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2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5 分）已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则 A∩B=
（ ）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
2．（5分） =（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）
是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点 F到C
的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C． m D．3m
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、
周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的
始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点
M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致
为（ ）A． B．
C． D．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k分别为1，2，3，则输出
的M=（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）设α （0， ），β （0， ），且tanα= ，则（ ）
∈ ∈
A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
9．（5分）不等式组 的解集记为D，有下列四个命题：
p ： （x，y） D，x+2y≥﹣2 p ： （x，y） D，x+2y≥2
1 2
p ： （x，y） D，x+2y≤3p ： （x，y） D，x+2y≤﹣1
3 ∀ ∈ 4 ∃ ∈
∀ ∈ ∃ ∈其中真命题是（ ）
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p
2 3 1 4 1 2 1 3
10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直
线PF与C的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（ ）
A． B．3 C． D．2
11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x ，且x ＞
0 0
0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣
2）
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的
三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．6 B．6 C．4 D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填
写答案）
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若 = （ + ），则 与 的夹角为 ．
16．（5分）已知 a，b，c分别为△ABC的三个内角 A，B，C的对边，a=2且
（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题
17．（12分）已知数列{a }的前n项和为S ，a =1，a ≠0，a a =λS ﹣1，其中
n n 1 n n n+1 n
λ为常数．
（Ⅰ）证明：a ﹣a =λ
n+2 n
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a }为等差数列？并说明理由．
n
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质
量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据
用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（μ，
σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指
标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： ≈12.2．
若 Z～N（μ，σ2）则 P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）
=0.9544．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，侧面BB C C为菱形，AB⊥B C．
1 1 1 1 1 1
（Ⅰ）证明：AC=AB ；
1
（Ⅱ）若AC⊥AB ，∠CBB =60°，AB=BC，求二面角A﹣A B ﹣C 的余弦值．
1 1 1 1 1
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为
，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点 A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求 l
的方程．21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处
得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的
延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等
边三角形．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最
大值与最小值．选修4-5：不等式选讲
24．若a＞0，b＞0，且 + = ．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
