文档内容
绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理
得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入 的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
5. 点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录
视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录
法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
7. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥 后，所得
多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A. B. C. D.8. 在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 3
9. 记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
11. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
12. 设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若向量 满足 ，则 _________.
14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为________.
15. 已知函数 的部分图像如图所示，则 _______________.16. 已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且
，则四边形 的面积为________．
三､解答题：共70分.解答应写出交字说明､证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分
别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.82818. 记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，证明： 是等差数
列.
19. 已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的
中点， .
（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
20. 设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
21. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知
点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方
程，并判断C与 是否有公共点．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数 ．
（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
