文档内容
2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考
高一数学
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
一、单项选择题：本题共８小题，每小题5分，共４０分。
1．已知全集 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y（万件），市场供应量y（万件）与市场
1 2
价格x（百元/件）分别近似地满足下列关系： ， ，当 时的需
求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加
6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ）
A．6百元 B．8百元 C．9百元 D．18百元
3．设 表示不超过 的最大整数，对任意实数 ，下面式子正确的是（ ）
A． = |x| B． ≥ C． > D． >
4．已知函数 ，则函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数 ，若 是f(x)的最小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． 为奇函数C． D． 的周期为3
7．函数 的定义域均为 ，且 ， 关于
对称， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若有且仅有两个整数 、 使得
， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共１８分。
9．下列命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．命题“ ”的否定是“ ，使得 ”
D．设函数 的导数为 ，则“ ”是“ 在 处取得极值”的充
要条件
10．若函数 的定义域为 ，且 ， ，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． 的图象关于点 对称 D．
11．已知函数 是R上的奇函数，对于任意 ，都有 成立，当 时， ，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点 是函数 的图象的一个对称中心
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 上有3个零点
三、填空题：本大题共３小题，没小题５分，共15分。
12．设函数 ，若 为奇函数，则 .
13． =
14．设m为实数，若 ，则m的最大值是
．
四、解答题：本题共５小题，共77分。
15．（本题13分）阅读下面题目及其解答过程．
已知函数 ，
（1）求f（－2）与f（2）的值；
（2）求f(x)的最大值．
解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝ ① ．
因为2＞0，所以f（2）＝ ② ．
（2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3，
而且f（0）＝3，所以f(x)在 上的最大值为 ③ ．
又因为x＞0时，有 ，而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1．
综上，f(x)的最大值为 ⑤ ．
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选
项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填
写“A”或“B”）．
空格序
选项
号
A．（－2）＋3＝1 B．
①
② A．2＋3＝5 B．
③ A．3 B．0
④ A．f（1）＝1 B．f（1）＝0
⑤ A．1 B．3
16．（本题15分）如图，某小区要在一个直角边长为 的等腰直角三角形空地上修建一
个矩形花园．记空地为 ，花园为矩形 ．根据规划需要，花园的顶点 在三角
形的斜边 上，边 在三角形的直角边 上，顶点 到点 的距离是顶点 到点 的
距离的2倍．
(1)设花园的面积为 （单位： ）， 的长为 （单位： ），写出 关于 的函数解析
式；
(2)当 的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．
17．（本题15分）已知定义在 上的奇函数f（x）满足： 时， .(1)求 的表达式；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.
18．（本题17分）已知 ，且 ．
（1）请给出 的一组值，使得 成立；
（2）证明不等式 恒成立．
19．（本题17分）对于非负整数集合 （非空），若对任意 ，或者 ，或者
，则称 为一个好集合．以下记 为 的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于 的好集合．（给出结论即可）
（2）求出所有满足 的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合 满足 ，求证： 中存在元素 ，使得 中所有元素均为 的整数
倍2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考
高一数学参考答案
1．C
【分析】集合运算可得 ，即可求出结果
【详解】 ，
所以
故选：C
2．C
【分析】求出封城前的平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距
即为补贴金额.
【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x为 ，平衡需求量为
30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则 ，
，则补贴金额为 .
故选：C.
3．D
【详解】分析： 表示不超过 的最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．
详解：设 ， ， ， ， ，排除A、B，
设 ， ， ，排除C．故选D
点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．
4．B
【解析】当 时， 无解，此时， 无零点；
当 时，根据 为增函数，且 可得函数 的零点为的零点，根据零点存在性定理可得结果.
【详解】当 时， ， 无解，此时，
无零点；
当 时， 为增函数，且 .
令 ，得 ，即 ，
令 ，则函数 的零点就是 的零点，
因为 ，
，
所以函数 的零点所在区间为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区
间，考查了根据解析式判断函数的单调性，属于中档题.
5．C
【分析】由 ，求得 的范围；再求得 的单调性，讨论 ， 时函数
在 的最小值，即可得到所求范围．
【详解】解：函数 ，
若 ，可得 ，
由 是 的最小值，
由于
可得在 单调递增，在 单调递减，
若 ， ，则 在 处取得最小值，不符题意；若 ， ，则 在 处取得最小值，
且 ，解得 ，
综上可得 的范围是 ， ．
故选： ．
【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的
单调性，考查运算能力，属于中档题．
6．C
【分析】令 ，则得 ，再令 即可得到奇偶性，再令 则得到其周
期性，最后根据其周期性和奇偶性则得到 的值.
【详解】令 ， 得 得 或 ，
当 时，令 得 不合题意， 故 ， 所以 A错误 ；
令 得 ， 且 的定义域为 ，故 为偶函数， 所以B错误 ；
令 ， 得 ， 所以 ，
所以 ， 则 ，则 ，
所以 的周期为 6 ， 所以 D错误 ；
令 ， 得 ， 因为
所以 ，所以 ， 故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出
函数值即可.
7．C
【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.
【详解】因为 ， ，对于②式有： ，由①+ 有： ，
即 ，又 关于 对称，所以 ，
由④⑤有： ，即 ， ，
两式相减得： ，即 ，即 ，
因为函数 的定义域为 ，所以 的周期为8，又 ，
所以 ，由④式 有： ，
所以 ，
由 ， 有： ，
所以 ，
由⑤式 有： ，又 ，所以 ，
由②式 有： ，
所以
，故A，B，D错误.
故选：C.
8．A
【分析】由题意可知，满足不等式 的解中有且只有两个整数，即函数
在直线 上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利
用数形结合思想得出 以及 ，由此可得出实数 的取值范围.【详解】由 ，得 .
由题意可知，满足不等式 的解中有且只有两个整数，
即函数 在直线 上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.
如下图所示：
由图象可知，由于 ，该直线过定点 .
要使得函数 在直线 上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的
点，则有 ，即 ，解得 ，
又 ，所以， ，因此，实数 的取值范围是 .
故选A.
【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得
出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题.
9．AB
【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是 ，否定结论，
即可知正确的选项.
【详解】A选项中， ，但 或 ，故A正确；
B选项中，当 时有 ，而 必有 ，故B正确；
C选项中，否定命题为“ ，使得 ”，故C错误；D选项中， 不一定有 在 处取得极值，而 在 处取得极值则
，故D错误；
故选：AB
【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.
10．BCD
【分析】对于A，令 ,可得 ；对于B，令 ，可得 ，
即可判断；对于C，令 得f (1)=0，再令 即可判断；对于D，根据条件可
得 ,继而 ，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.
【详解】对于A，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
故A错误；
对于B，令 ，则 ，
则 ，故B正确；
对于C，令 得， ，
所以f (1)=0，
令 得， ，
则 的图象关于点 对称，故C正确；
对于D，由 得 ，
又 ，所以 ，
则 ， ，所以 ，则函数 的周期为 ，
又f (1)=0， ，
则 ，
，
则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，
所以 ，
故D正确，
故选：BCD.
11．AB
【分析】由 ，赋值 ，可得 ，故A正确；进而可
得 是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确.
【详解】在 中，令 ，得 ，又函数 是R上的奇
函数，所以 ， ，故 是一个周期为4的奇函数，因
是 的对称中心，所以 也是函数 的图象的一个对称中心，故A、B
正确；
作出函数 的部分图象如图所示，易知函数 在 上不具单调性，故C不正
确；
函数 在 上有7个零点，故D不正确.故选：AB
【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.
12．-1
【解析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.
【详解】若函数 为奇函数，则 ，
即 ，
即 对任意的 恒成立，则 ，
得 .
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.
13．
【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.
【详解】原式=
=
．
故答案为： .
14．
【分析】设 ，
，将两个点集用平面区域表示，因为 ，故 表示的平面区
域在 的内部，根据这一条件得出 的最大值．
【详解】解：设 ，，
显然点集 表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，
点集 是二元一次不等式组 表示的平面区域，
如图所示，
作图可知，边界 交圆 于点 ，
边界 恒过原点，
要求 的最大值，故直线 必须单调递减，
因为 ，
所以当 过图中B点时， 取得最大，
联立方程组 ，解得 ，
故 ，即 ．
【点睛】本题表面上考查了集合的运算问题，实质是考查了二元一次不等组表示的平面区
域和二元二次不等式对应平面区域的画法，还考查了动态分析问题的能力，属于中等偏难
题．
15．（1）①A ； ②B；（2）③A ； ④A ； ⑤B．
【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；
【详解】解：因为 ，
（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以（2）因为 时，有 ，
而且 ，所以 在 上的最大值为 ．
又因为 时，有 ，
而且 ，所以 在(0,+∞)上的最大值为1．
综上， 的最大值为 ．
16．(1)
(2)当 的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150 .
【分析】（1）根据矩形面积即可求解，
（2）根据基本不等式即可求解.
【详解】（1） 则 ， ，
所以
（2） ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故当 的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150 .
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当 时的解析式，即可得到结果；
（2）根据定义证明函数 在 上单调递增，然后再结合 是定义在 上的奇函数，
化简不等式，求解即可得到结果.
【详解】（1）设 ，则 ，因为 时， ，所以
又因为 是定义在 上的奇函数，
即
所以当 时，
综上， 的表达式为
（2）由（1）可知， ，
设在 上任取两个自变量 ，令
则
因为 ，则 ，所以
所以函数 在 上单调递增.
即 ，
由 是定义在 上的奇函数，可得
即 ，由函数 在 上单调递增，
可得 恒成立，
当 时，即 ，满足；
当 时，即 ，解得
综上， 的取值范围为18．（1） （答案不唯一）（2）证明见解析
【解析】（1）找到一组符合条件的值即可；
（2）由 可得 ,整理可得 ,两边同除 可得
,再由 可得 ,两边同时加 可得 ,即可得证.
【详解】解析:（1） （答案不唯一）
（2）证明:由题意可知, ,因为 ,所以 .
所以 ,即 .
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 .
【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.
19．（1） ， ， ， ．（2） ；证明见解析．（3）证明见解
析．
【解析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；
（2）设 ，其中 ，由 知 ；由 可知 或
，分别讨论两种情况可的结果；
（3）记 ，则 ，设 ，由归纳推理可求得
，从而得到 ，从而得到 ，可知存在元素 满足题意.
【详解】（1） ， ， ， ．
（2）设 ，其中 ，则由题意： ，故 ，即 ，
考虑 ，可知： ， 或 ，
若 ，则考虑 ，
， ，则 ，
，但此时 ， ，不满足题意；
若 ，此时 ，满足题意，
，其中 为相异正整数．
（3）记 ，则 ，
首先， ，设 ，其中 ，
分别考虑 和其他任一元素 ，由题意可得： 也在 中，
而 ， ，
，
对于 ，考虑 ， ，其和大于 ，故其差 ，
特别的， ， ，
由 ，且 ， ，
以此类推： ，
，此时 ，
故 中存在元素 ，使得 中所有元素均为 的整数倍．
