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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章-第二十四章。
5．难度系数：0.8。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．将抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线表达式是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知，平移后的抛物线的顶点为(-3，1)，所以平移后的抛物线表达式为
.
故选B.
2．把如图中的三角形A（ ）可以得到三角形B．
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A．先向右平移5格，再向上平移2格．
B．先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转 ，然后向上平移1格．
C．先以直角顶点为中心顺时针旋转 ，再向右平移5格．
D．先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转 ．
【答案】B
【详解】解：先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格，三角形A可
以得到三角形B．故选项B符合题意；
其他三个选项，都向右只平移5格，三角形A不能得到三角形B．
故选：B．
3．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程 的根，则第三边的长为（ ）
A．6 B．11 C．6或11 D．7
【答案】A
【详解】解：方程 ，
分解因式得： ，
解得：x=6或 ，
当x=6时，三边长为4，6，7，符合题意；
当 时，三边长为4，7，11，不合题意舍去，
则第三边长为6．
故选A．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（ ）
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A．35° B．70° C．110° D．140°
【答案】D
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：D．
5．若关于x的方程（a﹣2）x2＋x＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a＝2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a≠2
【答案】D
【详解】解：由题意得：a-2≠0，
解得：a≠2，
故选：D．
6．如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若
OD=DC，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OD=CD= ×9=3，OC=OD+CD=6，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴∠ACO=90°，AC=BC，即AB=2AC，
连接OA，
由勾股定理得：AC= =3 ，
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即AC=BC=3 ，
∴AB=AC+BC=6 ，
故选：B．
7．如图，在 ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将 ABC绕着点A顺时针方向旋转得 ADE，AB，CE相
交于点F，若△AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ △） △
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠AEC=50°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=50°，
∴∠EAC=180°-50°-50°=80°，
∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=80°-50°=30°，
故选：C．
8．在数学实践活动课中，某小组的四位同学对二次函数 为常数，且 的图象及其性
质进行研究，分别得到如下结论：
小赵：该函数图象开口向上；
小钱：该函数的图象经过点 ；
小孙：该函数的图象经过点 ；
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小李：该函数的图象的对称轴为直线 ．
若这四个结论中只有一个是错误的，则得到错误结论的同学是（ ）
A．小赵 B．小钱 C．小孙 D．小李
【答案】D
【详解】解：若该函数图象该函数的图象经过点 ， ，
则 ，
解得： ，
该函数图象开口向上，该函数的图象的对称轴为直线 ．
符合题意，
若小李的结论是正确的，则 ，即 ，
，
当函数的图象经过点 ，则 ，即 ；
当函数的图象经过点 ，则 ；
则小钱，小孙的结论都是错误的，不符合题意；
综上，小李的结论是错误的，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．关于 的方程 是一元二次方程，则 ．
【答案】-2
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m2−2=2，且m−2≠0，
解得m=−2；
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故答案为：−2．
10．抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】
【详解】解： 抛物线解析式为 ，
抛物线顶点坐标为 ，
故答案为： ．
11．若m是方程 的一个实数根，则 的值为 ．
【答案】2020
【详解】解：∵m是方程 的一个实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2020．
12．已知，如图⊙O的半径OA=5cm，弦CD=5cm，则弦CD所对圆心角为 ．
【答案】60°
【详解】解：连接OC，OD，
∵⊙O的半径OC=OD=OA=5cm，弦CD=5cm，
∴OC=OD=CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
即弦CD所对圆心角为60°．
故答案为60°．
13．如图，一位运动员在离篮筐水平距离 处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水
平距离为 时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为 ，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距
离为 ，该运动员投篮出手点距离地面的高度为 米．
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【答案】
【详解】解：以地面所在的直线为 轴，过抛物线的顶点 垂直于 轴的直线为 轴建立如图所示坐标
系：
∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴可设抛物线的函数关系式为 ．
∵篮球中心 在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 ，
∴ ，
∴ ．
当 时， ，
该运动员投篮出手点距离地面的高度为 ．
故答案为： ．
14．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n 行有n
个点…，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．则三角点阵中前 行的点数和是 325．
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【答案】25
【详解】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点 第 行有 个点，
则前五行共有 个点，
前10行共有 个点，
，
前 行共有 个点，
然后求它们的和，
前 行共有 个点，
由题意可得： ，
整理得 ，
，
， ，
为正整数，
．
是前25行的点数之和；
故答案为：25
15．如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE＝8 cm，EB＝4 cm，则
OG= cm.
【答案】2
【详解】因为AB⊥CD，OF⊥AB，OG⊥CD，
所以四边形OFEG是矩形，
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所以，OG=EF，
因为AF=BE= ,
所以，EF=BF-EF=6-4=2（cm）.
所以，OG=2cm.
故答案为2
16．如图，在 中， ，把 绕 边的中点旋转后得 ，若直角顶点 恰好
落在 边上，且 边交 边于点 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【详解】解： ， ， ，
，
点 是 的中点， ，
将 绕着 中点 旋转一定角度得到 ，
， ， ， ， ，
，
， ，
，
，即 ，
解得 ，
，
， ，
，
，
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又 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，
2)． △
（1）画出以点O为旋转中心，将 ABC顺时针旋转90°得到 A'B'C'
（2）求点C在旋转过程中所经过的△路径的长． △
【详解】（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接
A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形．
…………………………………………………3分
（2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形 的弧长；
所以
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…………………………………………………6分
18．（5分）解方程： －2＝3（ －x）．
【详解】解：
化简得 ………………………………………………3分
解得
所以 . …………………………………………………5分
19．（5分）某超市销售一种矿泉水，进价为每箱24元，现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱。经
市场调查发现：若这种矿泉水的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．如果该超市想要每月销售这
种矿泉水的利润为650元，那么每箱矿泉水需要降价多少元？
【详解】设每箱降价 元，则每月可销售(10 +60)箱，依题意得：(36−x−24)
(10x+60)=650，…………………………………………………2分
整理得：−10 +60x+720=650，
即 ，
∴ ，
解得： (舍去)．
答：每箱矿泉水需要降价7元．…………………………………………………5分
20．（5分）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400
件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．
售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为 元，月销量为
件，
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月销售利润 ，…………………………………………………2分
整理得 ，
配方得 ，
所以 时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．……………………5分
21．（5分）如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少
了 ，另一边减少了 ，剩余部分面积为 ，求原正方形空地的边长．
【详解】解：设原正方形空地的边长为 ，则剩余部分长 ，宽 ，，
依题意得： …………………………………………………2分
整理得： ，
解得： （不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为 ． …………………………………………………5分
22．（5分）已知二次函数 的图像经过点 ， ．
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（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图像．
【详解】（1）依题意，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(0，-3)，B(1，0)
得 ，解得
∴所求二次函数的解析式为： …………………………………………………2分
（2）∵
∴该抛物线的顶点为 ，对称轴为x=2
再利用图像的对称性列表：
…
0 1 2 3 4 ……
…
…
-3 0 1 0 -3 ……
…
然后描点画图，得到 的图像．
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………………………………………………5分
23．（6分）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
所以， 第六步
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第
________步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
【详解】解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数
学公式是完全平方公式，
在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上 ，
∴第二步开始出现错误；…………………………………………………2分
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任务二：解： ，
∴ ，
∴ ，…………………………………………………4分
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．…………………………………………………6分
24．（6分）东方甄选是浙东方推出的直播新平台，今年5月，随看“东方甄选山西行”系列直播活动的
完美收官，各类“山西好物”的总销售额也突破亿元大关．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品
礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公
司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每
盒 元 ，同时段每小时的销售量为 盒，每小时的销售利润为 元．
(1)写出 与 及 与 的函数表达式．
(2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？
(3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．
【详解】（1）解：由题意得， 即 ，
∴ 即
…………………………………………………2分
（2）解：由题意得， ，
整理得 ，
解得 ， ，
要让利顾客，
，
答：销售价应定为每件130元；…………………………………………………4分
（3）解：
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， 当 时， 有最大值， ，
答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元． ………………………………6分
25．（5分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．
求证：OP平分∠AOB．
【详解】证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，…………………………………………………1分
在Rt OAP和Rt OBP中， ，
△ △
∴Rt OAP≌Rt OBP（HL），…………………………………………………3分
∴∠△AOP＝∠BO△P，
即OP平分∠AOB．………………………………………………5分
26．（6分）已知二次函数 ．
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)根据图象，写出当 时，y的取值范围；
(3)若将此图象沿x轴向左平移3个单位，向下移动2个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式．
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【详解】（1）列表得：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点，连线，函数图象如下：
；…………………………………………3分
（2）解：根据图象，可知当 时，y的取值范围为 ；………………………………4分
（3）解：将 变形为 ，
此图象沿 轴向左平移3个单位，向下移动2个单位，
则 即 ． …………………………………………6分
27．（7分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 ，宽为 ，抛物线的最高点
离地面 的距离为 .
(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.
(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为 ，宽为 ，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安
全通过？
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【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为 ，又知抛物线过点 ，
所以 ，……………………………………………2分
解得 ，
∴ ；………………………………………………4分
（2）根据题意，把 代入解析式，得 ．
∵ ，
∴这辆货车能安全通过． ………………………………………………7分
28．（7分）已知Rt ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋
转，它的两边分别交△AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
(1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S DEF＋S CEF与S ABC的数量关系为
△ △ △
__________；
(2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
(3)如图3，这种情况下，请猜想S DEF、S CEF、S ABC的数量关系，不需证明．
【详解】（1）当∠EDF绕D△点旋转到△DE⊥AC△时，四边形CEDF是正方形．
设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为 a．
∴S ABC= a2，S DECF=（ a）2= a2
正方形
△
即S DEF+S CEF= S ABC；
△ △ △
故答案为：S DEF+S CEF= S ABC；………………………………………………2分
△ △ △
（2）（1）中的结论成立；
证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，
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又∵∠C=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN= AC，MD= BC，
∵AC=BC，
∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△DME与△DNF中，
，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S DME=S DNF，
△ △
∴S DMCN=S DECF=S DEF+S CEF，
四边形 四边形
△ △
由以上可知S DMCN= S ABC，
四边形
△
∴S DEF+S CEF= S ABC．………………………………………………5分
△ △ △
（3）连接DC，
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证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°，
∴S DEF=S DBFEC，
五边形
△
=S CFE+S DBC，
△ △
=S CFE+ ，
△
∴S DEF-S CFE= ．
△ △
故S DEF、S CEF、S ABC的关系是：S DEF-S CEF= S ABC．…………………………………7分
△ △ △ △ △ △
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