文档内容
高三数学考试参考答案
!!#!由题意得"$!%!""#"所以""#$!%&""#!
! ! !)* ! !
’!(!由题意得’% $!)*"则$$ $ $ ) *!
$ !%* $!%*%$!)*% ’ ’
!!20)’!"0
+!,!因为-./"0$1"所以该组数据的第/"百分位数为 $’!’0!
’
&!,!由题意得%$&%$1’$’!&"则’$3!&"所以($&%$1’$!%’%$!!&&!
"!4!当)#!时"*$+%$)+%’的图象经过第一&三&四象限"不经过第二象限"
当3$)$!时"*$+%$)+%’的图象经过第二&三&四象限"不经过第一象限"
!
则3$)$!"得 #!"所以,$+%$567!$+)’%的图象经过第一&二&三象限"不经过第四象限!
) )
! !
1!(!由题意得%-.%$%..%$’/"则%0.%$ %-.%$ $’)%%-.%%$)%/!在
! ! ’ ’ ’ ’ ’ !
&0.. 中"由%.0%’)%0.%’$%..%’"得1’)$)%/%’$&/’"则)’%/’))’%’)/)/’$
! ’ ! ’ ! ’
/ !
&/’"得)’%)/%’/’$$)%’/%$))/%$3"解得)$’/"所以"的离心率为 $ !
) ’
$’ 槡+ %’
/!#!设正四面体的边长为)"球2的半径为3"易得正四面体的高4$槡)’% . ) $
+ ’
槡1 槡1 ! ! 槡1 槡’
)"则3$ )!正四面体的体积5 $ . )’8*913:. )$ )+"球2的体积5 $
+ 1 ! + ’ + !’ ’
& & $槡1 %+ 槡1 5 +槡+
!3+$ !. ) $ !)+"所以 !$ !
+ + 1 ’/ 5 &!
’
-!4!设&678的内角6"7"8的对边分别为)"1"/!由题意得8*9$6%8%)8*98$8*9$6)
8%"得8*96;688%8*98;686)8*98$8*96;688)8*98;686"得’8*98;686$8*98!因为
8*98’3"所以;686$ ! "即6$ ! !由( ) 9 &678 $ ! ’ 1/8*96$ ! ’ ). 槡 ’ + " 得( ))$1/" 则
’ + *)’$1’)/’%1/"
*)’$1’)/’%’1/;686"
槡+
1’/’$1’)/’%1/+’1/%1/"得1/+!$当且仅当1$/$!时"等号成立%"所以9 $ 1/+
&678 &
槡+ 槡+
"则9 有最小值"且最小值为 !
& &678 &
; ;
2!#4!由题意得8的准线方程为:$% "则 % %’ $&"解得;$-或%’&!
& &
$ !% $ !%
!3!#(4!*+) $’8*9+) $’;68+为偶函数"#正确!
+ ’
$ !% ’!
由题意得,$+%$’8*9’+) ",$+%的最小正周期<$ $!",错误!
1 ’
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
"!"#!"$"
书书书$! ’!% ! $! "!% ! $"!+!% #
由+, " "得+) , " "’+) , " "所以
+ + 1 ’ 1 1 1 ’ %!"" $!""
!
$! ’!%
*$+%与,$+%在 " 上均单调递减"(正确!当+,!3"’!# $
+ +
时"函数*$+%和,$+%的图象如图所示"函数*$+%和,$+%的图 ! ! ! "! !! "
! !
象有"个交点"所以函数:$*$+%%,$+%在!3"’!#上有"个零 #$
点"4正确! #!
!!!,(4!由题意得*<$+%$++’)’)+)1"!$&)’%!’1!当!-3"即)’-+1时"*<$+%+3"
*$+%在!上单调递增"无极值点!当!#3"即)’#+1时"设+"+$+$+%是方程*<$+%$3
! ’ ! ’
的两个解"则*$+%在$%="+%"$+")=%上单调递增"在$+"+%上单调递减"*$+%有’个
! ’ ! ’
极值点!综上"*$+%不可能只有!个极值点"当*$+%有极值点时")’#+1"#错误",正确!当
)$3时"*$+%)*$%+%$’/$’*$3%"则点$3"*$3%%为曲线:$*$+%的对称中心"(正确!
当不等式*$+%$3的解集为$%="!%"$!"’%时"易得*$+%的零点为!和’"且!为*$+%$
3的二重根"则*$+%$$+%!%’$+%’%"则*<$+%$$+%!%$++%"%!易知*$+%在$%="!%"
$" % $ "% $"% &
")= 上单调递增"在 !" 上单调递减"所以*$+%的极小值为* $% "4正确!
+ + + ’/
/ /
!’!% !由题意得+$;)!%$%&"解得;$% !
+ +
))+
!+!’=%+=%!!设等比数列’))+(的公比为>"则>$ ’ $’"得))+$$))+%)’=%!"
= ))+ = !
!
’=%!
则)$’=%!%+"所以’)(的前=项和为’3%+)’%+)’’%+)*)’=%!%+$ %+=$
= = ’%!
’=%+=%!!
!
!&! !若甲获得+分"则甲必取中1号球"乙必取中!号球!
-
#+#+ !
当甲小球上的数字为1"""&时"甲获得+分的概率为 + +$ +
#1 ’3
1
’.’.#+ !
当甲小球上的数字为1"""+时"甲获得+分的概率为 +$ +
#1 +3
1
’#+ !
当甲小球上的数字为1"""’时"甲获得+分的概率为 +$ +
#1 13
1
’#+ !
当甲小球上的数字为1"&"+时"甲获得+分的概率为 +$ +
#1 13
1
#+ !
当甲小球上的数字为1"&"’时"甲获得+分的概率为 +$ !
#1 !’3
1
! ! ! ! !
综上"甲获得+分的概率为 ) )’. ) $ !
’3 +3 13 !’3 -
!"!$!%证明,>.8$?(且.8.?("?四边形8(?.是平行四边形"
?8($.?且8(..?!……………………………………………………………………’分
!高三数学"参考答案!第!!!!’页#共"页$%
"!"#!"$">.@$ ’ 8("且.@.8("6%$ ’ 8("且6%.8(" $ ! ( # !
+ +
! ! " !
?6%$.@"且6%..@" ……………………………………&分
?四边形6%.@是平行四边形"?%..6@!………………"分 ’ &
+
>%./平面6@( ! "6@0平面6@( ! "?%..平面6@( ! ! … $ # *
!
………………………………………………………………1分 ) % "
$’%解,以(为原点"(6为+个单位长度"(6"(8"(( 所在直线分别为+轴&:轴&$轴"
!
建立如图所示的空间直角坐标系"
221 221
则($3"3"+%"%$+"’"3%".$3"+"!%"(%$$+"’"%+%"(.$$3"+"%’%!……………-分
! ! !
221
)!)(
!
%$++)’:%+$$3"
设平面(%.的法向量为!$$+":"$%"则( 取+$""则:$1"$
! 221
*!)(.$+:%’$$3"
!
$2"得!$$""1"2%!………………………………………………………………………!3分
易得平面678(的一个法向量为"$$3"3"!%" ………………………………………!!分
!)" 2槡!&’
?平面(%.与平面678(夹角的余弦值为 $ !…………………!+分
! %!%%"% !&’
!1!解,$!%零假设为@ ,学生的性别和是否喜欢运动无关!…………………………………!分
3
!33.$+".’3%+".!3%’ /33
根据列联表中的数据"计算得到 " ’$ $ 3’@+"/$’@/31" …
/3.+3.&"."" ’2/
……………………………………………………………………………………………"分
根据#$3@!的独立性检验"没有充分的证据推断@ 不成立"…………………………1分
3
因此可以认为@ 成立"即学生的性别和是否喜欢跳绳无关!……………………………/分
3
$’%设经过训练后"该校学生每分钟的跳绳个数为A"则A"#$!-3"!33%" $$!-3"%$!3!
……………………………………………………………………………………………2分
由题意得-$!/3-A$!-3%$-$!-3%%-A$$ %$
-$ $%%-A-$)%%
" ……………!3分
’
-$!-3-A-’33%$-$ $-A-$)’%%$
-$ $%’%-A-$)’%%
"………………………!!分
’
则-$!/3-A-’33%$
-$ $%%-A-$)%%)-$ $%’%-A-$)’%%
33@-!-1!………!+分
’
因为!333.3@-!-1$-!-@1"………………………………………………………………!&分
所以预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在!!/3"’33#内的人数为-!2!…………!"分
!/!解,$!%由题意得*<$+%$’A’+%$))1%" …………………………………………………’分
则*<$3%$’%$))1%$’%’)"……………………………………………………………+分
得)$1!………………………………………………………………………………………&分
$’%由题意得*$+%的定义域为!"*<$+%$’A’+%’)!……………………………………"分
当)-3时"*<$+%#3"则*$+%在!上单调递增!…………………………………………/分
! !
当)#3时"令*<$+%#3"得+# 59)"令*<$+%$3"得+$ 59)" …………………-分
’ ’
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$%
"!"#!"$"$ ! % $! %
则*$+%在 %="59) 上单调递减"在 59)")= 上单调递增!…………………2分
’ ’
$+%由$’%可知当)-3时"*$+%没有最小值"……………………………………………!3分
$! %
则)#3",$)%$*$+% $* 59) $)%)59))’"……………………………………!!分
B*9 ’
得,<$)%$%59)!…………………………………………………………………………!’分
当3$)$!时",<$)%#3",$)%单调递增"………………………………………………!+分
当)#!时",<$)%$3",$)%单调递减"……………………………………………………!&分
所以,$)% $,$!%$+! …………………………………………………………………!"分
BCD
槡$+)’%’):’ ’槡+
!-!$!%解,设-$+":%"由题意得 $ " ……………………………………+分
+ +
+)
’
+’
化简得曲线8的方程为 %:’$!!………………………………………………………"分
+
$’%证明,设6$+":%"7$+":%!
! ! ’ ’
)+$;:)="
联立(+’ 得$;’%+%:’)’;=:)=’%+$3" ……………………………………1分
%:’$!"
*+
因为;’#+"所以;’%+#3"所以!$$’;=%’%&$;’%+%$=’%+%$!’$;’)=’%+%#3"…
……………………………………………………………………………………………/分
) :):$ %’;= "
! ’ ;’%+
则( ………………………………………………………………………-分
=’%+
::$ !
*! ’ ;’%+
)+$;:)="
=
联立( 得:$ !…………………………………………………………2分
槡+ 3
:$ +" 槡+%;
* +
%"6%$槡$+%+%’)$:%:%’$槡!);’%:%:%" ………………………………!!分
3 ! 3 ! 3 !
同理可得%"7%$槡!);’%:%:%"……………………………………………………!’分
3 ’
所以%"6%%"7%$$!);’%%:%:%%:%:%$$!);’%%:’%:$:):%)::%
3 ! 3 ’ 3 3 ! ’ ! ’
=’ ’;=’ =’%+ +槡+%+;
$$!);’% ) ) $$!);’%
$槡+%;%’ $槡+%;%$;’%+% ;’%+ $槡+%;%$;’%+%
+$;’)!%
$ !……………………………………………………………………………!1分
;’%+
故%"6%%"7%只与;有关!………………………………………………………………!/分
!2!$!%解,由题意得;’)’;-;)’"得%’-;-!!…………………………………………’分
因为;#3"所以;的取值范围为$3"!#!…………………………………………………+分
$’%解,$方法一%数列’1(不是-稳定数列.!………………………………………………&分
=
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$%
"!"#!"$"理由如下,
!
当=$!时"1$9$ +……………………………………………………………………"分
! ! &
!
当=+’时"1$9%9 $ =$1 也成立%! ……………………………………………1分
= = =%! & !
! ! ! ! !
由题意得1’ )11 %1%1 $ $=)!%’) =$=)’%% =% $=)’%$ $’=’%&=
=)! ==)’ = =)’ !1 !1 & & !1
%/%"…………………………………………………………………………………………/分
!
当=+&时" $’=’%&=%/%#3"即1’ )11 #1)1 !
!1 =)! ==)’ = =)’
故数列’1(不是-稳定数列.!………………………………………………………………-分
=
$方法二%数列’1(不是-稳定数列.!………………………………………………………&分
=
理由如下,
!
当=$!时"1$9$ +……………………………………………………………………"分
! ! &
!
当=+’时"1$9%9 $ =$1 也成立%! ……………………………………………1分
= = =%! & !
’" ’& 1 2
当=$&时"1’)11%1%1$ ) %!% $ #3" ………………………………/分
" &1 & 1 !1 !1 & !1
即1’)11#1)1!
" &1 & 1
故数列’1(不是-稳定数列.!………………………………………………………………-分
=
$+%证明,由/’ )// -/)/ "得/’ %!-/)/ %// %!$$!%/%$/ %!%"
=)! ==)’ = =)’ =)! = =)’ ==)’ = =)’
……………………………………………………………………………………………2分
假设/ #!"/ #!"得/’ %!#3"/ %!#3"则!%/#3!………………………!3分
=)! =)’ =)! =)’ =
因为/#3"所以3$!%/$!$!)/ "
= = =)’
所以/’ %!-$!%/%$/ %!%$$!)/ %$/ %!%$/’ %!"即/ $/ !# ………
=)! = =)’ =)’ =)’ =)’ =)! =)’
…………………………………………………………………………………………!!分
由/’ %!-$!%/%$/ %!%$$!%/ %$/%!%"得/’ %!-$!%/ %$/ %!%!……
=)! = =)’ =)’ = =)’ =)+ =)!
…………………………………………………………………………………………!’分
因为/’ %!#3"/ %!#3"所以3$!%/ $!$!)/ "
=)’ =)! =)+ =)!
则/’ %!-$!%/ %$/ %!%$$!)/ %$/ %!%$/’ %!"即/ $/ !$ …!+分
=)’ =)+ =)! =)! =)! =)! =)’ =)!
#与$相互矛盾"则/ "/ 不能同时大于!!…………………………………………!&分
=)! =)’
当=+’时"假设/ #!"则/-!"/ -!"则/’ %!#3"$!%/%$/ %!%-3" …!"分
=)! = =)’ =)! = =)’
得/’ %!#$!%/%$/ %!%"不符合题意"所以/ -!!……………………………!1分
=)! = =)’ =)!
故当=+’时"<)’$/)/)/)*)/)’-/)/)!)*)!)’$/)/)=%’)’$
= ! ’ + = ! ’ ! ’
<)=!………………………………………………………………………………………!/分
’
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
"!"#!"$"
