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绝密★启用前
2024 年中考考前信息必刷卷 04
数 学（北京专用）
2024年北京中考数学试卷结构保持不变，内容可能发生微妙变化！2024年数学试卷共28题：8（选择
题）+8（填空题）+12（解答题），根据最新考试信息、样卷以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，
选填题基本都为基础题，而我们尤其需要关注的是选择和填空的最后一道，其中选择题最后一道可能以勾
股定理为背景考查多结论问题，比较综合；而填空最后一道主要考查方程与推理问题，专注思维能力的训
练；解答题的最后三道题保持不变，依次为二次函数取值范围类问题，几何线段关系问题以及新定义综合
题，其余试题可能会有些许变化，但变化不会很大，依然会保持去年的风格，我们需要密切关注最新的模
拟考试。
新考法1：第8题可能会以勾股定理为背景考查综合应用；
新考法2：第16题可能会重点考查方程应用、推理论证、阅读理解与综合分析，难度中等；
新考法3：第25题几何与函数图象的综合应用，注重理解能力和分析能力；
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷选填题型的前7个题直接考查基础知识，容易拿
分）、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型（如本卷中的第25题会结合函数模型考查几何应用问
题）和创新性（一般会以28题新定义形式考查，本题在立意和出题上极具创造性，非常考察学生的综合思
维能力），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
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1．经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时 多名党员，发展成为今天已经拥有超过
万党员的世界第一大政党． 万用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为 ，其中 ，确
定a与n的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，n为整数，且n比原来的整数位数
少1，据此判断即可．
【详解】 万 ，
故选：C．
2．下列选项中有一张纸片会与如图紧密拼凑成正方形纸片，且正方形上的黑色区域会形成一个轴对称图
形，则此纸片为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个
图形就是轴对称图形可得答案．
【详解】解：如图所示：
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形及其设计,熟练掌握利用轴对称设计图案，轴对称图形即的如果一个图形沿
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着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合是解题的关键．
3．已知 ，点 在直线 上，点 在直线 上， 于点 ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形
两锐角互余是解题关键．根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
4．实数 和 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，由数轴可得到 ，根据
和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到
．
【详解】解：根据题意，则 ，
∴ ， ，
∴
=
=
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= ；
故选：B．
5．正十边形的外角的度数是( )
A．18° B．36° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和为360°求解即可．
【详解】∵多边形的外角和为360°
∴正十边形的外角的度数
故答案为：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角问题，掌握多边形外角和定理是解题的关键．
6．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据两个不相等的实数根得出 ，代入数值计
算，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
7．甲乙两位同学相约去国际会展中心参观，会展中心共有东南西北四个大门，他们分别从东西两个大门
进去，参观后，他们各自从其它三个大门选择一个出来，则他们从同一个大门出来的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：不妨设三个大门分别为A，B，C，
根据题意列表如下：
A B C
A AA BA CA
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B AB BB CB
C AC BC CC
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们从同一个大门出来的结果有3种，
则他们从同一个大门出来的概率是 ，
故选：B．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放
回试验．
8．如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 为斜边 上的中点，点 ， 分别在
直角边 ， 上运动（不与端点重合），且保持 ，连接 ， ， ．设 ， ，
．在点 ， 的运动过程中，给出下面三个结论：① ；② ；③ ，
且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解
此题的关键，由题意得出 ，由三角形三边关系得出 ，即可判断①；利用勾股定
理即可判断②；连接 ，设 ，由等腰直角三角形的性质可得 ， ，由勾
股定理得出 ，再由 得出 ，再分 和 对③进行判断即可．
【详解】解：① ， ，
，
点 ， 分别在直角边 ， 上运动（不与端点重合），
，即 ，故结论①正确；
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② ，
在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，即 ，故结论②正确；
③连接 ，设 ，如下图所示：
在 中， ， ，点 为斜边 上的中点，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，即 ，
，
，
当且仅当 时，即点 ， 分别为 ， 的中点时， ，
此时 ，即 ，
当 时，即点 ， 不是 ， 的中点时， ，
此时 ，即 ，
，且等号可以取到，故结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
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9．若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是
【答案】
【分析】此题主要考查了分式及二次根式有意义的条件．直接利用分式和二次根式有意义的条件解答即可．
【详解】解： 代数式 有意义，
，
解得 ．
故答案为： ．
10．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先将原式提取公因式，最后利用完全平方公式分解
即可．
【详解】解：原式
故答案为： ．
11．分式方程 的解为 ．
【答案】
【分析】根据解分式方程的方法即可求解．
【详解】解：
去分母得： ，
移项合并得： ，
系数化为 ，解得： ，
检验，把 代入原分式方程，原分式方程有意义，
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∴ 是原分式方程的解，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解方程的方法，检验根是否符合分式方程等知识是解题的关键．
12．已知 ， 两点都在反比例函数 的图象上，若 ，则 的值
为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．
根据题意可得 ， ， ， ，由 可得 ，再将所求的式子展开即
可求解．
【详解】解： ， 两点都在反比例函数 的图象上，
， ， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
13．下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表：
月用电量x（千瓦时/户/月）
户 数（户） 6 15 11 14 4
已如月用电量第三档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第三档的
家庭有 户．
【答案】400
【分析】本题考查用样本估计总体．先计算样本中月用电量第三档的百分比，由此可计算出总体中月用电
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量第三档的数量．
【详解】解：样本中月用电量第三档的百分比为 ，
∴由此估计全小区500户家庭中用电量在第三档的家庭有 （户）．
故答案为：400.
14．如图， 内接于 ， 为 的直径， D为 上一点，连接 ．若 ，则
的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练
掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
由 为 的直径，可得 ，由 ，可得 ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ， 平分 ，交边 于点 ，连接 ，若
，则 的长为 ．
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【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、含 角的直角三角形的性质以及勾股定理
等知识，由平行四边形的性质得 ， ， ，再证 ，则
，过点 作 于点 ，则 ，然后由含 角的直角三角形的性质得 ，
则 ， ，即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
如图，过点 作 于点 ，
则 ，
，
，
， ，
．
故答案为： ．
16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：
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车床代号 A B C D E
修复时间（分 2
15 8 7 10
钟） 9
若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．
（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：
① ；② ；③ 中，经济损失最少的是
（填序号）；
（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元．
【答案】① ；1010
【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．
（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；
（2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算
即可．
【详解】解：（1）①总停产时间： 分钟，
②总停产时间： 分钟，
③总停产时间： 分钟，
故答案为：①；
（2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，
分钟，
（元）
故答案为：1010．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题5分）计算： ．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合特殊角的三角函数值以及开立方的知识，计算即
可作答．
【详解】
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．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本
题的关键．
18．（本题5分）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解： ，
解①得： ，
解②得： ，
不等式组的解集为： ．
19．（本题5分）已知 ，求代数式 的值.
【答案】 ，
【分析】根据分式的混合运算法则化简原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：
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，
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式，掌握分式混合运算法则并正确计算
是解答的关键．
20．（本题5分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，
且BE⊥ED，CF=AE．
(1)求证：四边形EBFD是矩形；
(2)若 ， ，求BF的长．
【答案】(1)见解析；(2)BF的长为
【分析】（1）利用“SAS”证明 ABE≌ CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是矩
形； △ △
（2）在Rt BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长．
【详解】（△1）证明：∵四边形ABCD是菱形， △
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AE= CF，
∴ ABE≌ CDF(SAS)，
∴△BE=DF，△∠F=∠E=90°，
∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠E=90°，
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∴四边形EBFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，
在Rt△BCO中， ，BC=5，
∴ ，
∴OB=4，则BD=2OB=8，
在Rt△BDF中， ，BD=8，
∴ ，
∴BF= ×8= ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．（本题5分）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得
到，且经过点 ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值小于函数 的值且大于0，直接
写出n的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．利用数形结合的
思想是解题关键．
（1）由题意结合函数图象平移的特点可得出 ，再将 代入，求出b的值即可；
（2）画出大致图形，结合图形即得出当 时，当 时，对于x的每一个值，一次函数
的值小于函数 的值且大于0．
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【详解】（1）解：∵一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∴ ，
∴ ．
∵该一次函数经过点 ，
∴ ，即 ，
∴这个一次函数的解析式为 ；
（2）解：如图，
由图可知当 时，当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值小于函数 的值
且大于0，
∴n的取值范围是 ．
22．（本题5分）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，
爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸
爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上
时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)小明的速度为 ，爸爸的速度为 ；(2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时
距离终点还有
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【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决．
（1）设小明的速度为 ，爸爸的速度为 ，根据题意列二元一次方程组即可；
（2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为 ，再求此时小明所跑路程为 ，小明接下来追上爸爸所需时间 ，
相比较即可．
【详解】（1）解：（1）设小明的速度为 ，爸爸的速度为 ，
则依题意得： ，于是 ，
，得 ，即有： ，
，得 ，即有： ，
答：小明的速度为 ，爸爸的速度为 ．
（2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有 ．
理由：爸爸跑到半圈所用时间为 ，
此时小明所跑路程为 ，
爸爸和小明的距离 ，
因此小明接下来追上爸爸所需时间 ，
追上时，小明的爸爸总路程 ，
因此小明能在400米终点前追上爸爸．
追上当时距离终点还有 ．
23．（本题6分）为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．该校的
国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位： ），数据整理如下：
a．18名学生的身高：
170，174，174，175，176，177，177，177，178，
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178，179，179，179，179，181，182，183，186
b．18名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
178 m n
(1)写出表中m，n的值；
(2)该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组：
17
甲组学生的身高 177 177 178 178 181
5
17
乙组学生的身高 174 174 176 177 179
0
对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好．
据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
(3)该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高
分别为175，177，178，178．在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组
成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】(1) 的值为 ， 的值为 ；(2)甲组；(3)
【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答；
（2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可
解答；
（3）根据方差的概念和意义，可确定另外两名学生的身高应该在 ，据此可解答．
【详解】（1）将18名学生的身高从小到大排列为：170，174，174，175，176，177，177，177，178，
178，179，179，179，179，181，182，183，186，
从中可以看出第9个数据和第10个数据分别是178，178，所以这组数据的中位数为 ，
故 ；
其中，179出现的次数最多，所以这组数据的众数为179，故 ；
故答案为：178，179．
（2）甲组学生的身高分布于 ，乙组学生的身高分布于 ，
据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大，
所以执旗效果更好的是甲组，
故答案为：甲．
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（3）根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在175厘米 厘米，
从乙组的数据可以知道，在175厘米 厘米的身高有2个，分别是176、177，
故答案为：176、177．
24．（本题6分）如图，在 中， ， 为 边上一点，已知 过点 且经过 边上的
点 ， ．连接 并延长，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质，掌握相关图形的性
质是解决问题的关键．
（1）根据题意连接 ，利用全等三角形判定及性质即可判定切线；
（2）设 的半径为 ，则 ， ，由（1）可知 ，则 ，
得 ，在 中， ，即： ，得 ，则
，在 中， ，列出方程即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
在 和 中，
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，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为半径，
∴ 为 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则 ， ，
由（1）可知 ，则 ，
∴ ，则 ，
在 中， ，即： ，
∴ ，则 ，
在 中， ，即： ，解得： ，
即： 的半径为 ．
25．（本题6分）如图，点 是半圆 的直径 上一动点，点 是半圆 内部的一定点，作射线 交
于点 ，连接 ．已知 ，设 的长度为 ， 的长度为 ， 的长度为 ．
（当点 与点A重合时， 的值为 ）．
小山根据学习函数的经验，对函数 ， 随自变量 的变化而变化的规律进行探究．对于点 在 上的
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不同位置，画图、测量，得到了 ， ， 的几组值，如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.32 4.91 5.78 6.93 8.08 8.81 9.18 9.37 9.48 9.55 9.60
9.02 7.86 6.63 5.46 4.79 5.00 5.73 6.64 7.61 8.60 9.60
(1)在同一平面直角坐标系 中，小山已画出函数 的图象，请你画出函数 的图象；
(2)结合函数图象，解决问题：
① 当 的长度为 时，则 的长度约为 （结果保留小数点后一位）．
② 当 为等腰三角形时，则 的长度约为 （结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)见详解；(2)① ； ② ， ，
【分析】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考
常考题型．
（1）利用描点法画出图象即可；
（2）当 时，从图象上找出对应函数 的函数值即可；
（3）图中寻找 长关于x的函数：直线 与两个函数的交点的横坐标，以及 与 的交点的横坐
标即可．
【详解】（1）解：函数图象如图示：
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（2）①：当 时，由图像可知 ，
故答案为9.2．
②当 时，即 ，观察两个函数图像交点的横坐标即为 长，由图象得
；
当 时，即 ，画出函数 图象，如图示：
观察图像即为直线 与函数 图像交点，故 ；
当 时，即 ，观察图像即为直线 与函数 图像交点，故 ．
故答案为： ， ， ．
26．（本题6分）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意
两点，设抛物线的对称轴为直线 ．
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(1)若点 在该抛物线上，求t的值；
(2)当 时，对于 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质：
（1）利用待定系数法求出 ，再根据对称轴计算公式求解即可；
（2）根据解析式可得当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数
值越大，据此分当 时，当 时，当 时，当 时，四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线开口向上，
∴当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大；
当 时，
∵ ，
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∴此时满足 ；
当 时，
∵ ，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∴此时满足 ；
当 时，一定会有 的值满足 ，即此时 ，不符合题意；
当 时，若 ，且 时，此时 ，不符合题意；
综上所述， ；
27．（本题7分）如图，将线段 绕点A逆时针旋转 度（ ）得到线段 ，连结 ，点
N是 的中点，点D，E分别在线段 ， 的延长线上，且 ．
(1) ________（用含 的代数式表示）；
(2)连结 ，点F为 的中点，连接 ， ， ．
①依题意补全图形；
②若 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1) ；(2)①见解析；② ，证明见解析
【分析】本题考查了根据条件画图，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形
等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）根据旋转和题意即可得出 ；
（2）①根据题意画出图形即可；
②延长 至点 ，使 ，连接 ．证明四边形 为平行四边形，证明
，算出 ， ，结合三角形中位线定理即可求解；
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【详解】（1）∵ ，
由旋转得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）①补全图形如图：
②延长 至点 ，使 ，连接 ．
∵点 为线段 中点，
∴四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，
又 ，
，
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∴ ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ 是 中位线，
，
∴ ．
28．（本题7分）在平面直角坐标系 中，对于图形P，图形 和直线l给出如下定义：图形P关于直
线l的对称图形为 ．若图形P与图形 均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关
于直线l的“弱相关图形”．
(1)如图，点 ，点 ．
①已知图形 是半径为2的 ， 是半径为1的 ， 是半径为 的 ，在 ， ， 中，线段
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关于直线 的“弱相关图形”是： ；
②已知 的半径为2，若 是线段 关于直线 的“弱相关图形”，求b的取值范围；
(2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点
，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的 是圆P关于l的“弱相关图形”，
直接写出r的取值范围．
【答案】(1)① ，② ；(2)
【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出点 ，点 对称点的坐标，结合图形即可求
解；
②分当 时和 两种情况，结合图形即可求解；
（2）根据题意，只要找到r的最小值即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示：
∵点 ，点 ， 关于 的对称图形为 ， 半径为 ，
∴根据轴对称性得： ，即点 在y的正半轴上，
∴ 在 的内部，
∴ 为线段 关于直线 的“弱相关图形”．
故答案为： ；
②如图所示， 是线段 关于直线l： 的“弱相关图形”，
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∵ 与 平行，
∴ 与坐标轴的夹角为 ，由点O关于 对称，
则 ，则 在直线 上，
当 时，点O离对称轴直线l： 较远，如图，当 在 上时，
设l与x轴交于点D，
依题意， ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴D的坐标为 ，代入
解得： ，
当 时，点A离对称轴直线 较远，如图：当 在 上时，
同理可得 ，
连接 ，在 中，设 ，则 ，
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∵ ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴ ，
∴ ，
代入 ，
解得： ，
综上所述： ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
即C在直线 上，
如图所示：过点O作 于点S，
由 ，令 ，
令 ，
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∴ ，
依题意，点C在直线 上运动，过点C的直线为对称轴，将 与 对称，
∵半径r的 是圆P关于l的“弱相关图形”，
∴ ，
∴当 与坐标轴相切时，r取得最小值，
此时点 ，则 ，
又∵点C在直线 上运动， 不能与 平行，
∴Q点只能接近点S，
∴ 的最外端一点与O的距离小于 ，
∴即r的最小值为： ，
即 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换
的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键．
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