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电学“证明与推导”题汇总
1.如果加在某一定值电阻两端的电压由U 变化到U ，通过该电阻的电流变化了ΔI。
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试推导：该定值电阻电功率的变化量为ΔP=（U +U )·ΔI。
1 2
证明：∵
∴
2.若某一定值电阻两端的电压变化了ΔU，通过该电阻的电流由I 变化到了I 。
1 2
试推导：该定值电阻电功率的变化量为ΔP=（Ⅰ+I )•ΔU。
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证明一：∵
∴
证明二：∵ ，得：U I =U I
1 2 2 1
∴ ΔP= U I －U I = U I －U I +U I －U I =（I +I ）(U －U )= （I +I ）·ΔU
2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
3.在如图所示的电路中，电源电压为 U 且恒定，R 为定值电阻，滑动变阻器的最大阻值
0
R >R ，电路中滑动变阻器也可看成消耗电能的用电器，其电功率大小与其接入电阻大小有关，当其
max 0
电阻变化，通过其电流变化，它两端的电压也变化，那么由电功率公式 P=UI可知其电功率可能是变
化的。试推证：当R =R 时，滑动变阻器消耗的功率最大。
滑 0
证明：设电源电压为U，滑动变阻器两端电压为U ，通过的电流为I ，
滑 滑
那么电路的总电阻R =R +R ，则 ，
总 滑 0
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由于U、R 是定值，所以当R =R 时，P 有最大值，最大值为 。
0 滑 0 滑
4.如图所示，将电压为U的电源加在A、B两端，用R 给物体加热，此时的电功率为 P ；将电压
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U加在A、C两端，用R 给物体加热，此时的电功率为 P ；将电压U加在B、C两端用R 、R 同时给
2 2 1 2
物体加热，此时的电功率为P。（设电源电压恒定）
试证明： 。
证明：由 可得：
将电压为U的电源加在A、B两端，电路中的电阻为R ，此时的电功率为 ，则 ；
1
将电压为U的电源加在A、C两端，电路中的电阻为R ，此时的电功率为 ，则 ；
2
将电压为 U 的电源加在 B、C 两端，R 、R 串联，总电阻 R=R +R ，此时的电功率为
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，则： 。
5.如图甲电路中，R 和R 并联，它们的电功率分别是P 和P ，如果将它们串联起来，仍接在该电
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源上（如图乙）。
试证明：此时电路消耗的总功率： 。
证明：由 可得： ，
当两电阻串联时，
6.把两个定值电阻 R 和 R 并联接入电压恒定的电路中，通过它们的电流分别为 I 和 I ，已知
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R=nR，并测出干路电流为I，试证明： 。
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证明：由题意可知，两定值电阻并联，因并联电路中各支路两端的电压相等，
所以，两支路的电流之比为：
则I =nI
1 1
因并联电路中干路电流等于各支路电流之和，
所以，I=I +I =I +nI =（1+n）I
1 2 1 1 1
则
7.在电工学中常用物理量“电导”（符号为G）来表示导体的导电能力。导电能力强，则电导 G
的值大：导电能力弱，则电导G的值小。对于同一导体，其电导G和电阻 R的关系为G=1/R。现有
甲、乙两个导体，已知导体甲的电导为G ，导体乙的电导为G ，请推导出导体甲和导体乙串联时的
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总电导 。
证明：由 得： ，
故 ， ，
根据串联电路电阻的关系：R =R +R
总 1 2
即
整理得：
8.如图，将电压为U的电源加在A、B两端，R 放出的热量将常温下一定质量的水烧开所需时间
1
为t ，将电压为的电源加在 B、C两端，R 放出的热量将同样的水烧开所需时间为 t 。若将电压为U
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的电源加在A、C两端，R 、R 放出的热量将同样的水烧开所需时间为 t，请证明t=t +t （电能全部转
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化为水的内能）
证明：根据焦耳定律 可知：
电阻R 单独工作产生的热量为： ，则
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电阻R 单独工作产生的热量为： ，则
2
电阻R 和R 串联工作产生的热量为： ，则
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由此可知：t=t +t
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9.同一电源，用R 烧开一壶水为t ，用电阻丝R 烧开同一壶水用时t ，R 、R 并联在原电路中烧
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同一壶水用时t，证明： 。
证明：两根电阻丝并联到原来的电源上，则P=P +P
1 2
所以
又因为Q=Q =Q
1 2
所以
10.额定电压为220V，额定功率分别为P 、P 的两灯泡串联在220V 的电路中，它们消耗的总功率为
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P，求证： 。
证明：由功率 可得，两盏电灯的电阻分别为： ，
将它们串联后接到电压为U的电路中时，串联电路中总电阻等于各分电阻之和，
两盏灯的总功率：
11.通过串并联电路电阻知识的相关学习，同学们知道两个电阻R 、R （如图甲）并联后的总电阻
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，在此基础上有不少同学认为三个电阻 R 、R 、R （如图乙）并联后的总电阻应为
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，但是这个想法是错误的。请你运用所学知识推导出正确的表达式。
证明：由题可知，R 、R 、R 并联，由并联电路电流、电压规律知：
1 2 3
U=U =U =U ，且I=I +I +I
1 2 3 1 2 3
由 知， ，即
化简得：
12.如图丙，A、B之间的电压U=220V，通过导线为远处的 M、N之间的用电器供电，由于距离
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很远，导线AM和BN的电阻不可忽略，它们的总电阻用图中的r表示，r=4Ω。若M、N之间并联10
个阻值R=400Ω的相同电阻，求：
（1）M、N两点间的电压。
（2）试分析说明：在图丙的电路中，M、N之间并联的用电器越少，每一个用电器的实际功率越
大。
证明：（1）M、N之间的等效电阻：
通过导线AM的电流：
所以，M、N之间的电压为：U′=IR′=5A×40Ω=200V
（2）M、N之间并联的用电器越少，其等效电阻R′越大；R′与r串联，根据串联电路电压规律，
U和r一定，R′越大，M、N之间的电压U 越大；根据 可得，每一个用电器的实际功率越大。
MN
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