文档内容
2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中
元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．（5分）不等式组 的解集为（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成
角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）函数y=ln（ +1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y=（1﹣ex）3（x R） D．y=（ex﹣1）3（x R）
6．（5分）已知 ， 为单位向量，其夹角为60°，则（2 ﹣ ）• =（ ）
∈ ∈
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成
一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等比数列{a }的前n项和为S ．若S =3，S =15，则S =（ ）
n n 2 4 6
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F 、F ，离心率
1 2为 ，过F 的直线l交C于A、B两点，若△AF B的周长为4 ，则C的方
2 1
程为（ ）
A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为
2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
11．（5分）双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近
线的距离为 ，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，
则f（8）+f（9）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是 ．
15．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+4y的最大值为 ．
16．（5分）直线l 和l 是圆x2+y2=2的两条切线，若l 与l 的交点为（1，3），
1 2 1 2
则l 与l 的夹角的正切值等于 ．
1 2
三、解答题
17．（10分）数列{a }满足a =1，a =2，a =2a ﹣a +2．
n 1 2 n+2 n+1 n
（Ⅰ）设b =a ﹣a ，证明{b }是等差数列；
n n+1 n n
（Ⅱ）求{a }的通项公式．
n18．（12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
3acosC=2ccosA，tanA= ，求B．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，点A 在平面ABC内的射影D在AC
1 1 1 1
上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2．
1
（Ⅰ）证明：AC ⊥A B；
1 1
（Ⅱ）设直线AA 与平面BCC B 的距离为 ，求二面角A ﹣AB﹣C的大小．
1 1 1 1
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为
0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日
需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交
点为P，与C的交点为Q，且|QF|= |PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过 F的直线 l与C相交于 A、B两点，若 AB的垂直平分线 l′与C相交于
M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中
元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．
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【专题】5J：集合．
【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．
【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，
∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r= =5．
∴cosα= = =﹣ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，
属于基础题．3．（5分）不等式组 的解集为（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＞1}
【考点】7E：其他不等式的解法．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式
的解集，再取交集，即得所求．
【解答】解：由不等式组 可得 ，解得0＜x＜1，
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成
角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
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【专题】5G：空间角．
【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE
与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定
理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．
【解答】解：如图，
取AD中点F，连接EF，CF，
∵E为AB的中点，
∴EF∥DB，
则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，
∴CE=CF．
设正四面体的棱长为2a，
则EF=a，
CE=CF= ．
在△CEF中，由余弦定理得：
= ．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应
用，是中档题．
5．（5分）函数y=ln（ +1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y=（1﹣ex）3（x R） D．y=（ex﹣1）3（x R）
∈ ∈
【考点】4R：反函数．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．
【解答】解：∵y=ln（ +1），
∴ +1=ey，即 =ey﹣1，
∴x=（ey﹣1）3，∴所求反函数为y=（ex﹣1）3，
故选：D．
【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．
6．（5分）已知 ， 为单位向量，其夹角为60°，则（2 ﹣ ）• =（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得 、 的值，可得（2
﹣ ）• 的值．
【解答】解：由题意可得， =1×1×cos60°= ， =1，
∴（2 ﹣ ）• =2 ﹣ =0，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成
一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
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【专题】5O：排列组合．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生
中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计
算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C 2=15种选法，
6
再从5名女医生中选出1人，有C 1=5种选法，
5
则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
8．（5分）设等比数列{a }的前n项和为S ．若S =3，S =15，则S =（ ）
n n 2 4 6
A．31 B．32 C．63 D．64
【考点】89：等比数列的前n项和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由等比数列的性质可得S ，S ﹣S ，S ﹣S 成等比数列，代入数据计算
2 4 2 6 4
可得．
【解答】解：S =a +a ，S ﹣S =a +a =（a +a ）q2，S ﹣S =a +a =（a +a ）q4，
2 1 2 4 2 3 4 1 2 6 4 5 6 1 2
所以S ，S ﹣S ，S ﹣S 成等比数列，
2 4 2 6 4
即3，12，S ﹣15成等比数列，
6
可得122=3（S ﹣15），
6
解得S =63
6
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的性质，得出S ，S ﹣S ，S ﹣S 成等比数列是解决
2 4 2 6 4
问题的关键，属基础题．
9．（5分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F 、F ，离心率
1 2
为 ，过F 的直线l交C于A、B两点，若△AF B的周长为4 ，则C的方
2 1
程为（ ）
A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF B的周长为4 ，求出a= ，根据离心率为 ，可得c=1，
1
求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF B的周长为4 ，
1
∵△AF B的周长=|AF |+|AF |+|BF |+|BF |=2a+2a=4a，
1 1 2 1 2
∴4a=4 ，
∴a= ，
∵离心率为 ，
∴ ，c=1，
∴b= = ，
∴椭圆C的方程为 + =1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算
能力，属于基础题．
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为
2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．
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【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO 上，记为 O，求出
1
PO ，OO ，解出球的半径，求出球的表面积．
1 1
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（ ）2，∴R= ，
∴球的表面积为4π•（ ）2= ．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础
题．
11．（5分）双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近
线的距离为 ，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得
到结论．
【解答】解：∵： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e= ，双曲线的渐近线方程为y= ，不妨取y= ，即bx﹣ay=0，
则c=2a，b= ，
∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为 ，∴d= ，
即 ，
解得c=2，
则焦距为2c=4，
故选：C．
【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到
直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，
则f（8）+f（9）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，
∴设g（x）=f（x+2），
则g（﹣x）=g（x），
即f（﹣x+2）=f（x+2），
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），
即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），
则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，
∴f（8）+f（9）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对
称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是 ﹣ 16 0 ．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数
为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T =﹣160x3，即可得答案．
4
【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T =C rx6﹣r（﹣2）r=（﹣
r+1 6
1）r•2r•C rx6﹣r，
6
令6﹣r=3可得r=3，
此时T =（﹣1）3•23•C 3x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；
4 6
故答案为﹣160．
【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是 ．
【考点】HW：三角函数的最值．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用二倍角公式对函数化简可得 y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=
，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值
【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=
又∵﹣1≤sinx≤1
当sinx= 时，函数有最大值
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．
15．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+4y的最大值为 5 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】31：数形结合．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到
最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得 ．
由图可知，当直线 过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时z =1+4×1=5．
max
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档
题．
16．（5分）直线l 和l 是圆x2+y2=2的两条切线，若l 与l 的交点为（1，3），
1 2 1 2则l 与l 的夹角的正切值等于 ．
1 2
【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】设l 与l 的夹角为2θ，由于l 与l 的交点A（1，3）在圆的外部，由直
1 2 1 2
角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据
tan2θ= ，计算求得结果．
【解答】解：设l 与l 的夹角为2θ，由于l 与l 的交点A（1，3）在圆的外部，
1 2 1 2
且点A与圆心O之间的距离为OA= = ，
圆的半径为r= ，
∴sinθ= = ，
∴cosθ= ，tanθ= = ，
∴tan2θ= = = ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角
三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
三、解答题
17．（10分）数列{a }满足a =1，a =2，a =2a ﹣a +2．
n 1 2 n+2 n+1 n
（Ⅰ）设b =a ﹣a ，证明{b }是等差数列；
n n+1 n n
（Ⅱ）求{a }的通项公式．
n
【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．
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【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将 a =2a ﹣a +2 变形为：a ﹣a =a ﹣a +2，再由条件得
n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n
b =b +2，根据条件求出b ，由等差数列的定义证明{b }是等差数列；
n+1 n 1 n
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出 b ，代入b =a ﹣a 并令n从1开
n n n+1 n
始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式
求出{a }的通项公式a ．
n n
【解答】解：（Ⅰ）由a =2a ﹣a +2得，
n+2 n+1 n
a ﹣a =a ﹣a +2，
n+2 n+1 n+1 n
由b =a ﹣a 得，b =b +2，
n n+1 n n+1 n
即b ﹣b =2，
n+1 n
又b =a ﹣a =1，
1 2 1
所以{b }是首项为1，公差为2的等差数列．
n
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b =1+2（n﹣1）=2n﹣1，
n
由b =a ﹣a 得，a ﹣a =2n﹣1，
n n+1 n n+1 n
则a ﹣a =1，a ﹣a =3，a ﹣a =5，…，a ﹣a =2（n﹣1）﹣1，
2 1 3 2 4 3 n n﹣1
所以，a ﹣a =1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1
n 1
= =（n﹣1）2，
又a =1，
1
所以{a }的通项公式a =（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．
n n
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求
数列的通项公式和转化思想，属于中档题．
18．（12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
3acosC=2ccosA，tanA= ，求B．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．
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【专题】58：解三角形．
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同
角的三角函数基本关系式可得 tanC，利用 tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA= ，
∴2tanC=3× =1，解得tanC= ．
∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣ =﹣ =﹣1，
∵B （0，π），
∴B∈=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切
公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，
属于中档题．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，点A 在平面ABC内的射影D在AC
1 1 1 1
上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2．
1
（Ⅰ）证明：AC ⊥A B；
1 1
（Ⅱ）设直线AA 与平面BCC B 的距离为 ，求二面角A ﹣AB﹣C的大小．
1 1 1 1
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A FD为二面角A ﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角
1 1
函数可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A D⊥平面ABC，A D 平面AA C C，
1 1 1 1
∴平面AA C C⊥平面ABC，又BC⊥AC
1 1 ⊂
∴BC⊥平面AA C C，连结A C，
1 1 1
由侧面AA C C为菱形可得AC ⊥A C，
1 1 1 1
又AC ⊥BC，A C∩BC=C，
1 1
∴AC ⊥平面A BC，AB 平面A BC，
1 1 1 1
∴AC ⊥A B；
1 1 ⊂
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA C C，BC 平面BCC B ，
1 1 1 1
∴平面AA C C⊥平面BCC B ，
1 1 1 1 ⊂
作A E⊥CC ，E为垂足，可得A E⊥平面BCC B ，
1 1 1 1 1
又直线AA ∥平面BCC B ，
1 1 1
∴A E为直线AA 与平面BCC B 的距离，即A E= ，
1 1 1 1 1
∵A C为∠ACC 的平分线，∴A D=A E= ，
1 1 1 1
作DF⊥AB，F为垂足，连结A F，
1
又可得AB⊥A D，A F∩A D=A ，
1 1 1 1
∴AB⊥平面A DF，∵A F 平面A DF
1 1 1
∴A F⊥AB，
1 ⊂
∴∠A FD为二面角A ﹣AB﹣C的平面角，
1 1
由AD= =1可知D为AC中点，
∴DF= = ，
∴tan∠A FD= = ，
1
∴二面角A ﹣AB﹣C的大小为arctan
1【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关
键，属中档题．
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为
0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日
需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概
率相加，即得所求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设
备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+ （ 1﹣0.6 ） ×0.5×0.5×0.4+0.6× （ 1﹣0.5 ）
×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于 2”的概率
为0.31＞0.1，不满足条件．
若 k=3 ， 则 “ 同 一 工 作 日 需 使 用 设 备 的 人 数 大 于 3” 的 概 率 为
0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．
故k的最小值为3．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
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【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的
范围讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）
在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值
范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，
∴f′（x）=3ax2+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），
①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；
②因为 a≠0，∴a≤1 且 a≠0 时，△＞0，f′（x）=0 方程有两个根，x =
1
，x = ，
2
当0＜a＜1时，则当x （﹣∞，x ）或（x ，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在
2 1
（﹣∞，x
2
）或（x
1
，
∈
+∞）是增函数；在（x
2
，x
1
）是减函数；
当a＜0时，则当x （﹣∞，x ）或（x ，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，
1 2
x 1 ）或（x 2 ，+∞） ∈ 是减函数；在（x 1 ，x 2 ）是增函数；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，
2）是增函数，
当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣ ，a的取值范围[ ）∪（0，+∞）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解
函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．
22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交
点为P，与C的交点为Q，且|QF|= |PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过 F的直线 l与C相交于 A、B两点，若 AB的垂直平分线 l′与C相交于
M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x ，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，
0
求得x = ，根据|QF|= |PQ|求得 p的值，可得C的方程．
0
（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、
中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，
利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN
四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x ，4），把点Q的坐标代入抛物线C：
0
y2=2px（p＞0），
可得x = ，∵点P（0，4），∴|PQ|= ．
0
又|QF|=x + = + ，|QF|= |PQ|，
0
∴ + = × ，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C的方程为 y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y +y =4m，
1 2
y •y =﹣4．
1 2
∴AB 的中点坐标为 D（2m2+1，2m），弦长|AB|= |y ﹣y |=
1 2
=4（m2+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣ y+2m2+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两
点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴y +y = ，y •y =
3 4 3 4
﹣4（2m2+3）．
故线段 MN 的中点 E的坐标为（ +2m2+3， ），∴|MN|= |y ﹣y |=
3 4
，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，
∴ +DE2= MN2，
∴4（m2+1）2 + + = × ，化简可得 m2
﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应
用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
