250401_150943-7.基础习题册概率第七章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_基础

第七章 参数估计 7-1 基础过关 1.【答案】（1） 5 6 , 5 6 1 n 1 n ；（2） X ， X ；（3） n i n i i1 i1 n n i 1 r x i 【解析】（1）① x  1 3 (1  2  1 )  4 3 ， E X  1  2  2  2 (1  )  3  (1  ) 2  3  2      令 E X  x ，即 3  2  4 3  ，解得  5 6  . ② L ( )  2  2  2 ( 1  )  2 5 ( 1  )        ，所以 l n L ( )  l n 2  5 l n  l n (1  )    ，令 d l n d L ( ) 5 1 1 0         5 ˆ ，解得 . 6 （2）① E X  x ，即 ˆ x 1 n n i 1 X i      ②记 x 1 , x 2 ,  , x n 为 X 1 , X 2 ,  , X n 的样本值 L ( )   n i 1 P { X  x }i   n i 1 x ei x i  !    ， l n L ( )  n i 1 [ x i l n   l n ( x i ! ) ]  n i 1 x i  l n  n  n i 1 l n ( x i ! )      令  l n  L ( )  1 n i 1 x i  n  0  ，解得：   ˆ  1 n n i 1 x i  ，所以的最大似然估计量为 1 n  ˆ  X . n i i1 n n （3）L(p)PX  xCr1pr(1 p)x i r i x1 i i1 i1l n L ( p )   n i 1 n i 1 [ l l n n C r  1 C xi1 r  1  xi1  n r r l n l n p p   (  x i n i  1 x r i )  l n n (1 r   l n p ) (1 ]  p ) lnL(p) nr 1  n  令    x nr  0，解得： p p 1 p i  i1 ˆp  r x  n n i 1 r x i . 2.【答案】（1） 1 n n i 1 x i x 1      ， c  x 1 ； （2） ˆ 1 n n i 1 ( X i X ) 2      ， ˆc  X  1 n n i 1 ( X i  X ) 2 n n 1 【解析】（1）L(,c) f(x ) e(x i c)/,x c,i 1,2n i  i i1 i1 l n L ( , c ) n i 1 l n x i c n l n 1 n i 1 x i n c , x i c                       令    l l n n L  L  ( ( c , , c c ) )     n 1  (  1 n 2 )   n i n 1 x  i  0 n c   0     ，    所以 l n L ( , c )  为关于c的单调递增函数，所以 c  x 1 ，所以  x  x 1  1 n n i 1 x i  x 1  . tc u  1  （2）EX  t e(tc)/dt   (uc)eudu (2)cc c  0 tc u  1   EX2  t2 e(tc)/dt   (uc)2eudu  (2u2 2cuc2)eudu c  0 0 2(3)2c(2)c2 22 2cc2 2 (c)2所以 D X  E X 2  ( E X ) 2  2  ， 令  E D X X   X 1 n n i 1 ( X i  X ) 2 c X  ，即 1 n ，解得： 2  (X X)2   n i i1 ˆ 1 n n i 1 ( X i X ) 2      ， ˆc  X  1 n n i 1 ( X i  X ) 2 . 3.【答案】（1） ˆu  n  n i 1 x i ；（2） ˆ  1    2  1 n n i 1 x i   ；（3） ˆ  m 3 n n i 1 x i  1  【解析】（1）记 x 1 , x 2 ,  x n 为 X 1 , X 2 ,  , X n 的样本值， L ( )   n i 1 f ( x i )   n i 1 x i  1    l n L ( )  n i 1 [ l n  (  1 ) l n x i ]  n l n  (  1 ) n i 1 l n x i      ，令  l n  L ( )  n  n i 1 l n x i  0    解得： ˆ   n i 1 n l n x i  ，所以 ˆu  e n i1 ln n xi  n x 1 x 2 x n  n  n i 1 x i . （若 g ( x ) 具有单值反函数，且是的最大似然估计，则 g ( )  是g()的最大似然估 计） （2）  P { X  2 }  p  X  1  2    1   ( 2  )     ，记 x 1 , x 2 ,  x n 为 X ,X , ,X 的样本值， 1 2 n L ( )   n i 1 f ( x i )   n i 1 1 2 π e  ( x i 2 2)   ， n  1 (x )2  1 1 n lnL() ln  i nln  (x )2 ， i1 2π 2  2π 2 i1 i 令  l n  L ( )  n i 1 ( x i  )  n i 1 x i  n  0    ，解得  ˆ  1 n n i 1 x i  ，所以ˆ  1    2  1 n n i 1 x i   . （3）因为  1 3 ( 1  )   ，所以  3  1 n n   ，L()PX  xCx ix i(1)mx i i m i1 i1 n lnL()[lnCx i x ln(mx )ln(1)] m i i i1 n n  n  lnCx i x ln  mnx  ln(1) m i i   i1 i1 i1 令 l n L ( ) n i 1 x i 1 1 m n n i 1 x i 0                  ，解得： ˆ  x m  m 1 n n i 1 x i  . 所以 ˆ  m 3 n n i 1 x i  1  . 4.【答案】（1） c  2 ( n 1  1 ) ；（2） c  1 n 【解析】  n1  n1 n1 E c(X  X )2 cE(X2 2X X  X2)c(EX2 2EX X EX2)  i1 i  i1 i i1 i i1 i i1 i   i1 i1 i1 n1 c[2EX2 2(EX)2]2(n1)cDX 2(n1)c2 2 i1 所以 c  2 ( n 1  1 ) （2） E [ ( X ) 2 c S 2 ] E ( X ) 2 c E S 2 D X ( E X ) 2 c E S 2 1 n 2 2 c 2 2               1 所以c  . n 5.【答案】请参照详解 【解析】（1）记x ,x ,,x 为X ,X ,,X 样本值． 1 2 n 1 2 nL ( ) n i 1 f ( x i ) n i 1 1 x 1 i , 0 x i 1              n  1  1  n lnL()  ln lnx  nln  1  lnx ，   i    i i1 i1 x (1 )  0 , x (n )  1 令 l n L ( ) n 1 2 n i 1 l n x i 0             ，解得 ˆ 1 n n i 1 l n x i      1 n 即的最大似然估计量为 ˆ  lnX . n i i1 （2） 1 n 1 n E Elnx  ElnxElnx n i n i1 i1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  lnx x  dx lnxdx xlnx  x dx 0  0 0 0 1 1 x  0 故 ˆ 是无偏估计. 6.【答案】（1） T 1 , T 3 是的无偏估计量；（2） T 3 比 T 1 更有效. 【解析】（1） E T 1 1 6 ( E X 1 E X 2 ) 1 3 ( E X 3 E X 4 ) 1 6 ( ) 1 3 ( )               E T 2 1 5 ( E X 1 2 E X 2 3 E X 3 4 E X 4 ) 1 5 ( 2 3 4 ) 2               1 1 ET  (EX EX EX EX ) () 3 4 1 2 3 4 4 所以 T 1 , T 3 为的无偏估计量 1 1 1 1 5 （2）DT  (DX DX ) (DX DX ) (2 2) (2 2) 2 1 36 1 2 9 3 4 36 9 18 1 1 1 DT  (DX DX DX DX ) (2 2 2 2) 2 ，所以DT DT 3 16 1 2 3 4 16 4 3 1T 比 3 T 1 更有效. 7.【答案】请参照详解 【解析】（1） E 2 E ( ˆ ) 2 D ˆ ( E ˆ ) 2 D ˆ 2 2              ，所以 ˆ 不是2的无偏估计. （2）①记x ,x ,,x 为X ,X ,,X 样本值 1 2 n 1 2 n L ( ) n i 1 f ( x i ) n i 1 1 1 n , x (n )               ，所以 L ( )  为的单减函数，故 ˆ  x max{x ,x ,,x } (n) 1 2 n 所以的最大似然估计量为 X (n )  m a x { X 1 , X 2 ,  , X n } ②由 f ( x )   1 0 , , 0  e x l s  e ,   可知其分布函数为 F ( x ) 0 , x 1 , , x 0 x 0 x          F (x) P  X  x   P  maxX ,X , ,X  x   PX  x,X  x, X  x (n) (n) 1 2 n 1 2 n  P{X  x}P{X  x}, ,P{X  x}(P{X  x})n 1 2 n  0, x0  n  x  Fn(x)  , 0 x   1, x  nxn1  , 0 x f (x) F (x) n X X (n) (n)   0. else 所以 E ˆ 0 x n x n n 1 d x n n n 1 1 x n 1 0 n n 1                   ˆ ，故不是的无偏估计.7-2 基础真题 1.【答案】（1） 2 X ；（2） 5 2 n  【解析】（1） E X       x f ( x ) d x   0 6 x 2 3 (  x ) d x  2   1 n  . 记X  X ，由  n i i1 2  X  ， 得的矩估计量为  2 X  . （2）由于 E ( X 2 )       x 2 f ( x ) d x   0 6 3 x 3 (  x ) d x  3 1 0 2    ，  32  2 2 DX  E(X2)(EX)2      . 10 2 20 所以  2 X  的方差为 D  D ( 2 X )  4 D X  4 n D X  5 2 n   . 2.【答案】 1 n n i 1 X i  1 或 X  1   【解析】EX  xf(x;)dx xe(x)dx1. 根据矩估计量的定义，满足  0 E X  X 的 ˆ 即为的矩估计量，因此 ˆ = X  1 . 3.【答案】 n i 1 n X i  【解析】由题设，对于总体X 的简单随机样本 X 1 , X 2 , , X n ，其观测值为x , ,x ，当 1 n x i  0 , i  1 , 2 , , n n xa n i 时，似然函数为L(x ,x , ,x ;)(a)ne i1 Xa1 ， 1 2 n i i1 n n 对似然函数两边取对数，可得lnLnln(a)lnXa1Xa. i i i1 i1 dlnL n n n 又因  Xa 0. 则的最大似然估计值 ˆ  . 故的最大似然估计量 d  i n i1 xa i i1为 ˆ n i 1 n X ai     . 4.【答案】矩估计量为  2 1 X   X 1  ，最大似然估计量为   1  n i 1 n l n X i  【解析】总体 X  1 1 的数学期望为EX  xf(x)dx (1)x1dx .  0 2 设 X  1 n n i 1 X i 为样本均值. 由   1 2  X  ，解得未知参数的矩估计量为   2 1 X   X 1  . 设 x 1 ， x 2 ，…， x n 是相应于样本 X 1 ， X 2 ，…， X n 的样本值，则似然函数为 L ( 0 , n n 1 ) x , 0 i i 1 x i 1 ( i 1 , 2 , , n )          其  他 .   当 0  x i  1 ( i  1 , 2 , , n ) 时， L  0 ，且 l n L  n l n (  1 )  n i 1 l n x i dlnL n n   ，  lnx d 1 i i1 令 d ( l d n L )  0 n . 解得的最大似然估计值为1 ，从而得的最大似然估计  n lnx i i1 量为   1  n i 1 n l n X i  . 5.【答案】 ˆ  m i n { x 1 , x 2 , , x n }  【解析】似然函数为   n  2nexp2(x ), x (i1,2, ,n) L() L(x ,x , ,x ;)  i  i 1 2 n i1  0, 其他.当x (i1,2, ,n)时， i L ( )  0 n  ，取对数，得lnL()nln22(x )， i i1 因为 d [ l n d L ( ) ]  2 n  0  ，所以  L ( )  单调增加. 由于必须满足  x i ( i  1 , 2 , , n )  ，因此当取 x 1 , x 2 , , x n 中的最小值时， L ( )  取最 大值，所以的最大似然估计值为 ˆ  m i n { x 1 , x 2 , , x n }  . 1 1 6.【答案】矩估计值 ；最大似然估计值为 (7 13) 4 12 【解析】EX 02 12(1)223(12)34. x  1 8 ( 3  1  3  0  3  1  2  3 )  2 ，令 E X  x ，即 3  4  2  ，得的矩估计值 1  . 4 对于给定的样本值，似然函数为 L()2[2(1)]22(12)4 46(1)2(12)4 ， lnL()ln46ln2ln(1)4ln(12)， d[lnL()] 6 2 8 628242     . d  1 12 (1)(12) 令 d [ l n d L ( ) ]  0  1 ，解得  (7 13). 取“+”时，  1,2 12 1 1 2 ( 7  1 3 )  1 2 ，不合题 1 1 意；取“−”时，0 (7 13) 合乎题意，故的最大似然估计值为 12 2 1  (7 13). 12 7.【答案】（Ⅰ）  X X  1 n  ；（Ⅱ） n ln X i i1【解析】X 的概率密度为 f ( x ; )   x 0 ,  1 , x  x 1  , 1 ,    （Ⅰ）由于 E X       x f ( x ; ) d x    1  x  x  1 d x   1    ，由    1  X  ，解得  X X  ，所以参数的矩估计量 . X 1 X 1 （Ⅱ）似然函数为 L ( ) n i 1 f ( x i ; ) ( x 1 x 2 n x n ) 1          . n 取对数得lnL()nln(1)lnx ， i i1 两边对求导，得 d [ l n d L ( ) ]  n  n i 1 l n x i  .   令 d [ l n d L ( ) ]  0  ，可得   n i 1 n l n x i  ，故的最大似然估计量  n i 1 n l n X i  . 8.【答案】（Ⅰ）= 3 2  X N ；（Ⅱ） n 【解析】 （Ⅰ）由于 E X + x f ( x ; ) d x 1 0 x d x 2 1 ( 1 ) x d x 1 2 + 3 2 ( 1 ) 3 2                     . 3 3 3 令  X ，解得  X ，所以参数的矩估计为=  X . 2 2 2 （Ⅱ）似然函数为 L ( ) n i 1 f ( x i ; ) N (1 ) n N           ，取对数，得 l n L ( )  N l n  ( n  N ) l n ( 1  )    ， d[lnL()] N nN 两边对求导，得   . d  1令 d [ l n d L ( ) ]  0  ，得   N n  ，所以的最大似然估计为  N n  . 9.【答案】（Ⅰ） F ( x )   1 0  ,  2 ( x  e ) , x x   , .   ；（2）  F ˆM ( x ) 2 0 n , e 2 n ( x ) , x ,        其  他 . （Ⅲ）不具有无偏性（数三： E ˆ M 1 2 n     ） x 1e2(x),x, 【解析】（Ⅰ）X 的分布函数F(x) f(t)dt   0, x. （Ⅱ）统计量 ˆ M  的分布函数： F ˆM ( x ) P 1 1 { P [ 1  x } X 1 F ( x P x ) ]  , n m X i 2 n 1 0  , X , X 1 2 x , , X 2 n ( x e , n , X x ) , x x  n  1 , . x  P  1 X 1 P  x m  i P n   X X 2 1 , X x 2  , , P X  n X  n x  x                                           （Ⅲ） ˆ M  的概率密度为 f ( x )  F  ( x )   2 0 n , e  2 n ( x  ) , x 其  他 , .     因为 E ˆ M x f ˆM ( x ) d x 2 n x e 2 n ( x )d x 2 1 n                      ˆ ，所以 作为的估计量 M 不具有无偏性. 10.【答案】（Ⅰ） M 2 X 1 2    ；（2） 4 X 2 不是 2  的无偏估计量 【解析】（Ⅰ） E X =  +    x f ( x ; ) d x   0 2 x d x   1 2 (1 x  ) d x  1 4  2    .    令X  EX ，即 X  1 4  2  ，得的矩估计量为 M 2 X 1 2    . （Ⅱ）因为 2 2 1 1 1  2 4 1 E(4X )4E(X )4[DX (EX)2]4 DX       DX  2  n 4 2   n 4又 D X  0 ，  0 2 2  ，所以E(4X )2，即E(4X )2，因此 4 X 2 不是 2  的无偏估 计量. 11.【答案】C 【解析】根据题设，可得 E ( S 2 )  E  n 1  1 n i 1 ( X i  X ) 2   D ( X )  2  ， 但 E S  （若 E S  ，则 ( E S ) 2  2  ， D S  E S 2  ( E S ) 2  0 ），故选项（A）错误. 对于选项（D），若总体为正态总体，则 X 与 S 2 独立，但题设中的总体未必是正态总体， 故选项（D）错误. 对于选项（B）和选项（C），根据辛钦大数定律和依概率收敛的定义可知，样本标准差 S 是总体标准差的相合估计量，而不是最大似然估计量，故选项（B）错误，而选项 （C）正确.7-3 拓展拔高 1.【答案】D 【解析】依题设， X 1 , X 2 , , X n 相互独立， E ( X 2 ) 是总体X 的二阶原点矩，其矩估计 1 n 就是样本的二阶原点矩，即E(X2) X2，显然可排除选项（A），（B）. n i i1 由 n n n n (X X)2 (X2 2X X  X2)X2 2X X nX2 i i i i i i1 i1 i1 i1 n n X2 2X nX nX2 X2 nX2 i i i1 i1 可知， 1 n n i 1 ( X i  X ) 2  X 2  1 n  n i 1 X 2i  n X 2   X 2  1 n n i 1 X 2i ，故答案选（D）. 2.【答案】矩估计量：  ˆ1 ˆ 2   X X   3 3 B B 2 2  （  B 2  1 n n i 1 ( X i  X ) 2 ）， 最大似然估计量： ˆ1  m1  i n i n { X }i  ， ˆ 2  m1  ai xn { X }i  【解析】先求矩估计： E ( X )  1  2 2   ， D ( X )  ( 2  1 2 1 ) 2   ， E(X) X  令 1 n ，即 D(X) (X X)2  B   n i 2 i1  1 2   2 1   2 2 X , 3 B 2   ，解得：    ˆ1 ˆ 2   X X   3 3 B B 2 2   再求最大似然估计：  1  ,   x, f(x;,)  1 2 1 2 2 1  0, 其他.  1  ,   x (i1,2, ,n), 似然函数为L(x ,x , ,x ;,)( )n 1 i 2 1 2 n 1 2 2 1  0, 其他.lnL(,)nln( )， 1 2 2 1   1 l n L ( 1 , 2 )  2 n  1  0   ，      2 l n L  1 , 2    2 n  1  0   ，而    1  m1  i n i n { x }i  ， 2  m1  ai xn { x }i  . 因为lnL(,)是 1 2 1 的单调增函数，是 2  的单调减函数，所以 ˆ1  m1  i n i n { X }i  ， ˆ 2  m1  ai xn { X }i  . 3.【答案】 n i 1 n X ai 【解析】  n  x i a L() f(x )f(x ) f(x ) nan(x x x )a1e i1 , x 0,x 0,,x 0 1 2 n 1 2 n 1 2 n  0, 其他 n n lnL()nlnnlna(a1)lnx xa ，令 i i i1 i1 d d l n L ( )  n  n i 1 x ai  0  ，得参   数的最大似然估计量为 ˆ  n i 1 n X ai  . 4.【答案】C 【解析】由于X U[,]，因此 X 的概率密度为 f ( x ; ) 2 0 1 , , . x ,        其 他   n  1  n 似然函数为L()f(x;)   ( x ,x , ,x )，显然 i 2 1 2 n i1 L ( )  关于单调 减少，由于 x ,x ,,x 等价于|x |,|x |, ,|x |，即max{|x |}. 因此 1 2 n 1 2 n i 1in 取满足条件   x 1 , x 2 ,   , x n   的最小值时，L()取最大值，故的最大似然估计量 为max{| X |}. 故答案选（C）. i 1in 5.【答案】（1） pˆ  X ， pˆ  X ； 1 2（2）是无偏估计，证明略（数一）； E X  1 n n i 1 E X i  1 n n i 1 p  p （数三） 【解析】（1）由题意得，矩估计值为 x  p ，则矩估计量为 pˆ  X . 1 似然函数为 L ( p )  p n i1 xi ( 1  p ) n  n i1 xi  p n x ( 1  p ) n  n x 两边取对数，得： l n L ( p )  n x l n p  n ( 1  x ) l n ( 1  p ) dlnL(p) nx n(1x) 令   0，解得 dp p 1 p p  x ，故最大似然估计量为 pˆ  X . 2 （2）由于 ˆp 1  ˆp 2  X ， E X  1 n n i 1 E X i  1 n n i 1 p  p ，即相应的估计量都为无偏估计 量（数一）. 6.【答案】B 【解析】设总体 X 的分布函数为 F ( x ) ，概率密度为 f ( x ) ， X m a x 的分布函数为F (x)， m 概率密度为 f m ( x ) ，由于总体 X  U  0 ,   ，故 f ( x )   1 , 0 0 ,  其 x 他  , ,   F ( x )   0 , x x , 1 , x  0   0 , x ,  ,    当 0  x  时， F (x) P{X  x} P{max{X ,X , ,X } x} m max 1 2 n  P{X  x,X  x, ,X  x} P{X  x}P{X  x} P{X  x} 1 2 n 1 2 n [F(x)]n 于是， X m a x 的概率密度为 f m ( x ) F m ( x ) n  F ( x )  n 1 f ( x ) n 0 x , n n 1 , 0 . x ,         其  他    nxn an 因此，E(aX ) axf (x)dxa dx . 要使aX 成为的无偏估计 max 0 m 0n n1 maxn1 量，则应有E(aX )，故a . 故答案选（B）. max n 7.【答案】 ˆ  m a x { X 1 , X 2 , , X n }  ，（数一）不是无偏估计量；（数三） E ( ˆ )  n n  1   【解析】总体 X 的密度函数和分布函数分别为 f ( x )   1 , 0 0 ,  其 x 他  , ,  0,x0.   x  ，即F(x) ,0 x,    1,x,  设 x 1 , x 2 , , x n 为总体 X 的样本观察值，似然函数为 L ( )   0 1 n 其 , , 0 他  x i  , ( i  1 , 2 , , n )    当0 x (i1,2,,n)时， i L ( )  1 n  0  ，且当越小时  L ( )  越大 所以的最大似然估计值为 ˆ maxx,x , ,x  ，的最大似然估计量为 1 2 n ˆ  m a x { X 1 , X 2 , , X n }  . 因为 ˆ  m a x { X 1 , X 2 , , X n }  的分布函数为 0,x0,  xn F (x) P(max{X , ,X } x) P(X  x)P(X  x) Fn(x) ,0 x, ˆ 1 n 1 n n  1,x,  nxn1  ,0 x, ˆ 则的概率密度为 f (x) n ˆ  0,其他. ˆ  nxn1 n E() x dx ，所以 0 n n1 ˆ  m a x { X 1 , X 2 , , X n }  不是的无偏估计量. ˆ ˆ 8.【答案】（数一）比 更有效；（数三）请参照解析 1 2 【解析】因为总体X 在区间(0,)内服从均匀分布，所以分布函数为F ( x )   0 , x x , 0 1 , x    0 x ,  . ,    令 U  m1  ai x3 { X }i ， V  m1  i n i 3 { X }i ，则 F U ( u )   P P ( ( U X 1   u ) u )  P P ( X  m 2 a  x u ( ) X P , 1 ( X X 3 2 ,  X u ) 1 )   u 0      1    P ( X , u 3 u  , 0  , u  1    u u 0 , ,  , X 2 ,  u , X 1  u )    F V ( v )     P 1 1 (   0 1 V  v )  P ( m i n P ( X  v , X  1 2 [ 1  P ( X  v ) ] 1 , v  3 v    1  , 0     { X v , [ 1  0 , , 1 X P X 1 ( 2  X , X v )  2 3  } v  1  ) ] v ) P [ 1   ( X P 1 1 (   X P v 1 ( m ) P  v i n ( X ) ] { X 2  1 , v X ) 2 P , ( X X } 3 3   v v ) )   1 , v   v  , .   3x2 3 x 2  , 0 x,   1  ,0 x, 则U,V 的密度函数分别为 f (x)3 ， f (x)  U V  0, 其他,  0, 其他, 因为 E  4 3 U   4 3 E  U   4 3  0 x  3 x 2 3 d x   ，  2  3 x E(4V)4E(V)4 x 1  dx 0   4 ˆ 所以  max{X }与 1 3 1i3 i ˆ 2  4 m1  i n i 3 { X }i  都是参数的无偏估计量.  3x2 3  2 32 D(U) E(U2)[E(U)]2  x2 dx     0 3 4  80D ( V )  E ( V 2 )  [ E ( V ) ] 2   0 x 2  3  1  x  2 d x   1 4  2  3 8 0 2      4  16 32 2 ˆ D() D  U     ， 1 3  9 80 15 D ( ˆ 2 )  D  4 V   1 6  3 8 0 2  3 5 2    因为 D ( ˆ1 )  D ( ˆ 2 )   ，所以 ˆ1 ˆ 比 更有效. 2