文档内容
常州市二○二四年初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡
相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不
允许使用计算器．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是正确的）
1. 的绝对值是（ ）
.
A B. C. 2024 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反
数进行求解即可．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选：C．
2. 若二次根式 有意义，则 可取的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出 的取值范围，继而得出答案．
【详解】解：若二次根式 有意义，则 ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司在四个选项中符合 的是2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
3. 计算 的结果是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查同类项的计算，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即
可．
【详解】解： ，
故选：B．
4. 下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图
的特征即可得到答案．
【详解】解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
故选：B．
5. 如图，在纸上画有 ，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在 的平分线上，则（
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学科网（北京）股份有限公司）
A. 与 一定相等 B. 与 一定不相等
C. 与 一定相等 D. 与 一定不相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作 的垂线，垂足分别为
E、F，由角平分线的性质得到 ，由平行线间间距相等可知 ，则 ，而
和 的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P分别作 的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在 的平分线上，
∴ ，
由平行线间间距相等可知 ，
∴ ，
由于 和 的长度未知，故二者不一定相等，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A，
6. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约
50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示
为（ ）
A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法 表的示方法 为整数，进行表示即可．
关键是确定a与n的值．
【详解】解：50亿光年 光年；
故选C．
7. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力 、 ，则 的力臂
大于 的力臂 ．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 垂线段最短
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两点确定一条直线
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点 有
，进而利用垂线段最短得到 即可解题．
【详解】解： 过点 有 ，
，
即得到 的力臂 大于 的力臂 ，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
8. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进 所
用的时间，即“配速”（单位： ）．小华参加 的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则
下列说法中错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 第 所用的时间最长
B. 第 的平均速度最大
C. 第 和第 的平均速度相同
D. 前 的平均速度大于最后 的平均速度
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．
【详解】解：“配速”是每行进 所用的时间，故从图中可知，第 所用的时间最长，故选项A不符
合题意；
平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程 时间，由图可知，配速最小，故第 所用时间最
短，故第 的平均速度最大，故选项B不符合题意；
第 所用的时间与第 所用的时间一致，故第 的和第 的平均速度相同，故选项C不符合
题意；
由于前 的的时间大于最后 的时间，故前 的平均速度小于最后 的平均速度，故选项D
符合题意；
故选D．
二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接
填写在答题卡相应位置上）
9. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
10. 分解因式: =_________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫分解因式．
【详解】
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关
系式，即可．
【详解】解：由题意，得： ；
故答案为： ．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的对角线 相交于原点O．若点A的坐标是
，则点C的坐标是________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到 关于原点对称，即可得出结
果．
【详解】解：∵正方形 的对角线 相交于原点O，
∴ ，
∴ 关于原点对称，
∵点A的坐标是 ，
∴点C的坐标是 ；
故答案为： ．
14. 如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 ．若 ，则
________ ．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内
角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵ 是 的直径， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
15. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线分别交边 于点 E、F．若 ，
，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关
键．设 与 相交于点 ，证明 ，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解： 的垂直平分线分别交边 于点E、F．
， ，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
，
，
，
令 ，
，
解得 或 （舍去），
．
故答案为： ．
16. 如图，在 中， ， ， ，D是边 的中点，E是边 上一点，
连接 ．将 沿 翻折，点C落在 上的点F处，则 ________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出 的长，折叠得到 ，
，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折，点C落在 上的点F处，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ；
∴ ；
故答案为： ．
17. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时
这组成绩的平均数是 ，方差是 ．若第10次投掷标枪的落点恰好在 线上，且投掷结束后这
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学科网（北京）股份有限公司组成绩的方差是 ，则 ________ （填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案．
【详解】解：设这组数据为前9个数分别为 ，
由题意可知， ，
；
根据方差越小越稳定，即前九次波动较大，
，
故答案为： ．
18. “绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速
的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时 32s，第二个路口显示
红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口 480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是
30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是 45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于
的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速 v（
）的取值范围是________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．
利用路程 速度 时间，结合小亮爸爸以不低于 的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、
绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出车速 的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得： ，
解得： ，
车速 的取值范围是 ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解
答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解方程组和不等式组：
（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组：
（1）加减法解方程组即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【小问1详解】
解：
，得： ，解得： ；
把 代入①，得： ，解得： ；
∴方程组的解为： ．
【小问2详解】
解： ，
由①，得： ；
由②，得： ；
∴不等式组的解集为： ．
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算
法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时，原式 ．
21. 某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20
个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数
t
充电宝数量/个 2 3 10 5
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是________（写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足 ；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足 ．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
【答案】（1）见解析 （2）①②
（3）500个
【解析】
【分析】本题考查调查方式，求中位数，众数，利用样本估计总体：
（1）根据调查方式的选择，进行说明即可；
（2）根据统计表的数据，中位数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解：对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式．
【小问2详解】
解：由统计表可知：这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；故①正确；
将数据排序后，第10个和第11个数据均位于 ，故这20个充电宝的完全充放电次数t的中位
数满足 ；故②正确；
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学科网（北京）股份有限公司由统计表的中的数据可知， 的数据只有2个，故平均数一定大于400，故③错误；
故答案为：①②；
【小问3详解】
解： （个）．
22. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透
明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．
甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）直接根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
甲
乙
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学科网（北京）股份有限公司由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有 ， ， ，共3种，
∴甲获胜的概率为 ．
23. 如图，B、E、C、F是直线l上的四点， 相交于点G， ， ， ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）连接 ，则 与l的位置关系是________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：
（1）证明 ，得到 ，即可得证；
（2）根据线段的和差关系，易得 ，根据三角形的内角和定理，得到 ，即可得
出结论．
【小问1详解】
证明：在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 是等腰三角形；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 图像与反比例函数 的图像相交于点
的
、 ．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）连接 ，求 的面积．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线 与 轴交于点 ，分割法求出 的面积即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于点 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ， ，
∴ ，解得： ，
∴一次函数的解析式为： ；
【小问2详解】
解：设直线 与 轴交于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
25. 书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．
如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、
cm、dm．若装裱后 与 的比是 ，且 ， ， ，求四周边衬的宽度．
【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出 的长，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ， ，
∵ 与 的比是 ，
∴ ，
解得： ，
经检验 是原方程的解．
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学科网（北京）股份有限公司∴上、下、左、右边衬的宽度分别是 ．
26. 对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离 后与另一个图形
重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图 ， 是线段 的四等分点．若 ，则在图中，线段 的“平移关联图形”
是________， ________（写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图 ，等边三角形 的边长是 ．用直尺和圆规作出 的一个“平移关联图形”，且满足
（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图 ，在平面直角坐标系 中，点 的坐标分别是 、 、 ，以点
为圆心， 为半径画圆．若对 上的任意点 ，连接 所形成的图形都存在“平移关联图
形”，且满足 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）图见解析（答案不唯一）
（3） 或
【解析】
【分析】（ ）根据平移的性质，进行求解即可；
（ ）延长 ，在射线 上截取线段 ，分别以 为圆心， 的长为半径画弧，两弧交
于点 ，连接 ， 即为所求；
（ ）分 在圆内和圆外两种情况，进行求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：∵ 是线段 的四等分点． ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的平移图形是 ， ；
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：如图所示， 即为所求；
由作图可知： ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∴ 即为所求；
【小问3详解】
∵点 的坐标分别是 、 、 ，
∴ ，
∴ ，
∵对 上的任意点 ，连接 所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足 ，且
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
当 在圆外时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当 在圆内时，
则： ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等
知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司27. 将边长均为 的等边三角形纸片 叠放在一起，使点E、B分别在边 上（端点
除外），边 相交于点G，边 相交于点H．
（1）如图1，当E是边 的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
（2）如图2，若 ，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当 ， 时， 与 有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】（1）菱形 （2）
（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接 ，由等边三角形的性质可得 ，则 四点
共圆，由三线合一定理得到 ，则 为过 的圆的直径，再由 ，
得到 为过 的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明
，推出四边形 是平行四边形，进而可证明四边形
是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）由等边三角形的性质得到 ， ，则由平行线的性质可
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学科网（北京）股份有限公司推出 ，进而可证明四边形 是平行四边形，再证明 是等边三角形，则可设
，则 ， ，由勾股定理得到
，可得 ，则当
时， 有最大值，最大值为 ；
（3）过点B作 于M，过点E作 于N，连接 ，则
， ， ，证明 ，进而可证明
，得到 ，则 ，即 ．
【小问1详解】
解：如图所示，连接
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∴ 为过 的圆的直径，
又∵ ，
∴ 为过 的圆的直径，
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学科网（北京）股份有限公司∴点H为圆心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；
【小问2详解】
解：∵ 都是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
过点E作 ，
∴设 ，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
【小问3详解】
解： ，理由如下：
如图所示，过点B作 于M，过点E作 于N，连接 ，
∵ 都是边长为 的等边三角形，
∴ ， ，
∴由勾股定理可得 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三
角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于
点C．
（1） ________；
（2）如图，已知点A的坐标是 ．
①当 ，且 时，y的最大值和最小值分别是s、t， ，求m的值；
②连接 ，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作 轴，垂足为
D．作 ，射线 交y轴于点Q，连接 ．若 ，求点P的横坐标．
【答案】（1）3 （2）① ；②1或 或
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）当 时， ，即 ；
（2）①先求出解析式为 ，可知对称轴为直线： ，当 ，且 时，y随着
x的增大而减小，故当 ， ，当 时， ，由 得，
，解得 ；②在 中，可求 ，由题意得，
， ，四边形 为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形
为平行四边形时，则 ，则 ，设 ，则
，则 ，故 ，则 ，将点 代入
，得 ，解得 ，故 ；当四边形
为等腰梯形时，则 ，过点P作 轴于点E，则 ，由
，得 ，则 ，设 ，则 ，故 ，解得
，即 ；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形 为平行四边形，则 ，
设 ，则 ，而 ，故 ，即 ，
可得 ，将点P代入 ，得 ，解得
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学科网（北京）股份有限公司或 （舍），因此 ，综上：点P的横坐标为1或 或
．
【小问1详解】
解：当 时， ，即 ；
【小问2详解】
解：①将点A代入
得， ，
解得： ，
∴解析式为： ，
而 ，
∴对称轴为直线： ，
当 ，且 时，
∴y随着x的增大而减小，
∴当 ， ，当 时， ，
由 得， ，
解得： 或 （舍）
∴ ；
②在 中， ，
由题意得， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形 为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形 为平行四边形时，则 ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将点 代入 ，
得： ，
解得： 或 （舍），
第31页/共34页
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
当四边形 为等腰梯形时，则 ，过点P作 轴于点E，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
第32页/共34页
学科网（北京）股份有限公司即 ；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形 为平行四边形，则 ，
∵
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司将点P代入 ，
得： ，
解得： 或 ，
而当 时， ，故舍，
∴ ，
综上：点P的横坐标为1或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐
标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
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