一位进行比赛，
才能使小明最终成为获胜者的概率最大？说明理由. 在 中，由余弦定理 ，
可得 ， ……………………11分
19．（本小题满分17分） 联立方程组，可得 ，所以 ，
所以 ， ……………………12分
如图，四面体 中，
所以 的周长为 ……………………13分
．
16．(1)证明见解析； (2)
（1）求证：平面 平面 ；
【详解】
（2）若 ，
（1）证明：取 的中点O，连接 , ，
①若直线 与平面 所成角为30°，求 的值；
∵ ， ，∴ 且 ，∵ ， ，∴
②若 平面 为垂足，直线 与平面 的交点为 ．当三棱锥 体积
，且 ,∴四边形 是平行四边形，∴ ，
最大时，求 的值．
……………………5分
六安一中 2024 年春学期高一年级期末考试 ∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ……………………7分
（2）因为 ， ， 两两垂直，
数学试卷参考答案
故以 为原点， , , 分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 各点坐标如下： ， ， ， ，
A ， ， ， ……………………9分
答案 D C C D D A B CD ABD BCD
12． 13． 14．
15．(1) (2)周长为
【详解】
（1）解：在 中，因为 ，
由正弦定理得 ，又因为 设平面 的法向量为 ，由 ， ，
，则 ，
有 ，取 ， ， ，
因为 ，可得 ，所以 ， ……………………2分
即 ，化简得 可得平面 的一个法向量为 ， ……………………11分
3
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，由 ， ，
所以“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率是 . ……………………8分
有 ，取 ， ， ， （2）第一局小明与甲比赛，小明最终成为获胜者的事件 ，是以下3个互斥事件的和：
小明胜甲，小明胜乙的事件；小明胜甲，乙胜小明，甲胜乙，小明胜甲的事件；甲胜小明，
乙胜甲，小明胜乙，小明胜甲的事件，
可得平面 的一个法向量为 ， ……………………13分
， ……………………12分
有 ， ， ，可得 ，
第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的事件 ，是以下3个互斥事件的和：
小明胜乙，小明胜甲的事件；小明胜乙，甲胜小明，乙胜甲，小明胜乙的事件；乙胜小明，
故平面 与平面AEF的夹角的余弦值为 ． ……………………15分 甲胜乙，小明胜甲，小明胜乙的事件，
， ……………………16分
17．（1）小吃类28家，生鲜类12家
（2）（i）75百分位数为487.5元，（ii）个数为280
因为
【详解】
所以第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的概率最大. ……………………17分
（1）根据分层抽样知：
19．(1)见解析 (2)① ；②
应抽取小吃类 家， ………………2分
生鲜类 家，所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. ………………4分 【详解】
（2）（i）根据题意可得 ，解得 ， ………………6分 （1）取 的中点 ，连接 ，因为 ，则 ，
设75百分位数为x，因为 ， 所以 ，所以 ，所以 ，又因为 所以
所以 ， ………………8分 ，
解得 ， 则 ，又因为 ，所以 ，又因为 ，
所以该直播平台商家平均日利润的第75百分位数为487.5元. ………………10分 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ； …………………………4分
（ii） ，
（2）①因为 两两相互垂直，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. ………………15分
建立如图所示的空间直角坐标系，
18．(1) ； (2)小明与乙比赛，理由见解析.
所以 ，
【详解】 设 ，因为 ，
（1）第一局由甲、乙比赛，“只进行三局，小明就成为获胜者”的事件A， 所以由 可得： ，
第一局甲胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件 ， 所以 ， ，
第一局乙胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件 ，事件 与 互斥， ,
设平面 的法向量为 ，则 ，
， ……………………3分
取 ，可得 ，所以 ， ……………………6分
， ……………………6分
因为直线 与平面 所成角为30°，所以
则有 ，
4
学科网（北京）股份有限公司数学试卷参考答案
……………………8分
1．D【详解】因为 为纯虚数，所以 ，解得 ，
则 ，化简可得： ， 所以 ，所以 .故选：D
2．C【详解】因为 ，所以 ，所以 .故选：C
解得： 或 （舍去）. ……………………10分
3．C【详解】向量 是不共面的三个向量，
②由（1）知， 平面 ，又 平面 所以 ， 在 上， 对于A， ，则向量 共面，A不能构成空间基底；
因为 ，所以 ， ，所以 ， 对于B， ，则向量 共面，B不能构成空间基底；
对于D， ，则向量 共面，D不能构成空间基底；
即 ，所以 ， ……………………11分
对于C，假定向量 共面，则存在不全为0的实数 ，使得 ，
所以 ，
整理得 ，而向量 不共面，则有 ，显然不成立，
三棱锥 体积为：
所以向量 不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.故选：C
， ……………………12分
4．A
【详解】设这几个球中，红球分别为 、 、 ，白球分别为 、 ，
因为 ，当 时，三棱锥 体积最大为 ， ……………………13分
则甲、乙两同学先后取出的两球可能的情况有：
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
此时 分别为 ， 的中点，所以 ，
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、共二十种，
其中取到不同颜色球的情况有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 共十二种，故其概率为 .故选：A.
设 ，设 ，因为 ，
5．D【详解】已知样本数据 的平均数为 ，方差为 ，
则样本数据 的方差为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．样本数据 的平均数为 ，所以
因为 在平面 上，所以设 ， ，解得 .故选：D．
6．D
所以 ， 7．A
【详解】解法一：如图，设直线 在平面 的射影为 ，
所以 ，解得： ，
所以 ，所以 . ……………………17分
作 于点G， 于点H，连接 ，
六安一中 2024 年春学期高一年级期末考试
易得 ，又 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，则
5
学科网（北京）股份有限公司，
， ， ， ， ， ，
有
.所以 ，
故 ．已知 ，
又异面直线所成角的范围为 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选：B.
故 为所求．
9．CD
解法二：
【详解】设 年该地区一次能源消费总量为 ，则预估 年一次能源消费总量为 .
如图所示，把 放在正方体中， 的夹角均为 ．
对于选项A，2020年煤的消费量为 ，规划2030年煤的消费量为 ，故选项
A错误；对于选项B，2020年石油的消费量为 ，规划2030年石油的消费量为
，故选项B错误；
对于选项C，2020年天然气的消费量为 ，规划2030年天然气的消费量为
，故选项C正确；对于选项D，2020年水、核、风能的消费量为 ，规划2030年水、核、风能
的消费量为 ，故选项D正确．故选：CD.
10．ABD
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
【详解】对A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，
则 ，所以 ，
第3个路口是红灯，所以概率为 ，故A正确；
设平面 的法向量 ，则
对B：用 、 、 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，
则 ， ， ，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为 ，
令 ，则 ，所以 ，所以 ．
所以此密码被破译的概率为 ，故B正确；
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ，故选A
对C：由题意可得 ，即 ，
8．B
即 ，即 ，
【详解】设上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，连接 ， ，
在下底面作 ，以为 原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角 又 ，故 ，∴ ，故C错误；
坐标系，如图：
对D：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有 ，
共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含 和 两个样本点，
则概率 ，故D正确；故选：ABD.
11．BCD
【详解】对于B，由等体积法 ，三棱锥 的高为 ，
底面积 ，所以 ，
因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2， ，所以 ，得 ，
所以三棱锥 的体积为定值，B正确；
则 即 ， 即 ， 对于A，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ， ， ， ， ，
6
学科网（北京）股份有限公司， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
若 平面 ，则 ，
所以 ，即表示线段 ，
12．
则当点 在线段 时， 平面 ，
【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有 ，共4组随机数，
所以存在点 ，使得 平面 ，A错误；
所以恰好抽取三次就停止的概率约为 ，故答案为：
13．
【详解】在 中，
由正弦定理得 由余弦定理得
因为 为 的内角，则 ，所以
对于C， ，若 ，
因为 的外接圆的半径为 由正弦定理得
，即 ，
所以点 的轨迹就是线段 ，
所以 由余弦定理得
轨迹长为 ，C正确；
即 因为 所以 当且仅当 时取等号，
对于D，如图取 中点 ，连接 ，
由题可得 ， 平面 ， 故 的面积 所以 面积的最大值为 故答案为：
连接 ，因为 ， 平面 ，
14．
则 ， ，又 ，
平面 ，则 平面 ， 【详解】设该半多面体是由棱长为 的正方体沿正方体各棱的中点截去 个三棱锥所得，内侧即为
又取 中点为 ，则 ，
二十四等边体，其体积 ；由二十四等边体的对称性可知，
有 四点共面，则平面 即为平面 ，
如图所示，
又由两平面平行性质可知， ， ， ，
又 都是中点，故 是 中点， 是 中点，
则平面 截正方体 的截面为正六边形，
又正方体棱长为 ，则 ，
其外接球的球心即为正方体中心 ，半径为中心到一个顶点的距离，则
故截面面积为 ，D正确.
，
故选：BCD
7
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，由 ， ，
故 ，从而 .
有 ，取 ， ， ，可得平面 的一个法向量为 ，
故答案为： .
设平面 的法向量为 ，由 ， ，
15．(1) (2)周长为
有 ，取 ， ， ，可得平面 的一个法向量为 ，
【详解】（1）解：在 中，因为 ，
由正弦定理得 ，又因为
有 ， ， ，可得 ，
，则 ， cosm ,n
因为 ，可得 ，所以 ，
故平面 与平面AEF的夹角的余弦值为 ．
即 ，化简得
17．(1)小吃类28家，生鲜类12家
因为 ，可得 ，解得 ，所以 ............................................6
(2)（i）75百分位数为487.5元，（ii）个数为280
【详解】（1）根据分层抽样知：
（2）解：由边 的中线 ，可得 ，可得 ，
应抽取小吃类 家，生鲜类 家，
即 ，即 ，在 中，由余弦定理 ，可 所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家.
（2）（i）根据题意可得 ，解得 ，
得 ，
联立方程组，可得 ，所以 ， 设75百分位数为x，因为 ，
所以 ，所以 的周长为 ...........................................13 所以 ，解得 ， 所以该直播平台商家平均日利润的第75百分位
数为487.5元.
16．(1)证明见解析； (2)
（ii） ，
【详解】（1）证明：取 的中点O，连接 , ，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.
∵ ， ，∴ 且 ，∵ ， ，∴ ，且
18．(1) ； (2)小明与乙比赛，理由见解析.
,∴四边形 是平行四边形，∴ ，∵ ， 平面 ， 平面
【详解】（1）第一局由甲、乙比赛，“只进行三局，小明就成为获胜者”的事件A，第一局甲胜，
，∴ 平面 .
第二局小明胜，第三局小明胜的事件 ，
（2）因为 ， ， 两两垂直，
第一局乙胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件 ，事件 与 互斥， ,
故以 为原点， , , 分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
， ，则有 ，
各点坐标如下： ， ， ， ，
， ， ，
所以“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率是 .
（2）第一局小明与甲比赛，小明最终成为获胜者的事件 ，是以下3个互斥事件的和：
小明胜甲，小明胜乙的事件；小明胜甲，乙胜小明，甲胜乙，小明胜甲的事件；甲胜小明，乙胜
甲，小明胜乙，小明胜甲的事件， ，
第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的事件 ，是以下3个互斥事件的和：
小明胜乙，小明胜甲的事件；小明胜乙，甲胜小明，乙胜甲，小明胜乙的事件；乙胜小明，甲胜
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学科网（北京）股份有限公司9 3
乙，小明胜甲，小明胜乙的事件， ，因为 此时 分别为 ， 的中点，所以 ，
50 20
所以第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的概率最大.
19．(1)见解析 (2)① ；②
设 ，设 ，因为 ，
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以 ，又因为 所以 ，
所以 ，所以 ，
则 ，又因为 ，所以 ，又因为 ，
平面 ，所以 平面 ， 因为 在平面 上，所以设 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ；
所以 ，
（2）①因为 两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 ，
设 ，因为 ，
所以 ，解得： ，所以 ，所以 .
所以由 可得： ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
因为直线 与平面 所成角为30°，所以
则 ，化简可得： ，解得： 或 （舍去）.
②由（1）知， 平面 ，又 平面 所以 ， 在 上，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
即 ，所以 ，所以
，
三棱锥 体积为：
，
因为 ，当 时，三棱锥 体积最大为 ，
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