2024-2025 学年福建省福州市福九联盟高一上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x>0,x+1≥0”的否定是( )
A. ∃x≤0,x+1<0 B. ∃x>0,x+1<0
C. ∃x≤0,x+1≥0 D. ∀x>0,x+1<0
2.已知集合 ，则下列关系式正确的是( )
M={x∣x2−1=0}
A. 1⊆M B. {−1}∈M C. {1}⊆M D. ⌀∈M
3.下列说法正确的是( )
1 1
A. 若a>b，则 < B. 若a>b，则ac2>bc2
a b
b b−m
C. 若√a<b，则a>b2 D. 若a>b>m>0，则 >
a a−m
4.“函数f (x)=(a−2)x+3在R上为减函数”是“a∈(0,1)”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
x
5.函数f (x)= 的图象大致是( )
1−x2
A. B.
C. D.
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1 16.幂函数
f (x)=(m2−3m−3)xm
，
∀x
，
x ∈(0,+∞)
都有 f (x
1
)−f (x
2
)
<0
成立，则下列说法正确的是
1 2 x −x
1 2
( )
A. m=4 B. m=4或m=−1
C. f (x)是奇函数 D. f (x)是偶函数
c2+9
7.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0(a,b,c∈R)的解集为(−4,1)，则 的取值范围为( )
a+b
A. [6,+∞) B. (−∞,−6] C. (−6,+∞) D. (−∞,6)
1
8.设函数f (x)=2|x|+1− ，则下列不等式中正确的是( )
1+x2
A. B.
f (50.3)>f (−√5)>f (0.35) f (−√5)>f (0.35)>f (50.3)
C. D.
f (0.35)>f (50.3)>f (−√5) f (−√5)>f (50.3)>f (0.35)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数与f (x)=x+1是同一个函数的是( )
x2−1
A. g(x)= B. g(x)=√3 x3+1
x−1
C. g(x)=(√3 x) 3 +1 D. g(x)=√x2+1
10.下列说法正确的是( )
1 2 9
A. 已知x>0，y>0，且x+ y=4，则 + 的最小值为
2x y 8
B. “x=1”是“|x−2|=1”的充分不必要条件
C. 函数
f (x)=2
1
x
的单调递减区间为 (−∞,0)∪(0,+∞)
D. 关于 的不等式 的解集中至多包含一个整数，则实数 的取值范围是
x x2−(a+1)x+a<0 a 0<a<2
11.[x]表示不超过x的最大整数，例如：[−0.5]=−1，[1.1]=1，已知函数f (x)=[x]，下列结论正确的有
( )
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2 1A. 若 ，则 1 [ 1]
x∈(0,1) f (−x)+ <− f (x)+
4 4
B. ∀x，y∈R，f (x+ y)<f (x)+f (y)
C. 函数y=[x]，x∈R的图象不关于原点对称
D. 设方程 的解集为 ，集合 ，若 ，则
[|x−1|]=3 A B={x∣2x2−11kx+15k2≥0} A∪B=R
[ 4] [8 5]
k∈ −1,− ∪{0}∪ ,
5 5 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“∃x∈R，x2+2x+m=0”是真命题，则实数m的取值范围是 ．
13.计算( 2 1) 0.5 −0.750+ ( 8 )− 3 1 = ．
4 27
14.已知集合 ，其中 且 ， ，若对任意的 ，
A={a ,a ,a ⋯a }⊆N∗ n∈N n≥3 a <a <a <⋯<a x
1 2 3 n 1 2 3 n
xy
y∈A(x≠ y)，都有|x−y|≥ ，则称集合A具有性质M ，若集合A={2,3,5,m}具有性质M ，则m的最
k k 8
小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 ， ．
A={x∣x2+x−2≤0} B={x∣2a−1≤x≤a+1}(a∈R)
1
(1)当a= 时，求A∪B，(∁ A)∩B；
2 R
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．
16.(本小题12分)
a 1
已知定义域为R的函数f (x)= +b是奇函数，且f (1)=− ．
2x+1 3
(1)求实数a，b的值；
(2)试判断f (x)的单调性，并用定义证明；
(3)解关于x的不等式f (2x−3)+f (x−1)≤0．
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3 117.(本小题12分)
为了发展全域旅游，闽运永泰分公司新购进25辆新能源公交车全部投放于两条乡村公交线路，每条公交线
路至少要投放5辆公交车，经过前期试运营可知：线路A的月收入P(单位：万元)和线路B的月收入Q(单位：
1 2
万元)与投入公交数量n(单位：辆)之间分别满足：P= n2−2n+10，Q= n−2.设线路A投放x辆公交
50 5
车，每个月两条公交线路总收入为f (x)(单位：万元)．
(注：收入为负数表示亏损，收入为正数表示盈利)
(1)求f (10)的值；
(2)由于线路A长期处于亏损状态，县政府决定对于投放线路A的每辆公交车每个月提供a万元补贴，试问：
a至少为何值时，才能确保线路A的月总收入不低于线路B的月总收入？
18.(本小题12分)
已知f (x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f (x)=x+√1−x．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)求函数f (x)在[3,+∞)的值域；
(3)我们知道：函数y=φ(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=φ(x)为偶函数，有同学发
现：可以将其推广为：函数y=φ(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=φ(x+a)为偶
函数 已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，若
. y=g(x) x=2 x∈[0,2] g(x)=x2+2mx−2m−20
， ，使得 ，求实数 的取值范围．
∀x ∈[2,4] ∃x ∈[3,+∞) g(x )+8x =f (x ) m
1 2 1 1 2
19.(本小题12分)
5
已知函数f (x)=ax+a−x，g(x)=ax−a−x(a>0且a≠1)，满足f (1)= 且g(x)为增函数．
2
(1)求函数f (x)，g(x)的解析式；
存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围；
(2) x∈[1,+∞) mg(x)≥(f (x)) 2+m m
若 f (|x|)+g(|x|) ，且关于 的方程 2 3 有四个不同的实数解，求实
(3) ℎ(x)= −1 x [ ℎ(x)] −k⋅ℎ(x)+k− =0
2 4
数k的取值范围．
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4 1参考答案
1.B
2.C
3.D
4.B
5.B
6.C
7.A
8.D
9.BC
10.AB
11.ACD
12.m≤1
13.2
14.14
15.(1)
当 1时， { | 3}，
a= B= x 0≤x≤
2 2
又 ，
∵A={x∣(x+2)(x−1)≤0}={x∣−2≤x≤1}
或 ，
∴∁ A={x|x<−2 x>1}
R
{ | 3}， { | 3}；
∴A∪B= x −2≤x≤ (∁ A)∩B= x 1<x≤
2 R 2
(2)
∵A∩B=B，∴B⊆A，
当B=⌀时，2a−1>a+1即a>2符合题意，
a≤2
{2a−1≤a+1 {
当 时，则 1 1 ，
B≠⌀ 2a−1≥−2 ∴ a≥− ∴− ≤a≤0
2 2
a+1≤1
a≤0
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5 1综上所述： [ 1 ] ．
a∈ − ,0 ∪(2,+∞)
2
16.(1)
a
法1：∵函数f (x)= +b是定义域为R的奇函数，
2x+1
a
∴f (0)=0，即 +b=0，
2
1 a 1
又∵f (1)=− ，即 +b=− ，
3 3 3
由①②解得a=2，b=−1，
经检验，a=2，b=−1符合题意．
a
法2：∵函数f (x)= +b是定义域为R的奇函数，
2x+1
a a
∴f (−x)=−f (x)，即 +b=− −b，
2−x+1 2x+1
a⋅2x a ，即a⋅(2x+1) ，
∴ + =−2b =−2b
2x+1 2x+1 2x+1
∴a=−2b，
1 a 1
又∵f (1)=− ，即 +b=− ，
3 3 3
由①②解得a=2，b=−1．
(2)
函数f (x)在R上为减函数．
证明如下：
2
由(1)得函数f (x)= −1，任取x ,x ∈R且x <x ，
2x+1 1 2 1 2
则 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2(2x 2−2x 1) ，
f (x )−f (x )= −1 − −1 = − =
1 2 2x 1+1 2x 2+1 2x 1+1 2x 2+1 (2x 1+1)(2x 2+1)
， ，又 ，
∵x <x ∴2x 2−2x 1>0 ∵(2x 1+1)(2x 2+1)>0
1 2
，即 ，
∴f (x )−f (x )>0 f (x )>f (x )
1 2 1 2
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6 1∴函数f (x)在R上为减函数．
(3)
∵函数f (x)为奇函数，
∴f (2x−3)+f (x−1)≤0可化为f (2x−3)≤f (1−x)，
又∵函数f (x)在R上为减函数，
4
∴2x−3≥1−x，解得：x≥ ，
3
原不等式的解集为{ | 4}．
∴ x x≥
3
17.(1)
1
依题意得：P(x)= x2−2x+10 (5≤x≤20，且x∈N∗)，
50
2
Q(x)= (25−x)−2 (5≤x≤20，且x∈N∗)
5
1 2
∴f (x)=P(x)+Q(x)= x2−2x+10+ (25−x)−2
50 5
1 12
= x2− x+18 (5≤x≤20，且x∈N∗).
50 5
所以f (10)=−4
(2)
依题意得： 对 恒成立，
P(x)+ax≥Q(x) ∀x∈{x∈N∗∣5≤x≤20}
1 2
所以 x2−2x+10+ax≥ (25−x)−2对∀x∈{x∈N∗∣5≤x≤20}恒成立，
50 5
1 8
所以ax≥− x2+ x−2对∀x∈{x∈N∗∣5≤x≤20}恒成立，
50 5
1 2 8
所以a≥− x− + 对∀x∈{x∈N∗∣5≤x≤20}恒成立，
50 x 5
1 2 8
令g(x)=− x− + (5≤x≤20，且x∈N∗)，则a≥g(x) ，
50 x 5 max
1 2 8 ( x 2) 8 √ x 2 8 6，
∵− x− + =− + + ≤−2 ⋅ + =
50 x 5 50 x 5 50 x 5 5
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7 1x 2
当且仅当 = ，即x=10时等号成立，
50 x
6
所以a≥ ，
5
6
答：a至少为 时，才能确保线路A月总收入不低于线路B月总收入．
5
18.(1)
∵当x>0时，−x<0，
∴f (−x)=−x+√1+x，
又∵f (x)是 奇函数，
∴f (x)=−f (−x)=x−√1+x，
{x−√1+x,&x>0
．
∴f (x)= 0,&x=0
x+√1−x,&x<0
(2)
当x∈[3,+∞)时，f (x)=x−√1+x，
令t=√1+x，则t≥2，
∴x=t2−1，∴y=t2−t−1，
1
∵二次函数开口向上，对称轴为t= ，
2
∴当t=2时，y =1，
min
∴函数f (x)在[3,+∞)的值域为[1,+∞)．
(3)
∵函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称，
由题意可得：函数y=g(x+2)为偶函数，
∴g(−x+2)=g(x+2)，∴g(x)=g(4−x)，
∵当x∈[2,4]时，4−x∈[0,2]，
，
∴g(x)=g(4−x)=x2−2mx−8x+6m−4
令 ，其中 ，
ℎ(x)=g(x)+8x=x2−2mx+6m−4 x∈[2,4]
函数ℎ(x)在[2,4]的值域记为A，函数f (x)在[3,+∞)的值域记为B，
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8 1由(2)知B=[1,+∞),
， ，使得 ，
∵∀x ∈[2,4] ∃x ∈[3,+∞) g(x )+8x =f (x )
1 2 1 1 2
即 只需 ，
∴A⊆B A⊆[1,+∞),∴ ℎ(x) ≥1
min
∵二次函数ℎ(x)开口向上，且对称轴为x=m，
①当m≤2时，ℎ(x)在[2,4]单调递增，
，
∴ℎ(x) = ℎ(2)=2m
min
{m≤2 1
∴ ，解得： ≤m≤2，
2m≥1 2
②当m≥4时，ℎ(x)在[2,4]单调递减，
，
∴ℎ(x) = ℎ(4)=−2m+12
min
{ m≥4 11
∴ ，解得：4≤m≤ ，
−2m+12≥1 2
③当2<m<4时，ℎ(x)在[2,m]单调递减，在[m,4]单调递增，
，
∴ℎ(x) = ℎ(m)=−m2+6m−4
min
{ 2<m<4 ，解得： ，
∴ 2<m<4
−m2+6m−4≥1
1 11
综上：m的取值范围为： ≤m≤ ．
2 2
19.(1)
因为 为增函数，所以 ，
g(x)=ax−a−x a>1
5
由f (1)=a+a−1= ，整理得2a2−5a+2=0，
2
1
解得a=2或a= (舍去)，
2
所以 ， ．
f (x)=2x+2−x g(x)=2x−2−x
(2)
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9 1由 是增函数，所以当 时， [3 )
g(x)=2x−2−x x∈[1,+∞) g(x)∈ ,+∞ ,
2
存在 不等式 成立，
x∈[1,+∞) mg(x)≥(f (x)) 2+m
即 成立，
m(2x−2−x)≥(2x+2−x) 2 +m=(2x−2−x) 2 +m+4
成立，
m(2x−2−x−1)≥(2x−2−x) 2 +4
令 t=g(x)−1=2x−2−x−1∈ [1 ,+∞ ) ,
2
所以存在 [1 )，不等式 成立，
t∈ ,+∞ mt≥(t+1) 2+4=t2+2t+5
2
5
即m≥t+ +2成立，
t
设 5 ，则 ， [1 )
u(t)=t+ +2 m≥u(t) t∈ ,+∞ ,
t min 2
5
u(t)=t+ +2≥2√5+2，
t
当且仅当t=√5时，等号成立，所以m≥2√5+2，
所以实数 的取值范围是 ．
m [2√5+2,+∞)
(3)
f (|x|)+g(|x|) ，
ℎ(x)= −1=2|x|−1
2
则 为偶函数，令 ，
ℎ(x) p= ℎ(x)=2|x|−1≥0
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10 1当p=0时，关于x的方程p=2|x|−1只有一个实数解，
当p>0时，关于x的方程p=2|x|−1有两个不同的实数解，
当p<0时，关于x的方程p=2|x|−1没有实数解，
2 3
所以要使关于x的方程[ ℎ(x)] −k⋅ℎ(x)+k− =0有四个不同的实数解，
4
3
需关于p的方程p2−kp+k− =0有两个不同的正实数根，
4
{ Δ=k2−4 ( k− 3) =k2−4k+3>0
4
则 k>0 ，解得3 <k<1 或 k>3 ，
4
3
k− >0
4
所以 的取值范围是(3 ) ．
k ,1 ∪(3,+∞)
4
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11 1
