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2008 年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）（2008•江苏）若函数 最小正周期为 ，则ω= ________ _ ．
2．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩
具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ________ _ ．
3．（5分）（2008•江苏）若将复数 表示为a+bi（a，b R，i是虚数单位）的形式，则a+b= ________ _ ．
∈
4．（5分）（2008•江苏）若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x R}，则A∩Z中有 ________ _ 个元素．
∈
5．（5分）（2008•江苏）已知向量 和 的夹角为120°， ，则 = ________ _ ．
6．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，
E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是 ________ _ ．
7．（5分）（2008•江苏）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人
进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
序号i 分组 组中值 频数 频率
（睡眠时间） （G） （人数） （F）
i i
1 [4，5） 4.5 6 0.12
2 [5，6） 5.5 10 0.20
3 [6，7） 6.5 20 0.40
4 [7，8） 7.5 10 0.20
5 [8，9 8.5 4 0.08
]
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 ________ _ ．8．（5分）（2008•江苏）设直线y= x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为
________ _ ．
9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，
0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，
CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为 ，请你完
成直线OF的方程： ________ _ ．
10．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的
第3个数为 ________ _ ．
11．（5分）（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则 的最小值是 ________ _ ．
12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的焦距为2c，以O为圆心，a
为半径作圆M，若过 作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ________ _ ．
13．（5分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC= BC的三角形ABC的面积的最大值是 ________ _ ．
14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x [﹣1，1 总有f（x）≥0成立，则a= ________ _ ．
∈ ]
二、解答题（共12小题，满分90分）15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别
交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是 ， ．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．
16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求
证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．
17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．
AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，
建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x R）与两坐标轴有三个交
点．经过三个交点的圆记为C．
∈
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．
19．（15分）（2008•江苏）（1）设a ，a ，…，a 是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此
1 2 n
数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当n=4时，求 的数值；（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b ，b ，…，b ，其中任意三
1 2 n
项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
20．（15分）（2008•江苏）已知函数 ， （x R，p ，p 为常数）．函
1 2
∈
数f（x）定义为：对每个给定的实数x，
（1）求f（x）=f （x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p ，p 表示）；
1 1 2
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p ，p （a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b 上
1 2
的单调增区间的长度之和为 （闭区间[m，n∈的长度定义为n﹣m） ]
]
21．（2008•江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点
D．求证：ED2=EB•EC．
22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵 对应的变换作用下得到曲线F，求F的
方程．
23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆 上的一个动点，求S=x+y的最大值．
24．（2008•江苏）设a，b，c为正实数，求证： ．
25．（2008•江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A B C D 的对角线BD 上一点，记 ．当∠APC
1 1 1 1 1
为钝角时，求λ的取值范围．
26．（2008•江苏）请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x﹣1（x R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）
•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
∈
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=C 0+C 1x+C 2x2+…+C nxn（x R，正整数n≥2），证明：
n n n n
∈
．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i） ；（ii） ；
（iii） ．2008 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）
考 三角函数的周期性及其求法．
4664233
点：
专 计算题．
题：
分
根据三角函数的周期公式，即T= 可直接得到答案．
析：
解
解：.
答：
故答案为：10
点
本小题考查三角函数的周期公式，即T= ．
评：
2．（5分）
考 古典概型及其概率计算公式．
4664233
点：
专 计算题．
题：
分 分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．
析：
解 解析：基本事件共6×6个，
答： 点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，
故 ．
故填： ．
点 本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能
评：
性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
3．（5分）
考 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
4664233
点：
专 计算题．
题：
分 利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．
析：
解
答： 解：．∵ ，
∴a=0，b=1，
因此a+b=1
故答案为1
点 本小题考查复数的除法运算．
评：
4．（5分）
考 交集及其运算．
4664233
点：
分 先化简集合A，即解一元二次不等式（x﹣1）2＜3x+7，再与Z求交集．
析：
解 解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6个
答： 元素．
故答案是 6点 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．
评：
5．（5分）
考 向量的模．
4664233
点：
专 计算题．
题：
分
根据向量的数量积运算公式得 ，化简后把已知条件代入求值．
析：
解
解：由题意得，
答：
= ，
∴ =7．
故答案为：7．
点
本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“ ”进行求解．
评：
6．（5分）
考 古典概型及其概率计算公式．
4664233
点：
专 计算题．
题：
分 本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），满足条件的
析： 事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．
解 解析：本小题是一个几何概型，
答： ∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积是42=16，
满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×12
根据几何概型概率公式得到
∴
故答案为： ．
点 本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的
评： 面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．
7．（5分）
考 频率分布表；工序流程图（即统筹图）．
4664233
点：
专 图表型．
题：
分 观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G F +G F +G F +G F +G F 的值，再结合直方图中数
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
析： 据即可求解．
解 解：由流程图知：
答： S=G F +G F +G F +G F +G F
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08
=6.42，
故填：6.42．点 本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，
评： 必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．
8．（5分）
考 利用导数研究曲线上某点切线方程．
4664233
点：
专 计算题．
题：
分 欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义
析： 即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．
解
解：y′=（lnx）′= ，令 = 得x=2，
答：
∴切点为（2，ln2），代入直线方程y= x+b，
∴ln2= ×2+b，∴b=ln2﹣1．
故答案为：ln2﹣1
点 本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求
评： 解能力．属于基础题．
9．（5分）
考 直线的一般式方程；归纳推理．
4664233
点：
专 转化思想．
题：
分
本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程为 ，分析A（0，
析：
a），B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF的方程为：
．
解
解：由截距式可得直线AB： ，
答：
直线CP： ，
两式相减得 ，
显然直线AB与CP的交点F满足此方程，
又原点O也满足此方程，
故为所求直线OF的方程．
故答案为： ．
点 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一
评： 类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
10．（5分）
考 归纳推理；等比数列的前n项和．
4664233
点：
专 压轴题；规律型．
题：
分 观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为
析： 前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个
数，然后递推出最后一个数据．
解 解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
答： 前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，
即 个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第 +3个，即为 ．
点 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个
评： 明确表达的一般性命题（猜想）．
11．（5分）
考 基本不等式．
4664233
点：
分
析： 由x﹣2y+3z=0可推出 ，代入 中，消去y，再利用均值不等式求解即可．
解 解：∵x﹣2y+3z=0，
答：
∴ ，
∴ = ，当且仅当x=3z时取“=”．
故答案为3．
点 本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．
评：
12．（5分）
考 椭圆的简单性质．
4664233
点：
专 计算题；压轴题．
题：
分 抓住△OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解．
析：
解 解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，
答：
故 ，
解得 ，
故答案为 ．
点 本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．
评：
13．（5分）
考点：三角形中的几何计算．
4664233
专题：计算题；压轴题．
分析：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形
的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．
解答：解：设BC=x，则AC= x，
根据面积公式得S = AB•BCsinB
△ABC
= ×2x ，
根据余弦定理得cosB== = ，
代入上式得
S =x = ，
△ABC
由三角形三边关系有 ，
解得2 ﹣2＜x＜2 +2．
故当x=2 时，S 取得最大值2 ．
△ABC
点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和
定义域等问题．
14．（5分）
考 利用导数求闭区间上函数的最值．
4664233
点：
专 计算题；压轴题．
题：
分 这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x
析：
＜0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥ ，可构造函数g（x）
= ，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x） ，同理可得x＜0时的a的范围，从而可
max
得a的值．
解 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；
答：
当x＞0即x （0，1 时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥
∈ ]
设g（x）= ，则g′（x）= ，
所以g（x）在区间（0， 上单调递增，在区间[ ，1 上单调递减，
因此g（x） =g（ ）=4，] 从而a≥4； ]
max
当x＜0即x [﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤ ，
∈
g（x）= 在区间[﹣1，0）上单调递增，
因此g（x） =g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．
min
答案为：4
点 本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调
评： 性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该
问题的解答．
二、解答题（共12小题，满分90分）
15．（15分）
考 两角和与差的正切函数．
4664233
点：
分
（1）先由已知条件得 ；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；
析：
最后利用tan（α+β）= 解之．
（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β 求之，再根据α+2β的范围确定角的值．
解
答：
解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知
]
，因为α为锐角，则sinα＞0，从而
同理可得 ，
因此 ．
所以tan（α+β）= ；
（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β = ，
]
又 ，故 ，
所以由tan（α+2β）=﹣1得 ．
点 本题主要考查正切的和角公式与转化思想．
评：
16．（15分）
考 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
4664233
点：
专 证明题．
题：
分 （1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知
析： EF∥AD，EF 面ACD，AD 面ACD，满足定理条件；
（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理
可知BD⊥面⊄EFC，而BD 面⊂BCD，满足定理所需条件．
解 证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．
答： ∴EF是△ABD的中位线，⊂∴EF∥AD，
∵EF 面ACD，AD 面ACD，∴直线EF∥面ACD；
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB⊄=CD，F是BD⊂的中点，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，
∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD
点 本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理
评： 的掌握⊂能力．
17．（15分）
考点： 在实际问题中建立三角函数模型．
4664233
分析： （1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函
数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定
理推出OA，易得y的函数关系式．
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数
关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．
解答： 解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
则 ，故 ，又OP=10﹣10tanθ，
所以 ，
所求函数关系式为
②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB=
所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，
令y′=0得sin ，因为 ，所以θ= ，
当 时，y′＜0，y是θ的减函数；当 时，y′＞0，y是θ的增函数，所以
当θ= 时， ．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边 km
处．
点评： 本小题主要考查函数最值的应用．
①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握
求最值的方法和技巧．
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，
利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，
如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．
18．（15分）
考 二次函数的图象；圆的标准方程．
4664233
点：
专 计算题．
题：
分 （1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两
析： 个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；
（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；
令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
（3）设圆的方程过定点（x ，y ），将其代入圆的方程得x 2+y 2+2x ﹣y +b（1﹣y ）=0，因为x ，y 不
0 0 0 0 0 0 0 0 0
依赖于b得取值，所以得到1﹣y =0即y =1，代入x 2+y 2+2x ﹣y =0中即可求出定点的坐标．
0 0 0 0 0 0
解 解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
答： 令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．
所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．
（3）圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x ，y ）（x ，y 不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
0 0 0 0
并变形为x 2+y 2+2x ﹣y +b（1﹣y ）=0（*）
0 0 0 0 0
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y =0，结合（*）式得x 2+y 2+2x ﹣y =0，解
0 0 0 0 0
得
经检验知，（﹣2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．
点 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．
评：
19．（15分）
考 等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．
4664233
点：
专 探究型；分类讨论；反证法．
题：
分 （1）根据题意，对n=4，n=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，
析： 进而推广到n≥4的所有情况．
（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．
解 解：（1）①当n=4时，a ，a ，a ，a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则
1 2 3 4
答： 推出d=0．
若删去a ，则a 2=a •a ，即（a +2d）2=a •（a +3d）化简得a +4d=0，得
2 3 1 4 1 1 1 1若删去a ，则a 2=a •a ，即（a +d）2=a •（a +3d）化简得a ﹣d=0，得
3 2 1 4 1 1 1 1
综上，得 或 ．
②当n=5时，a ，a ，a ，a ，a 中同样不可能删去a ，a ，a ，a ，否则出现连续三项．
1 2 3 4 5 1 2 4 5
若删去a ，则a •a =a •a ，即a （a +4d）=（a +d）•（a +3d）化简得3d2=0，因为d≠0，所以a 不能删去；
3 1 5 2 4 1 1 1 1 3
当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a ，a ，a ，…，a ，a ，a 中，由于不能删去首项
1 2 3 n﹣2 n﹣1 n
或末项，
若删去a ，则必有a •a =a •a ，这与d≠0矛盾；
2 1 n 3 n﹣2
同样若删去a 也有a •a =a •a ，这与d≠0矛盾；
n﹣1 1 n 3 n﹣2
若删去a ，，a 中任意一个，则必有a •a =a •a ，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一
3 n﹣2 1 n 2 n﹣1
项，剩余的项中必有连续的三项）
综上所述，n=4．
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b ，b ，b ，其中b ，b ，b （0≤x＜y
1 2 n x+1 y+1 z+1
＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则b2 =b •b ，即（b +yd）2=（b +xd）•（b +zd），化简得（y2﹣
y+1 x+1 z+1 1 1 1
xz）d2=（x+z﹣2y）b d（*）
1
由b d≠0知，y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0
1
当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾．
故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得
因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而 为有理数．
于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．
例如n项数列1， ， ，， 满足要求．
点 本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．
评：
20．（15分）
考 指数函数综合题．
4664233
点：
专 计算题；压轴题；分类讨论．
题：
分 （1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f （x）对所有实数成立，等价于f （x）≤f
1 1 2
析：
（x）对所有实数x成立等价于 ，即 对所有实数
x均成立，分析容易得证；再证必要性： 对所有实数x均成立等价于
，即|p ﹣p |≤log 2，
1 2 3
（2）分两种情形讨论：①当|p ﹣p |≤log 2时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b 上
1 2 3
的单调增区间的长度；②当|p ﹣p |＞log 2时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p ，p （a，b）．若f
1 2 3 1 2
（a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b 上的单调增区间的长度． ]
解 解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f （x）（对所有实数x）等价于f （x）≤f （ ∈ x）（对所有实数
1 1 2
答： ]
x）这又等价于 ，即 对所有实数x均成立．
（*）
由于|x﹣p |﹣|x﹣p |≤|（x﹣p ）﹣（x﹣p ）|=|p ﹣p |（x R）的最大值为|p ﹣p |，
1 2 1 2 1 2 1 2
故（*）等价于 ，即|p ﹣p |≤log 2，这就是所求的充分必要条件
1 2 3
∈
（2）分两种情形讨论
（i）当|p ﹣p |≤log 2时，由（1）知f（x）=f （x）（对所有实数x [a，b ）
1 2 3 1
则由f（a）=f（b）及a＜p ＜b易知 ，
1 ∈ ]
再由 的单调性可知，
函数f（x）在区间[a，b 上的单调增区间的长度
]为 （参见示意图）
（ii）|p ﹣p |＞log 2时，不妨设p ＜p ，，则p ﹣p ＞log 2，于是
1 2 3 1 2 2 1 3
当x≤p 时，有 ，从而f（x）=f （x）；
1 1
当x≥p 时，有
2
从而f（x）=f （x）；当p ＜x＜p 时， ，及 ，由方程
2 1 2
解得f （x）与f （x）图象交点的横坐标为 （1）
1 2
显然 ，
这表明x 在p 与p 之间．由（1）易知
0 1 2
综上可知，在区间[a，b 上， （参见示意图）
]
故由函数f （x）及f （x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b 上的单调增区间的长度之和为（x ﹣p ）+
1 2 0 1
（b﹣p ），由于f（a）=f（b），即 ，得p +p =a+b+log 2（2）
2 1 2 3
]
故由（1）、（2）得
综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b 上的单调增区间的长度和为 ．
点 考查学生理解充分必要条件的证明方法，]用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证
评： 明方法．
21．（2008•江苏）
考 与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．
4664233
点：
分 根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等
析： 腰三角形，再根据切割线定理即可证得．
解 证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，
答： 所以∠CAE=∠CBA．
又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD
所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．
又EA2=EC•EB，
所以ED2=EB•EC．点 此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB和EC的乘积．
评：
22．（2008•江苏）
考 圆的标准方程；矩阵变换的性质．
4664233
点：
专 计算题．
题：
分 由题意先设椭圆上任意一点P（x ，y ），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x ′，y ′），得到两点的关
0 0 0 0
析： 系式，再由点P在椭圆上代入化简．
解 解：设P（x ，y ）是椭圆上任意一点，
0 0
答： 则点P（x ，y ）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x ′，y ′）
0 0 0 0
则有 ，即 ，所以
又因为点P在椭圆上，故4x 2+y 2=1，从而（x ′）2+（y ′）2=1
0 0 0 0
所以，曲线F的方程是x2+y2=1
点 本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．
评：
23．（2008•江苏）
考 椭圆的参数方程．
4664233
点：
专 计算题；转化思想．
题：
分 先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即
析： 可求出所求．
解
答： 解：因椭圆 的参数方程为 （ϕ为参数）
故可设动点P的坐标为 ，其中0≤ϕ＜2π．
因此
所以，当 时，S取最大值2．
点 本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
评：
24．（2008•江苏）
考 平均值不等式；不等式的证明．
4664233
点：
专 证明题．
题：
分
析： 先根据平均值不等式证明 ，再证 ．
解
答： 证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得 ，
即 ，
所以， ，而 ，
所以，
点
评：
本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数 大于或等于它们的几何平均数
．
25．（2008•江苏）
考 用空间向量求直线间的夹角、距离．
4664233
点：
专 计算题；压轴题．
题：
分
析： 由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于 ，即
，再将 用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可
解
解：由题设可知，以 、 、 为单位正交基底，
答：
建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由 ，得 ，所以
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于 ，则等价于
即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得
因此，λ的取值范围是
点 本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．
评：
26．（2008•江苏）请先阅读：
考 微积分基本定理；二项式定理；类比推理．
4664233
点：
专 证明题；综合题；压轴题．
题：
分 （1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．
析： （2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．
（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证．
（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．解 证明：（1）在等式（1+x）n=C 0+C 1x+C 2x2++C nxn两边对x求导得n（1+x）n﹣1=C 1+2C 2x++（n﹣1）C n
n n n n n n n
答： ﹣1xn﹣2+nC nxn﹣1
n
移项得 （*）
（2）（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得
所以
（ii）由（1）知n（1+x）n﹣1=C 1+2C 2x+…+（n﹣1）C n﹣1xn﹣2+nC nxn﹣1，n≥3
n n n n
两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2C 2+3•2C 3x+…+n（n﹣1）C nxn﹣2
n n n
在上式中，令x=﹣1，得0=2C 2+3•2C 3（﹣1）+…+n（n﹣1）C 2（﹣1）n﹣2
n n n
即 ，
亦即 （1）
又由（i）知 （2）
由（1）+（2）得
（iii）将等式（1+x）n=C 0+C 1x+C 2x2+…+C nxn两边在[0，1 上对x积分
n n n n
]
由微积分基本定理，得
所以
点 本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．
评：
