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2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n A}，则A∩B=（ ）
A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}
∈
2．（5分） =（ ）
A．﹣1﹣ i B．﹣1+ i C．1+ i D．1﹣ i
3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值
为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知双曲线 C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则C的
渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
5．（5分）已知命题p： x R，2x＜3x；命题q： x R，x3=1﹣x2，则下列命题
中为真命题的是（ ）
∀ ∈ ∃ ∈
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
6．（5分）设首项为1，公比为 的等比数列{a }的前n项和为S ，则（ ）
n n
A．S =2a ﹣1 B．S =3a ﹣2 C．S =4﹣3a D．S =3﹣2a
n n n n n n n n
7．（5分）执行程序框图，如果输入的t [﹣1，3]，则输出的s属于（ ）
∈A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]
8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4 x的焦点，P为C上一点，若|
PF|=4 ，则△POF的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（5 分）已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
12．（5分）已知函数f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则a的取值
范围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．（5分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60°， =t +（1﹣t） ．若 •
=0，则t= ．
14．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为
．
15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H
为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ．
16．（5 分）设当 x=θ 时，函数 f（x）=sinx﹣2cosx 取得最大值，则 cosθ=
．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{a }的前n项和S 满足S =0，S =﹣5．
n n 3 5
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）求数列{ }的前n项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A药，B药）的疗效，
随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段
时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，CA=CB，AB=AA ，∠BAA =60°
1 1 1 1 1
（Ⅰ）证明：AB⊥A C；
1
（Ⅱ）若AB=CB=2，A C= ，求三棱柱ABC﹣A B C 的体积．
1 1 1 120．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f
（0））处切线方程为y=4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M
外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P
的半径最长时，求|AB|．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如
果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B铅笔在答题卡上将所
选题号后的方框涂黑。
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆
于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C 的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x
1
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．
2
（1）把C 的参数方程化为极坐标方程；
1
（2）求C 与C 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
1 2
24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x [﹣ ， ]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
∈
