文档内容
2023 年上海高考数学真题及答案
考生注意:
1.本试卷共 5 页,21 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写（非选择题）
在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面消楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码
炶在指定位置上,在答题纸反面清超地填写姓名.
一、填空题（本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)考生应在
答题纸的相应位置填写结果.
1.不等式 的解集为 ；
2. 已知 ,求 ；
3.已知 为等比数列,且 ,求 ；
4.已知 ,求 ；
5.已知 ,则 的值域是 ；
6.已知当, 则 ；
7.已知 的面积为π，求 ；
8.在 中, ,求 ；
9.国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标,根据统计数据显示,某市在 2020 年间经济高质量增长,GDP 稳步增长,第一季度和第四季度的 GDP 分别为 231 和 242,且四个季度 GDP 的
中位数与平均数相等,则 2020 年 GDP 总額为 ；
10.已知, 其中
,若 且 ,当 时,k 的最大值是 ；
11.公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为θ斜坡终点距离水平面
的垂直高度为 4 米,游客每走一米消耗的体能为 ,要使游客从斜坡底走到斜坡顶
端所消耗的总体能最少,则θ= ；
12.空间内存在 abc 三点,满足 ,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这两点
与 abc 可以组成正四棱锥,求方案数为 ；
二、选择题（本题共有 4 题,满分 18 分,13、14 每题 4 分,15、26 题每题 5 分）每题有且只有
一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.已知 ,若 且 ,则 .
A.
B.
C.
D.
14.根据身高和体重散点图,下列说法正确的是().
A.身高越高,体重越重
B.身高越高,体重越轻C.身高与体重成正相关
D.身高与体重成负相关
15.设 ,函数 在区间 上的最小值为 ,在 上的最小值为 ,当 a 变化时,
以下不可能的情形是().
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
16.在平面上,若曲线 具有如下性质:存在点 ,使得对于任意点 ,都有 使得
.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假().
(1)所有椭圆都是“自相关曲线".
(2)存在是“自相关曲线”的双曲线.
A.(1)假命题；(2)真命题
B.(1)真命题；(2)假命题
C.(1)真命题；(2)真命题
D.(1)假命题；(2)假命题三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步
骤.
17.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小邀满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
直四棱柱 .
(1)求证: 面
(2)若四棱柱体积为 36,求 二面角的大小
18.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
函数
(1)当 是,是否存在实数 ,使得 为奇函数
(2)函数 的图像过点 ,且 的图像 轴负半轴有两个交点求实数 的取值范围
19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 2 分,第 2 小題满分 6 分,第 3 小题满分
8 分.
21 世纪汽车博览会在上海 2023 年 6 月 7 日在上海举行,下表为某汽车模型公司共有 25 个汽车
模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件 为小明取到的模型为红色外观,事件 B 取到模
型有棕色内饰
求 ,并据此判断事件 和事件 是否独立(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车
模型,给出以下假设:1、拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观内饰都
异色、以及仅外观或仅内饰同色;2、按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;(3)奖金额为一等
奖 600 元,二等奖 300 元,三等奖 150 元,请你分析奖项对应的结果,设 X 为奖金额,写出 X 的分布
列并求出 X 的数学期望
20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分
6 分.
曲线 ,第一象限内点 在 上, 的纵坐标是 .
(1)若 到准线距离为 3,求 ;
(2)若 在 轴上, 中点在 上,求点 坐标和坐标原点 到 距离;
(3)直线 ,令 是第一象限 上异于 的一点,直线 交 于 是 在 上的投影,若点 满
足“对于任意 都有 "求 的取值范围.
21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分
8 分.
令 ,取点 过其曲线 做切线交 轴于 ,取点 过其做切线交 轴于 ,若 则停止,以此类推,得到数列 .
(1)若正整数 ,证明 ;
(2)若正整数 ,试比较 与 大小;
(3)若正整数 ,是否存在 使得 依次成等差数列?若存在,求出 的所有取值,若不
存在,试说明理由.
参考答案
1、（1,3）
2、4
3、189
4、
5、
6、
7、-3
8、
9、946
10、49
11、
12、913、A
14、C
15、D
16、B
17、
（1）因为 AB 平行于 CD，所以 AB 与平面 平行
又因为 平行 ，所以 AA1 平行与平面 平行
因为 与 AB 相交于点 A，所以平面 与平面 平行
因为 属于平面 ，所以 平行于平面
（2）因为四棱柱体积为 36，设 AA1=h
所以
在底面内作 AE 垂直 BD 与 E，连因为 BD 垂直 AE，BD 垂直于 ，所以 BD 垂直平面 ，所以 BD 垂直
所以 即为所求二面角的平面角
在直角三角形 中， =4，
所以
18、
（1）当 a=0 时，
定义域为 ，
假设 为奇函数，则
所以 ，此方程无解，故 不可能为奇函数
所以不存在实数 c，使得 为奇函数
（2）因为 图像过（1,3），所以 所以 c=1
所以
令 =0，则 =0（x 不等于-a）因为 图像与 x 轴负半轴有 2 个交点
所以
所以
所以 a 的取值范围为
19、
（1）
（2）设三种结果：内外均同，内同或外同，内外均不同分别为事件 ，则
概率越小奖金越高分布列
20、
（1）由题意得 ， ，准线 ，则
；
当 时， ，B 在 x 轴上，设 ，则线段 AB 的中点为
在 上，则有 ，解得 ，即 ，则直线 AB 的斜率
，直线
，一般式为 ，
则原点 O 到 AB 的距离 ；
（3）设
由已知：
令 x=-3，即 a 的取值范围为
21、
（1）由 ，则 ，当 时，曲线在
处的切线方程式为：
，由题
意令 ，得 ，命题得证；
（2）
即 即X=1 时
（3）假设存在 k,使得 依次成等差数列，所以公差
，构造函数
，函数的定义域 ，则
，易得 ， ，
严格递增； ， ， 严格递减；所以
，所以
，即 ，即
，计算，若 成等差，则 ，
即 ，整理
，
令 ，
， ， 因为
，即 在
上递增，
结合数列的单调性，因为
，则
函数 在 上必有唯一的零点 ，结合
，运算停止，即存
在 成等差数列，此时
