文档内容
2007 年江苏高考数学真题及答案
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第
16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为
120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5毫米签字笔填写
在试卷及答题卡上。
3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。
4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在
其它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
参考公式：
次独立重复试验恰有 次发生的概率为：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为 的是（D）
A． B． C． D．
2．已知全集 ， ，则 为（A）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系 中，双曲线中心在原点，焦点在 轴上，一条渐近线方程为
，则它的离心率为（A）
A． B． C． D．
4．已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题：（C）① ②
③ ④
其中正确命题的序号是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
5．函数 的单调递增区间是（B）
A． B． C． D．
6．设函数 定义在实数集上，它的图像关于直线 对称，且当 时，
，则有（B）
A． B．
C． D．
7．若对于任意实数 ，有 ，则 的值为（B）
A． B． C． D．
8．设 是奇函数，则使 的 的取值范围是（A）
A． B． C． D．
9．已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有
，则 的最小值为（C）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系 ，已知平面区域 且 ，则平
面区域 的面积为（A）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直
接填空在答题卡相应位置上。
11．若 ，.则 1/ 2 .12．某校开设9门课程供学生选修，其中 三门由于上课时间相同，至多选一门，学
校规定每位同学选修4门，共有 7 5 种不同选修方案。（用数值作答）
13．已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，则
3 2 .
14．正三棱锥 高为2，侧棱与底面所成角为 ，则点 到侧面 的距离是
.
15．在平面直角坐标系 中，已知 顶点 和 ，顶点 在椭圆
上，则 5/ 4 .
16．某时钟的秒针端点 到中心点 的距离为 ，秒针均匀地绕点 旋转，当时间
时，点 与钟面上标 的点 重合，将 两点的距离 表示成 的函数，
则
1 0 ，其中 。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为 ，计算（结果保留到小数点
后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第 次预报准确的概率；（4分）
解：（1）
（2）
（3）
18．（本小题满分12分）如图，已知
D
A
是棱长为3的正方体，点 在 上，点 在 上， 1
1
C
B
且 ， F 1 1 E
M
（1）求证： 四点共面；（4分） D H
C G
（2）若点 在 上， ，点 在 上，
，垂足为 ，求证： 面 ；
（4分）（3）用 表示截面 和面 所成锐二面角大小，求 。（4分）
解：（1）证明：在DD 上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD N是平行四边
形，所以D F//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又
BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN//BE，所以D F//BE，所以 四点共面。
（2）因为 所以 ∽ MBG，所以 ，即 ，所以MB=1，
因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB 又平面ABB A ⊥平面BCC B
，且EM在平面ABB A 内，所以 面
（3） 面 ，所以 BF， MH， ，所以∠MHE就是截面
和面 所成锐二面角的平面角，∠EMH= ，所以 ，
ME=AB=3， ∽ MHB，所以3：MH=BF：1，BF= ，所以MH= ，所
以 =
19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系 y
中，过 轴正方向上一点 任作一直线，与抛物线
B
P
C
相交于 两点，一条垂直于 轴的直线，分别与
A
线段 和直线 交于 ，
O x
（1）若 ，求 的值；（5分）
Q
l
（2）若 为线段 的中点，求证： 为此抛物线的
切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
解：（1）设过C点的直线为 ，所以 ，即 ，
设A ， = ， ，因为 ，所以
， 即 ，所以 ，即 所以
（ 2 ） 设 过 Q 的 切 线 为 ， ， 所 以 ， 即
， 它 与 的 交 点 为 M ， 又
，所以Q ，因为 ,所以 ，
所以M ,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q ，因为PQ 轴，所以
因为 ，所以P为AB的中点。
20．（本小题满分 16 分）已知 是等差数列， 是公比为 的等比数列，
，记 为数列 的前 项和，
（1）若 是大于 的正整数 ，求证： ；（4分）
（2）若 是某一正整数 ，求证： 是整数，且数列 中每一项都是数列 中
的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数 ，使等比数列 中有三项成等差数列？若存在，写出一个
的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
解：设 的公差为 ，由 ，知 ， （
）
（1）因为 ，所以 ，
，
所以
（2） ，由 ，
所 以 解 得 ， 或 ， 但
，所以 ，因为 是正整数，所以 是整数，即 是整数，设数列 中
任意一项为
，设数列 中的某一项 =
现在只要证明存在正整数 ，使得 ，即在方程 中
有正整数解即可， ，所
以，若 ，则 ，那么 ，当
时，因为 ，只要考虑 的情况，因为 ，所以 ，因此
是正整数，所以 是正整数，因此数列 中任意一项为
与数列 的第 项相等，从而结论成立。
（3）设数列 中有三项 成等差数列，则有
2 设 ， 所 以 2 ， 令
， 则 ， 因 为 ， 所 以
，所以 ，即存在 使得 中有三项
成等差数列。
21．（本小题满分16分）已知 是不全为 的实数，函数 ，
， 方 程 有 实 根 ， 且 的 实 数 根 都 是
的根，反之， 的实数根都是 的根，
（1）求 的值；（3分）
（2）若 ，求 的取值范围；（6分）
（3）若 ，求 的取值范围。（7分）
解（1）设 是 的根，那么 ，则 是 的根，则
即 ，所以 。
（ 2 ） 因 为 ， 所 以 ， 则
= =0的根也是 的根。
（a）若 ，则 ，此时 的根为 0，而 的根也是 0，所以
，
（b）若 ，当 时， 的根为0，而 的根也是0，当 时，
的根为0和 ，而 的根不可能为0和 ，所以
必无实数根，所以 所以 ，从而
所以当 时， ；当 时， 。
（3） ，所以 ，即 的根为0和1，
所以 =0必无实数根，
（a）当 时， = = ，即函数 在， 恒 成 立 ， 又 ， 所 以
，即 所以 ；
（b）当 时， = = ，即函数 在
， 恒 成 立 ， 又 ， 所 以
，
，而 ，所以 ，所以 不可能小于0，
（c） 则 这时 的根为一切实数，而 ，所以 符合
要求。
所以
