文档内容
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分
钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条
形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试
卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么 .
·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高
·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 ， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
2.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 最大值为
的A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
的
3.设 ，则“ ”是“ ”
A. 充分而不必要条件
.
B 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为
A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
5.已知 ， ， ，则 的大小关系为
A. B.
C. D.
6.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若与双曲线 的两条渐近线分别交于
点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.
7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若
，则
A. -2 B. C. D. 2
8.已知函数 若关于 方程 恰有两个互异的实数解，
的
则 的取值范围为
A. B. C. D.
绝密★启用前
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 是虚数单位，则 的值为__________.
10. 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.
11. 曲线 在点 处的切线方程为__________.
12.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
13. 设 ， ， ，则 的最小值为__________.
14. 在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，则 __________.
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利
息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分
层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
的
（Ⅱ）抽取 25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如
右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
A B C D E F
项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
16. 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面
， ， ， ，
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
19. 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原
点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
20. 设函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 ， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】
先求 ，再求 。
【详解】因为 ，
所以 .故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即
借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距，
故目标函数在点 处取得最大值。
由 ，得 ，
所以 。
故选C。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，
最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
3.设 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】 等价于 ，故 推不出 ；
由 能推出 。
故“ ”是“ ”的必要不充分条件。
故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由⇒p，q成⇒立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个
方法特别适合以否定形式给出的问题．
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】 ，
。
结束循环，故输出
故选B。
【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执
行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；
③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
5.已知 ， ， ，则 的大小关系为
A. B.
C. D.【答案】A
【解析】
【分析】
利用利用 等中间值区分各个数值的大小。
【详解】 ；
；
。
故 。
故选A。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。
6.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若与双曲线 的两条渐近线分别交于
点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】 的方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
故得 ，所以 ， ， ，
所以 。
故选D。
【点睛】双曲线 的离心率 .
7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若
，则
A. -2 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 值即可。
【详解】 为奇函数，可知 ，
由 可得 ；
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 ，
由 的最小正周期为 可得 ，由 ，可得 ，
所以 ， 。
故选C。
8.已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，
则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出 图象及直线 ，借助图象分析。
【详解】如图，当直线 位于 点及其上方且位于 点及其下方，
或者直线 与曲线 相切在第一象限时符合要求。
即 ，即 ，
或者 ，得 ， ，即 ，得 ，
所以 的取值范围是 。
故选D。【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此
法。
绝密★启用前
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 是虚数单位，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一： 。
解法二： 。
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形
式，再根据题意求解．
10. 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.【答案】
【解析】
【分析】
通过因式分解，解不等式。
【详解】 ，
即 ，
即 ，
故 的取值范围是 。
【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元
二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化
正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
11. 曲线 在点 处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。
【详解】 ，
当 时其值为 ，故所求的切线方程为 ，即 。
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x，f(x))为切点的切线方程的求解步骤：
0 0
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x)；
0
③写出切线方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)，并化简．
0 0 0
(2)如果已知点(x，y)不在曲线上，则设出切点(x，y)，解方程组 得切点(x，y)，进而
1 1 0 0 0 0
确定切线方程．
12.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧
棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】四棱锥的高为 ，
故圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为 ，
故其体积为 。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
13. 设 ， ， ，则 的最小值为__________.【答案】 .
【解析】
【分析】
把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。
【详解】 ，
等号当且仅当 ，即 时成立。
故所求的最小值为 。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14. 在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，则 __________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】详解：解法一：如图，过点 作 的平行线交 于 ，
因为 ，故四边形 为菱形。
因为 ， ，所以 ，即 .
因为 ，
所以 .解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。
因为 ∥ ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
直线 的斜率为 ，其方程为 。
由 得 ， ，
所以 。
所以 。【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为
方便。
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利
息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分
层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如
右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
A B C D E F
项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
【答案】（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解析；（ii） .
【解析】
【分析】
（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等
的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
, , ,
,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , ,
, ,共11种，
所以，时间M发生的概率 .
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公
式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
16. 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .（Ⅰ）求 的值；
的
（Ⅱ）求 值.
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)在 中，由正弦定理 得 ，
又由 ，得 ，即 .
又因为 ，得到 ， .
由余弦定理可得 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ，
从而 ， .
故 .
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面
， ， ， ，
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III） .
【解析】
【分析】
（I）连接 ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 ，利用线面平行的判
定定理证得结果；
（II）取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质
得到 ，利用线面垂直的判定定理证得结果；
（III）利用线面角的平面角的定义得到 为直线 与平面 所成的角，放在直角三角形中求得
结果.【详解】（I）证明：连接 ，易知 ， ，
又由 ，故 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（II）证明：取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 ，
又已知 ， ，
所以 平面 .
（III）解：连接 ，由（II）中 平面 ，
可知 为直线 与平面 所成的角.
因为 为等边三角形， 且 为 的中点，
所以 ，又 ，
在 中， ，所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基
础知识，考查空间想象能力和推理能力.
18. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
【答案】（I） ， ；
（II）
【解析】
【分析】
（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 ，进而求得等差
数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的 所满足的条件，将 表示出来，之后应用分组求和法，结合
等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】（I）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
依题意，得 ，解得 ，
故 ， ，所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；
（II）
，
记 ①
则 ②
② ①得， ，
所以
.
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基
本方法和运算求解能力，属于中档题目.
19. 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原
点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心
在直线 上，且 ，求椭圆的方程.【答案】（I）首先设椭圆的半焦距为 ，根据题意得到 ，结合椭圆中 的关系，得到
，化简得出 ，从而求得其离心率；
（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程 ，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐
标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得 ，从而得到椭圆的方程.
【解析】
【分析】
（I） ；
（II） .
【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，
又由 ，消去 得 ，解得 ，
所以，椭圆的离心率为 .
（II）解：由（I）知， ，故椭圆方程为 ，
由题意， ，则直线 的方程为 ，
点 的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，
代入到 的方程，解得 ，
因为点 在 轴的上方，所以 ，
由圆心在直线 上，可设 ，因为 ，
且由（I）知 ，故 ，解得 ，
因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，
又由圆 与 相切，得 ，解得 ，
所以椭圆的方程为： .
【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆
锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
20. 设函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点
的
（ii）设 为 极值点， 为 的零点，且 ，证明 .【答案】（I） 在 内单调递增.；
（II）（i）见解析；（ii）见解析.
【解析】
【分析】
（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；
（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；
（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.
的
【详解】（I）解：由已知， 定义域为 ，
且 ，
因此当 时， ，从而 ，
所以 在 内单调递增.
（II）证明：（i）由（I）知， ，
令 ，由 ，可知 在 内单调递减，
又 ，且 ，
故 在 内有唯一解，
从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，
则 ，当 时， ，
所以 在 内单调递增；当 时， ，
所以 在 内单调递减，
因此 是 的唯一极值点.
令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，
从而当 时， ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，所以 在 内有唯一零点，
又 在 内有唯一零点1，从而， 在 内恰有两个零点.
（ii）由题意， ，即 ，
从而 ，即 ，
以内当 时， ，又 ，故 ，
两边取对数，得 ，
于是 ，整理得 ，
【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函
数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.
