文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新Ⅰ卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填
写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需
改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不
按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 的虚部为（ ）
A. −1 B. 0 C. 1 D. 6
【答案】C
【解析】
根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
因为(1+5i)i=i+5i2=−5+i，所以其虚部为1，
故选：C.
2. 设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1,3,5}，则∁ A中元素个数为（ ）
U
.
A 0 B. 3 C. 5 D. 8
【答案】C
【解析】
根据补集的定义即可求出．
因为U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁ A={2,4,6,7,8}， ∁ A中的元素个数为5，
U U
故选：C．
3. 若双曲线C的虚轴长为实轴长的√7倍，则C的离心率为（ ）
A. √2 B. 2 C. √7 D. 2√2
【答案】D
【解析】由题可知双曲线中a,b的关系，结合a2+b2=c2和离心率公式求解
设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c，
由题知，b=√7a，
于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2，则c=2√2a，
即 .
故选：D
( π)
4. 若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan x− 的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
3
π π π 4π
A. B. C. D.
4 2 3 3
【答案】C
【解析】
根据正切函数的对称中心的结论求解.
π π kπ
根据正切函数的性质，y=2tan(x− )的对称中心横坐标满足x− = ,k∈Z，
3 3 2
π (π kπ )
即y=2tan(x− )的对称中心是 + ,0 ,k∈Z，
3 3 2
π kπ
即a= + ,k∈Z，
3 2
π
又a>0，则k=0时a最小，最小值是 ，
3
.
π
即a=
3
故选：C
( 3)
5. 设 是定义在 上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时， ，则f − =（ ）
4
1 1 1 1
A. − B. − C. D.
2 4 4 2
【答案】A
【解析】
根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解.
由题知f(x)=f(−x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，3 3 11 11 1
于是f(− )=f( )=f( )=5−2× =− .
4 4 4 4 2
故选：A
6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风
风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对
应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在
某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2（风速的大小和向量的大小相同），单位
（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
【答案】A
【解析】
结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真
风风速的大小，即可由图1得出结论.
由题意及图得，
视风风速对应的向量为：⃗n=(0,2)−(3,3)=(−3,−1)，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为⃗n ，船行风速对应的向量为⃗n ，
1 2
∴⃗n=⃗n +⃗n ，船行风速：⃗n =−[(3,3)−(2,0)]=(−1,−3)，
1 2 2∴⃗n =⃗n−⃗n =(−3,−1)−(−1,−3)=(−2,2)，
1 2
|⃗n|=√(−2) 2+22=2√2≈2.828，
1
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
7. 若圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是
（ ）
A. (0,1) B. (1,3) C. (3,+∞) D.
【答案】B
【解析】
先求出圆心E(0,−2)到直线 的距离，然后结合图象，即可得出结论.
由题意，
在圆x2+(y+2) 2=r2(r>0)中，圆心E(0,−2)，半径为 ，
到直线 的距离为1的点有且仅有 2个，
|0×√3−(−2)×1+2|
∵圆心E(0,−2)到直线 的距离为：d= =2，
√(√3) 2+(−1) 2
故由图可知，
当r=1时，
圆x2+(y+2) 2=r2(r>0)上有且仅有一个点（A点）到直线 的距离等于1；当r=3时，
圆x2+(y+2) 2=r2(r>0)上有且仅有三个点（B,C,D点）到直线 的距离等于1；
当则 的取值范围为(1,3)时，
圆x2+(y+2) 2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线 的距离等于1.
故选：B.
8. 若实数x，y，z满足 ，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A. x>y>z B. x>z>y
C. D. y>z>x
【答案】B
【解析】
法一：设 ，对m讨论赋值求出x,y,z，即可得出大小关系，利用排
除法求出；
法二：根据数形结合解出.
法一：设 ，所以
1 1
令m=2，则x=1,y=3−1= ,z=5−3= ，此时x>y>z，A有可能；
3 125
令m=5，则x=8,y=9,z=1，此时 ，C有可能；
令 ，则x=26=64,y=35=243,z=53=125，此时y>z>x，D有可能；
故选：B．
法二：设 ，所以，x=2m−2,y=3m−3,z=5m−5
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5的图象，以上方程的根分别是函数y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5的图象与
直线 的交点纵坐标，如图所示：易知，随着m的变化可能出现：x>y>z， ，y>z>x， ，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正三棱柱ABC−A B C 中，D为BC中点，则（ ）
1 1 1
A. AD⊥A C B. BC⊥平面A A D
1 1
C. CC //平面A A D D. AD//A B
1 1 1 1
【答案】BC
【解析】
法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于 B，利用线面垂直的判定与性质定
理即可判断；对于C，利用线面平行的判定定理即可判断；对于 D，利用反证法即可判断；法二：根据题
意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.
法一：对于A，在正三棱柱ABC−A B C 中，A A ⊥平面ABC，
1 1 1 1
又 平面ABC，则A A ⊥AD，则⃗A A⋅⃗AD=0，
1 1
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC，则⃗CD⋅⃗AD=0
又⃗A C=⃗A A+⃗AD+⃗CD，
1 1
所以⃗A C⋅⃗AD=(⃗A A+⃗AD+⃗CD)⋅⃗AD=⃗A A⋅⃗AD+⃗AD2+⃗CD⋅⃗AD=⃗AD2≠0，
1 1 1
则AD⊥A C不成立，故A错误；
1
对于B，因为在正三棱柱ABC−A B C 中，A A ⊥平面ABC，
1 1 1 1又BC⊂平面ABC，则A A ⊥BC，
1
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC，
又A A ∩AD=A,A A ,AD⊂平面A A D，
1 1 1
所以BC⊥平面A A D，故B正确；
1
对于C，因为在正三棱柱ABC−A B C 中，CC //A A
1 1 1 1 1
又 平面 平面A A D，所以CC //平面A A D，故C正确；
1 1 1
对于D，因为在正三棱柱ABC−A B C 中，A B //AB，
1 1 1 1 1
假设AD//A B ，则AD//AB，这与AD∩AB=A矛盾，
1 1
所以AD//A B 不成立，故D错误；
1 1
故选：BC.
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为 ，
则D(0,0,0),A(√3,0,0),A (√3,0,ℎ),C(0,−1,0),C (0,−1,ℎ),B(0,1,0),B (0,1,ℎ)，
1 1 1
对于A，⃗AD=(−√3,0,0),⃗A C=(−√3,−1,−ℎ)，
1
则⃗AD⋅⃗A C=(−√3)×(−√3)+0=3≠0，
1
则AD⊥A C不成立，故A错误；
1
对于BC，⃗BC=(0,−2,0),⃗CC =(0,0,ℎ),⃗A A =(0,0,ℎ),⃗AD=(−√3,0,0)，
1 1
设平面A A D的法向量为⃗n=(x,y,z)，
1
{ ⃗A A ⋅⃗n= ℎz=0
则 1 ，得x=z=0，令y=1，则⃗n=(0,1,0)，
⃗AD⋅⃗n=−√3x=0
所以⃗BC=(0,−2,0)=−2⃗n，⃗CC ⋅⃗n=0，
1
则BC⊥平面A A D，CC //平面A A D，故BC正确；
1 1 1对于D，⃗AD=(−√3,0,0),⃗A B =(−√3,1,0)，
1 1
−√3 0
则 ≠ ，显然AD//A B 不成立，故D错误；
−√3 1 1 1
故选：BC.
3
10. 设抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交l:x=− 于E，
2
过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
3
对于A，先判断得直线l:x=− 为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于 B，利用三角形相
2
似证得∠AEB=90°，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线
AB与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断 C；利用利用三角形相似证得|AE| 2=|AF|⋅|AB|，
|BE|
2=|BF|⋅|AB|，结合焦半径公式可判断D.
法一：对于A，对于抛物线C:y2=6x，
3
则p=3，其准线方程为x=− ，焦点 ，
2
则|AD|为抛物线上点到准线的距离，|AF|为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知， ，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，
由题意可知AD⊥l,EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又 ， ，所以△ADE≅△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；
对于C，易知直线AB的斜率不为0，
3
设直线AB的方程为x=my+ ， ，
2
{ 3
x=my+
联立 2，得y2−6my−9=0，
y2=6x
易知Δ>0，则y + y =6m,y y =−9，
1 2 1 2
又 ， ，
所以|AB|=x +x +p=m(y + y )+3+3=6m2+6≥6，
1 2 1 2
当且仅当m=0时取等号，故C正确；
对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，
|AE| |AF|
所以Rt△ABE∼Rt△AEF，则 = ，即|AE| 2=|AF|⋅|AB|，
|AB| |AE|
同理|BE|
2=|BF|⋅|AB|，
( 3)( 3)
又|AF|⋅|BF|= x + x + =(m y +3)(m y +3)
1 2 2 2 1 2
=m2y y +3m(y + y )+9=−9m2+18m2+9=9(m2+1)，
1 2 1 2
|AB|=6m2+6=6(m2+1)，
所以|AE| 2 ⋅|BE| 2=|BF|⋅|AF|⋅|AB| 2=9(m2+1)×36(m2+1) 2 ，
1 3
则 |AE|⋅|BE|=3(m2+1)2×6(m2+1)=18(m2+1)2≥18 ，故D正确.故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线C:y2=6x，
3
则p=3，其准线方程为x=− ，焦点 ，
2
则|AD|为抛物线上点到准线的距离，|AF|为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知， ，故A正确；
对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，
由题意可知AD⊥l,EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又 ， ，所以△ADE≅△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；
对于C，当直线AB的斜率不存在时，|AB|=2p=6；
( 3)
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=k x− ，
2
{ ( 3)
y=k x− 9
联立 2 ，消去y，得k2x2−(3k2+6)x+ k2=0，
4
y2=6x
6 9
易知Δ>0，则x +x =3+ ,x x = ，
1 2 k2 1 2 4
所以|AB|=√1+k2|x −x |=√1+k2×√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2=√1+k2× √ ( 3+ 6 ) 2 −9=6 ( 1+ 1 ) >6，
k2 k2
综上， ，故C正确；
对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，
|AE| |AF|
所以Rt△ABE∼Rt△AEF，则 = ，即|AE| 2=|AF|⋅|AB|，
|AB| |AE|
同理|BE|
2=|BF|⋅|AB|，
1
当直线AB的斜率不存在时，|AB|=6，|AF|=|BF|= |AB|=3；
2
所以|AE|
2
⋅|BE|
2=|BF|⋅|AF|⋅|AB| 2=3×3×62，即|AE|⋅|BE|=18；
( 1 )
当直线AB的斜率存在时，|AB|=6 1+
，
k2
( 3)( 3) 3 9
|AF|⋅|BF|= x + x + =x x + (x +x )+
1 2 2 2 1 2 2 1 2 4
9 3( 6 ) 9 ( 1 )
= + 3+ + =9 1+
，
4 2 k2 4 k2
所以|AE| 2 ⋅|BE| 2=|BF|⋅|AF|⋅|AB| 2=9 ( 1+ 1 ) ×36 ( 1+ 1 ) 2 ，
k2 k2
( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 3
则|AE|⋅|BE|=3 1+ 2×6 1+ =18 1+ 2>18；
k2 k2 k2
综上，|AE|⋅|BE|≥18，故D正确.
故选：ACD.
1 1
11. 已知△ABC的面积为 ，若cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC= ，则（ ）
4 4
A. B. AB=√2
√6
C. sin A+sinB= D.
2
【答案】ABC
【解析】π
对cos2A+cos2B+2sinC=2由二倍角公式先可推知A选项正确，然后分情况比较A+B和 的大小，亦
2
π 1
可使用正余弦定理讨论解决，结合正弦函数的单调性可推出C= ，然后利用cosAcosBsinC= 算出
2 4
取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.
cos2A+cos2B+2sinC=2，由二倍角公式，1−2sin2A+1−2sin2B+2sinC=2，
整理可得， ，A选项正确；
由诱导公式，sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，
展开可得sin AcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B，
即sin A(sin A−cosB)+sinB(sinB−cosA)=0，
π
若A+B= ，则sinA=cosB,sinB=cosA可知等式成立；
2
π π
若A+B< ，即A< −B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知， ，同理sinB0,sinB>0，于是sin A(sin A−cosB)+sinB(sinB−cosA)<0，
π
与条件不符，则A+B< 不成立；
2
π π
若A+B> ，类似可推导出sin A(sin A−cosB)+sinB(sinB−cosA)>0，则则A+B> 不成立.
2 2
π π
综上讨论可知，A+B= ，即C= .
2 2
方法二： 时，由C∈(0,π)，则sinC∈(0,1]，
于是1×sinC=sin2A+sin2B≥sin2C，
由正弦定理， ，
π
由余弦定理可知，cosC≥0，则C∈(0, ]，
2
π π 1
若C∈(0, )，则A+B> ，注意到cosAcosBsinC= ，则cosAcosB>0，
2 2 4
( π)
于是cosA>0,cosB>0（两者同负会有两个钝角，不成立），于是A,B∈ 0, ，
2π π π (π )
结合A+B> ⇔A> −B，而A, −B都是锐角，则sin A>sin −B =cosB>0，
2 2 2 2
于是sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和sinC≤1相矛盾，
π π
故C∈(0, )不成立，则C=
2 2
1 π
由cosAcosBsinC= =cosAcosB，由A+B= ，则cosB=sinA，即 ，
4 2
1 1
则sin2A= ，同理sin2B= ，注意到 是锐角，则2A,2B∈(0,π)，
2 2
π 5π π 5π
不妨设A10.828=x ，
800×200×800×200 0.001
根据小概率值α=0.001的 独立性检验，我们推断H 不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该
0
推断犯错误的概率不超过0.001.
a a 1
16. 设数列{a }满足 ， n+1= n +
n n n+1 n(n+1)
（1）证明：{na }为等差数列；
n
（2）设 ，求f' (−2)．
【答案】（1）证明见解析；
7 (3m+7)(−2) m
（2）f'(−2)= −
9 9
【解析】
a a 1
（1）根据题目所给条件 n+1= n + 化简，即可证明结论；
n n+1 n(n+1)
（2）先求出{a }的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以x，作差并利用等比数列前n项和得出导
n
函数表达式，即可得出结论.
【小问1详解】
由题意证明如下，n∈N∗，
a a 1
在数列{a }中， ， n+1= n + ，
n n n+1 n(n+1)
∴(n+1)a =na +1，即(n+1)a −na =1，
n+1 n n+1 n
∴{na }是以 为首项，1为公差的等差数列.
n
【小问2详解】
由题意及（1）得，n∈N∗，
在数列{na }中，首项为3，公差为1，
n2
∴na =3+1×(n−1)，即a =1+ ，
n n n
在f (x)=a x+a x2+⋯+a xm 中，
1 2 m
f (x)=3x+2x2+⋯+ ( 1+ 2) xm ，f'(x)=3+4x+⋯+(m+2)xm−1
m
{ f'(x)=3+4x+⋯+(m+2)xm−1
∴ ，
xf'(x)=3x+4x2+⋯+(m+2)xm
当x≠1且 时，
x(1−x) m−1
∴(1−x)f'(x)=3+x+x2+⋯+xm−1−(m+2)xm=3+ −(m+2)xm，
1−x
3 x(1−xm−1) (m+2)xm
∴f'(x)= + −
1−x (1−x) 2 1−x
3 −2[1−(−2) m−1] (m+2)(−2) m
∴f'(−2)= + −
1−(−2) [1−(−2)] 2 1−(−2)
(−2)[1−(−2) m−1] (m+2)(−2) m
=1+ −
9 3
2 (−2) m (m+2)(−2) m
=1− − −
9 9 3
7 (3m+7)(−2) m
= − .
9 9
17. 如图所示的四棱锥 中，PA⊥平面ABCD， ．（1）证明：平面 平面PAD；
（2）PA=AB=√2,AD=1+√3,BC=2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．
（i）证明：O在平面ABCD上；
（ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析；
√2
（ii） .
3
【解析】
（1）通过证明AP⊥AB，AP⊥AD，得出AB⊥平面PAD，即可证明面面垂直；
（2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设P,B,C,D在同一球面O上，在平面xAy
中，得出点O坐标，进而得出点O在空间中的坐标，计算出|OP|=|OB|=|OC|=|OD|，即可证明结论；
法二：作出△BCD的边BC和CD的垂直平分线，找到三角形的外心O ，求出PO ，求出出外心O 到P，
1 1 1
B，C，D的距离相等，得出外心O 即为P，B，C，D所在球的球心，即可证明结论；
1
（ii）法一：写出直线AC和PO的方向向量，即可求出余弦值.
法二：求出AC的长，过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C ，连接AC ，PC ，利用勾股定理求出
1 1 1
AC 的长，进而得出PC 的长，在△POC 中由余弦定理求出cos∠POC ，即可求出直线AC与直线PO
1 1 1 1
所成角的余弦值.
【小问1详解】
由题意证明如下，
在四棱锥 中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
AB⊂平面ABCD， 平面ABCD，
∴AP⊥AB，AP⊥AD，
∵AP⊂平面PAD， 平面PAD，AP∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面 平面PAD.
【小问2详解】
（i）由题意及（1）证明如下，法一：
在四棱锥 中，AP⊥AB，AP⊥AD，AB⊥AD，BC∥AD，
PA=AB=√2，AD=1+√3，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴A(0,0,0),B(√2,0,0),C(√2,2,0),D(0,1+√3,0),P(0,0,√2)，
若P，B，C，D在同一个球面上，
则|OP|=|OB|=|OC|=|OD|，
在平面xAy中，
∴A(0,0),B(√2,0),C(√2,2),D(0,1+√3)，
(√2 √3+3)
∴线段CD中点坐标F , ，
2 2
1+√3−2 √3−1
直线CD的斜率：k = =− ，
1 0−√2 √2√2 √6+√2
直线CD的垂直平分线EF斜率：k = = ，
2 √3−1 2
√3+3 √6+√2( √2)
∴直线CD的方程：y− = x− ，
2 2 2
√6+√2( √2) √3+3
即y= x− + ，
2 2 2
√6+√2( √2) √3+3
当y=1时，1= x − + ，解得：x =0，
2 O 2 2 O
∴O(0,1)
在立体几何中，O(0,1,0)，
{
|OP|=√02+12+(0−√2) 2
|OB|=√(0−√2) 2+12+02
∵
|OC|=√(0−√2) 2+(1−2) 2+02
|OD|=√02+(1−1−√3) 2+02
解得：|OP|=|OB|=|OC|=|OD|=√3，
∴点O在平面ABCD上.
法二：
∵P，B，C，D在同一个球面上，
∴球心到四个点的距离相等
在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出BC和CD的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
1
O E=AB=√2，BE=CE=AO =GO = BC=1，O D=AD−AO =√3
1 1 1 2 1 1
BO =CO =√12+(√2) 2=√3，
1 1∴O D=BO =CO ，
1 1 1
∴点O 是△BCD的外心，
1
在Rt△AOP中，AP⊥AD，AP=√2，
由勾股定理得，
PO =√AP2+AO2=√(√2) 2+12=√3
1 1
∴PO =BO =CO =O D=√3，
1 1 1 1
∴点O 即为点P，B，C，D所在球的球心O，
1
此时点O在线段AD上， 平面ABCD，
∴点O在平面ABCD上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
⃗AC=(√2,2,0),⃗PO=(0,1,−√2)，
设直线AC与直线PO所成角为θ，
|⃗AC⋅⃗PO| |0+2×1+0| √2
∴cosθ= = =
.
|⃗AC||⃗PO| √(√2) 2+22+0×√0+12+(−√2) 2 3
法2：由几何知识得，PO=√3，
AB⊥AD，BC∥AD，
∴AB⊥BC，
在Rt△ABC中，AB=√2，BC=2，由勾股定理得，
AC=√AB2+BC2=√(√2) 2+22=√6，
过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C ，连接AC ，PC ，
1 1 1
则OC =AC=√6，直线AC与直线PO所成角即为△POC 中∠POC 或其补角.
1 1 1
∵PA⊥平面ABCD，AC ⊂平面ABCD，PA∩AC =A，
1 1
∴ ，
在Rt△ABC 中，AB=√2，BC =BC+CC =2+1=3，由勾股定理得，
1 1 1
AC =√AB2+BC2=√(√2) 2+32=√11，
1 1
在Rt 中，PA=√2，由勾股定理得，
PC =√PA2+AC2=√(√2) 2+(√11) 2=√13，
1 1
在△POC 中，由余弦定理得，
1
PC2=PO2+OC2−2PO⋅OC cos∠POC ，
1 1 1 1
即：(√13)
2=(√3) 2+(√6) 2
−2√3×√6cos∠POC
1
√2
解得：cos∠POC =−
1 3
√2
∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为：|cos∠POC |= .
1 3x2 y2 2√2
18. 设椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=√10．
a2 b2 3
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|⋅|AP|=3．
（i）设P(m,n)，求点 的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PM|的最大值．
x2
【答案】（1） + y2=1
9
( 3m n+2−m2−n2 )
（2）(ⅰ) , (ⅱ) 3(√3+√2)
m2+(n+1) 2 m2+(n+1) 2
【解析】
（1）根据题意列出a,b,c的关系式,解方程求出a,b,c,即可得到椭圆的标准方程；
（2）(ⅰ)设R(x ,y ),根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；
0 0
(ⅱ) 根据斜率关系可得到点P的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接
运算即可解出.
【小问1详解】
{√a2+b2=√10
c 2√2
由题可知,A(0,−b),B(a,0)，所以 e= = ，解得a2=9,b2=1,c2=8，
a 3
c2=a2−b2
x2
故椭圆的标准方程为 + y2=1；
9
【小问2详解】
(ⅰ)设R(x ,y )，易知m≠0，
0 0
n+1 y +1 n+1
法一：所以k = ，故 0 = ，且mx >0．
AP m x m 0
0
因为A(0,−1)，|AR||AP|=3，所以√x2+(y +1) 2×√m2+(n+1) 2=3，
0 0
即
[
1+
(n+1) 2]
x m=3，解得x =
3m
，所以y =
n+2−m2−n2
，
m 0 0 m2+(n+1) 2 0 m2+(n+1) 2( 3m n+2−m2−n2 )
所以点 的坐标为 , .
m2+(n+1) 2 m2+(n+1) 2
法二：设⃗AR=λ⃗AP,λ>0，则|AR||AP|=3⇒λ[m2+(n+1) 2]=3，所以
3 ( 3m 3(n+1) )
λ= ， ⃗AR=λ⃗AP=λ(m,n+1)= , ，故
m2+(n+1) 2 m2+(n+1) 2 m2+(n+1) 2
( 3m n+2−m2−n2 )
点 的坐标为 , .
m2+(n+1) 2 m2+(n+1) 2
n+2−m2−n2
m2+(n+1) 2 n+2−m2−n2 n
(ⅱ)因为k = = ,k = ,由k =3k ,可得
OR 3m 3m OP m OR OP
m2+(n+1) 2
3n n+2−m2−n2
= ,化简得 ,即m2+(n+4) 2=18(m≠0),
m 3m
所以点P在以N(0,−4)为圆心,3√2为半径的圆上（除去两个点）,
|PM| 为M到圆心N的距离加上半径,
max
法一：设M(3cosθ,sinθ),所以
=8cos❑ 2θ+1+8sinθ+16
( 1) 2 1
=−8 sinθ− +27≤27,当且仅当sinθ= 时取等号,
2 2所以|PM|√27√2(√3+√2) .
max
x2
法二：设M(x ,y )，则 M + y2 =1，
M m 9 M
|MN| 2=x2 +(y +4) 2=9−9 y2 + y2 +8 y +16=−8 y2 +8 y +25
M M M M M M M
( 1) 2 1
=−8 y − +27≤27，当且仅当y = 时取等号,
M 2 M 2
故|PM|√27√2(√3+√2) .
max
19. 设函数 ．
[ π]
（1）求 在 0, 的最大值；
4
（2）给定θ∈(0,π)，设a为实数，证明：存在 ，使得 ；
（3）若存在 使得对任意x，都有 ，求b的最小值．
【答案】（1）3√3
（2）证明见解析 （3）3√3
【解析】
（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值
不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑t=0,π时b的范围，对于t∈(0,π)时，可利用（2）中的结论结合特值法求得b≥3√3，从而
可得b的最小值；或者先根据函数解析特征得b≥0，再结合特值法可得b≥3√3，结合（1）的结果可得b的
最小值.
【小问1详解】
法1：f'(x)=−5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x，
( π) ( π)
因为x∈ 0, ，故2x∈ 0, ，故sin2x>0，
4 2π
当00即f'(x)>0，
6
π π
当 2kπ+2π−θ且a+θ<2kπ+2π+θ，此时a无解，
矛盾，故无解；故存在 ，使得[2kπ−θ,2kπ+θ]∩(a−θ,a+θ)≠∅，
法2：由余弦函数的性质知 的解为[2kπ+θ,2(k+1)π−θ](k∈Z)，
若每个[2kπ+θ,2(k+1)π−θ]与[a−θ,a+θ]交集都为空，
则对每个 ，必有2(k+1)π−θa+θ之一成立.
a a [ a a ]
此即k< −1或k> ，但长度为1的闭区间 −1, 上必有一整数k，该整数k不满足条件，矛盾.
2π 2π 2π 2π
故存在y∈[a−θ,a+θ]，使得 成立.
【小问3详解】
法1：记ℎ(x)=5cosx−cos(5x+t)，
因为ℎ(x+2π)=5cos(x+2π)−cos(5x+10π+t)= ℎ(x)，
故ℎ(x)为周期函数且周期为2π,故只需讨论x∈[0,2π],t∈[0,π]的情况.
当t=π时，ℎ(x)=5cosx−cos(5x+π)=6cosx≤6，
当t=0时，ℎ(x)=5cosx−cos5x，
此时ℎ ' (x)=−5sinx+5sin5x=5cos3xsin2x,x∈(0,2π)，
π π 5π 7π 3π 11π
令ℎ ' (x)=0，则x= , , ,π, , , ，
6 2 6 6 2 6
π 11π π 3π 5π 7π
而ℎ( )= ℎ( )=3√3,ℎ( )= ℎ( )=0,ℎ( )= ℎ( )=−3√3,ℎ(π)=−4，
6 6 2 2 6 6
π 11π
ℎ(0)= ℎ(2π)=4，故ℎ(x) √3 ，
6 6
max
当t∈(0,π)，在（2）中取a=t，则存在y∈(t−θ,t+θ)，使得 ，5π √3 y−t ( θ θ) y−t ( π π)
取θ= ，则cos y≤− ，取x= ∈ − , 即x= ∈ − , ，
6 2 5 5 5 5 6 6
√3
故5cosx≥ ，故5cosx−cos(5x+t)≥3√3，
2
π
综上b≥3√3，可取x= ， 使得等号成立.
6
综上，b√3 .
min
法2：设g (x)=5cosx−cos(5x+t).
t
①一方面，若存在t，使得g (x)=5cosx−cos(5x+t)≤b对任意x恒成立，则对这样的t，同样有
t
g (x)=−g (x+π)≥−b.
t t
所以|g (x)|≤b对任意x恒成立，这直接得到b≥0.
t
t π
设 − =m，则根据|g (x)|≤b恒成立，有
6 6 t
| ( t π)| | ( t π) (t 5π)| | (t π) (t π)| | (t π)|
b≥ g − + = 5cos − + −cos + = 5cos − +cos − = 6cos − =6|cosm|
t 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
| ( t π)| | ( t π) (t 5π)| | (t π) (t π)| | (t π)| | ( π)|
b≥ g − − = 5cos − − −cos − = 5cos + +cos + = 6cos + =6 cos m+
t 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3
| ( t π)| | ( t π) (t 5π)| | (t π) (t π)| | (t π)| | ( π)|
b≥ g − + = 5cos − + −cos + = 5cos − +cos − = 6cos − =6 cos m−
t 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 3
| ( π)|| ( π)| b
所以|cosm|, cos m+ , cos m− 均不超过 ，
3 3 6
再结合cos2x=2|cosx| 2 −1，
( 2π) ( 2π) (b) 2 b2
就得到cos2m,cos 2m+ ,cos 2m− 均不超过2 −1= −1.
3 3 6 18
b2 (3√3) 2 1
假设b<3√3，则 −1< −1= ，
18 18 2( 2π) ( 2π) 1)
故cos2m,cos 2m+ ,cos 2m− ∈−1, .
3 3 2
2π 2π
但这是不可能的，因为三个角2m,2m+ ,2m− 和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能
3 3
1
都在直线x= 左侧.
2
所以假设不成立，这意味着b≥3√3.
②另一方面，若b=3√3，则由（1）中已经证明f (x)≤3√3，
知存在 ，使得
5cosx−cos(5x+t)=5cosx−cos5x=f (x)≤3√3=b.
从而b=3√3满足题目要求.
综合上述两个方面，可知b的最小值是3√3.
