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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
人大附中 2023－2024 学年度第二学期期中初一年级数学练习
2024.4
说明：
1.本练习共6页，共四道大题，27道小题，满分100分，时间90分钟．
2.试题答案一律作答在答题纸的指定区域内，在区域外的作答无效．
一、选择题（本题共30分，每题3分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的定义求解即可．
【详解】解： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟悉相关性质是解题的关键．
2. 下面是5片树叶图，在A、B、C、D四幅图中，能通过图（1）平移得到的是（ ）
（1）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，根据图形的平移只改变位置，不改变大小，形状和方向进行求解是解题
的关键．根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，只有C选项中的图案是图（1）平移得
到的，
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故选：C．
3. 在平面直角坐标系中，点 位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点 位于第二象限．
故选：B．
4. 已知 是二元一次方程 的一个解，那么m的值为（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握二元一次方程的解，解一元一次方程
是解题的关键．
将 代入 得， ，计算求解即可．
【详解】解：将 代入 得， ，
解得， ，
故选：D．
5. 下图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线
段 的长度，其依据是（ ）
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A. 垂线段最短
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用．熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
根据垂线段最短作答即可．
【详解】他的跳远成绩是线段 的长度，这样测量的依据是垂线段最短．
故选： ．
6. 若实数a，b满足 ，那么 的值是（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查算式平方根的非负性．算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即
，当几个非负数的和为 0 时，各数均为 0．根据算式平方根、绝对值的非负性，据
此列等式解出a与b的值即可求解．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
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7. 如图，直线 ，点 E，F 在直线 上，点 M 在直线 上，且满足 ，若
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
由题意知， ，由 ，可得 ，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
8. 如图是老北京城一些地点的分布示意图，在图中，分别以正东，正北方向为 轴， 轴的正方向建立平
面直角坐标系．如果表示东直门的点的坐标为（3.5，4），表示宣武门的点的坐标为（－2，－1），那么
坐标原点所在的位置是（ ）
A. 天安门 B. 正阳门 C. 西直门 D. 阜成门
【答案】A
【解析】
【分析】由东直门的坐标和宣武门的坐标，可以确定出每格表示的长度，再进一步确定坐标原点位置．
【详解】解：根据东直门的坐标和宣武门的坐标，可以确定出每格的长度为1，
将宣武门的坐标向右平移两格，向上平移一格，即为原点坐标的位置，
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根据图可知为：天安门，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了确定出原点、 轴， 轴的位置，解题的关键是：由东直门的坐标和宣武门的坐
标，确定出每格的长度．
9. 如图，长青化工厂从 地购买原料运回工厂，制成产品后运到 地销售，该工厂与 、 两地有公路、
铁路相连，公路运价为 元/（吨·千米），铁路运价为 元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运
费 元，铁路运费 元．请问该工厂的原料和产品各重有多少吨？若设原料重 吨，产品重 吨，
则可以列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．
设原料重 吨，产品重 吨，根据题意即可得出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】设原料重 吨，产品重 吨，
根据题意可得铁路运费 元，包括 地到长青化工厂公路运 吨原料 公里，长青化工厂到 地公路
运产品的 吨 公里，
可列式： ．
根据题意可得公路运费 元，包括 地到长青化工厂铁路运 吨原料 公里，长青化工厂到 地铁
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路运产品的 吨 公里，
可列式： ．
综上，
故选 ．
10. 如图，直线 ，点E，F分别是直线 上的点，点G为直线 之间的一点，连接
， 的平分线交 于点H，若 ， ，则 的度
数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，过点G作 ，利用角平分线的定义
和平行线的性质，求解即可．
【详解】解：过点G作 ，
，
，
平分 ，
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，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
二、填空题（本题共18分，每空2分）
11. 9的算术平方根是_____．
【答案】3
【解析】
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【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【详解】∵ ，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若点 在y轴上，则 的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据y轴上点的横坐标为0进行求解．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
13. 写出一个无理数，使它在 和 之间__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数的概念解答即可．
【详解】解：满足 之间即可，如 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数叫做无理数．初中阶段常遇到的无理数有三类：开方
开不尽的数的方根，如 ， 等；特定结构的数，如 ；特定意义的数，如 ．
14. 在下图中， 和 是同位角的是________（直接填写序号）．
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【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本题考查了同位角，理解同位角的定义是解题的关键．
根据同位角的定义：同位角是指两条直线与第三条直线相交，在第三条直线的同旁，两条直线同一侧的角，
即可求解．
【详解】解：由同位角的定义知：图①、图②中 和 是同位角，
故答案为：②．
15. 在平面直角坐标系中，已知点 、 ，直线 与坐标轴围成的三角形的面积为9，则a的
值为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与三角形面积的综合，知道面积求坐标注意多解．
根据题意得 ，解方程即可．
【详解】解：由题意得， ，解得： ，
故答案为： 或 ．
16. 如图，直线 相交于点O， ， 平分 ，若 ，则
________ ．
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【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算，先由对顶
角相等得到 ，再由垂直的定义得到 ，由角平分线的定义得到
，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17. 如果关于 ， 的二元一次方程组 的解，满足方程 ，则 的值为
________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，通过两式进行变形代入到方程中是解题的关键．
对方程组进行 ，可得出 ，从而代入方程中，得到关于 的方程，解之可得
答案．
【详解】解： ，
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得： ，
得： ，
由于方程组的解，满足方程 ，
故可得 ，
解得： ．
18. 盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓
展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A，B，C三种盲盒，具体信息如下表：
A盲盒 B盲盒 C盲盒
运动耳机（成本：60元/副） 3副 0副 2副
手办模型（成本：45元/个） 0个 2个 3个
迷你音箱（成本：75元/个） 4个 6个 3个
（1）若某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为________个；
（2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了
1个），则迷你音箱的总成本最多为________元．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的列式计算、一次函数的应用等知识点，正确运用一次函数的性质成为解
题的关键．
（1）直接根据题意列式计算即可；
的
（2）设销售A盲盒 个数为x，B盲盒的个数y，则销售C盲盒的个数为 个，根据题意列二元
一次方程可得 ，即销售C盲盒的个数为 个；则迷你音箱的总成本 ，然后
再确定x的取值范围，最后根据一次函数的增减性即可解答．
【详解】解：（1）某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为：
．
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故答案为4．
（2）设销售A盲盒的个数为x，B盲盒的个数y，则销售C盲盒的个数为 个，
则有： ，解得：
，
所以销售C盲盒的个数为 个，
所以迷你音箱的总成本 ，整理得： ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
当 时，y有最大值 ，
∴迷你音箱的总成本最多为 ．
三、解答题（本题共52分，第19，20题每题8分，第21题6分，第22，23题每题5分，第
24题6分，第25－26每题7分）
19. （1）计算： ．
（2）解方程： ．
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查了实数 混的合运算、算术平方根、平方根等知识点，理解平方根和算术平方根的意
义成为解题的关键．
（1）先根据、算术平方根、立方根进行化简，然后再计算即可；
（2）先移项，再根据整体法和平方根的知识求得 ，最后解一元一次方程即可．
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【详解】解：（1）
．
（2）
或
或 ．
20. 解下列方程组．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）用加减消元法求解；
（2）用加减消元法求解．
【小问1详解】
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解：
解：①×2得： ③
③－②得：
将 代入①得：
∴原方程组的解为： ；
【小问2详解】
解：
解：①×3得： ③
②×2得： ④
④＋③得：
得 代入①得：
∴原方程组的解为： ．
21. 如图，E点为 上的点，B为 上的点， ， ，证明：
请补充完整以下证明
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证明：
∵ （已知） （ ）
∴ （等量代换）
∴ ∥ （ ）
∴
又∵ （已知）
∴ （ ）
∴ （ ）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，先进行角的等量代换，得出 ，再结合
，得出 ，即可证明 进行作答．
【详解】证明：∵ （已知）， （对顶角相等），
∴ （等量代换），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，同位角相等），
又∵ （已知），
∴ （等量代换），
∴ （内错角相等，两直线平行），
22. 如图，在平面直角坐标系 中，三角形 的三个顶点的坐标分别是 ， ，
．将三角形 向上平移m个单位（m为正整数），再向右平移n个单位（n为正整数），得
到三角形 ，其中 ， ， 是点A，B，C的对应点．
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（1）当 ， 时，画出平移后的三角形 ，并写出点 的坐标 ；
（2）若 ，且三角形 的面积是1，则 的坐标是 ．
【答案】（1）作图见解析，
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查的是作图—平移变换以及求三角形的面积，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关
键．
（1）由题意得将三角形 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，利用平移变换的性质分别作出
A，B，C的对应点 依次连接即可；
（2）根据 ，三角形 的面积是1，推出点 到x轴的距离为1，则三角形 向上平移1个
单位或3个单位，由m，n为正整数，得到 或 ，根据平移的性质即可得出结果．
【小问1详解】
解： ， 时，
三角形 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
，
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如图所示， 为所求；
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： ，三角形 的面积是1，即 ，
，点 的纵坐标为1或 ，
m，n为正整数， ，
当点 的纵坐标为1时， ，
三角形 向上平移3个单位，则 ，
，
三角形 向上平移3个单位，再向右平移1个单位，
，即 ；
当点 的纵坐标为 时， ，
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三角形 向上平移1个单位，则 ，
，
三角形 向上平移1个单位，再向右平移3个单位，
，即 ；
综上，点 的坐标是 或 ，
故答案为： 或 ．
23. 已知，如图1，直线 与直线 分别交于M，N，P，直线 ，过点的射线
交直线 于点H， ，
（1）求证： ；
（2）如图2，直线 过点N，若 ，求证：射线 为 的角平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质：
（1）根据 ，可得 ，从而得到 ，即可求证；
（2）根据平行线的性质可得 ，从而得到 ，即可求证．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：如图，
∵ ，
∴ ．
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
即 ，
∴射线 为 的角平分线．
24. 小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换，
A变换：首先对实数取算术平方根，减去1；
B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；
例如：实数7经过一次A变换得到 ，实数10经过一次B变换得到2．
（1）①实数25经过一次A变换所得的数是 ；
②实数25经过一次B变换所得的数是 ；
（2）整数m经过两次B变换得到的数是2，则m的最小值是 ；最大值是 ；
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（3）实数x经过一次A变换得到的数是a，实数x经过一次B变换得到的数是b，是否存在x使得 成
立？若存在请直接写出x的值，若不存在请说明理由．
【答案】（1）①4；②2
（2）512，19682
（3）4或9
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算．
（1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可；
（2）根据立方根的定义列式求解即可；
（3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论．
【小问1详解】
解：①根据题意得： ，
故答案为：4；
② ，
，
不超过 的最大整数为2，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：根据题意得： ，
，且m是整数，
m的最小值是512；最大值是 ；
故答案为：512，19682；
【小问3详解】
解：存在，x的值为4或9，
， ，
当 时，即 ，
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，
当 时， ，
，
∴当 时， ，
当 时， ，
，
所以当 时， ，
当 时， 的最小值为 ， 的最小值为3，
，
不存在x值使得 ，
x的值为4或9时， 成立．
25. 已知点A，B，C，D，E均为定点，直线 ，点P为射线 上一个动点（点P不与点A重
合），连接 ，
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（1）如图1，当点P在线段 上时，若 ， ，直接写出 的度数；
（2）点M为直线 下方的动点，连接 ， 平分 ，
①如图2，当点P在线段 上时，连接 ，若 平分 ，用等式表示 与 之间的
数量关系，并证明；
②如图3，当点P在直线 的下方运动时（点P在射线 上），射线 平分 ，点K在直线
的下方，且满足射线 ，若 ，请直接写出 的度数．
【答案】（1）
（2）① ，证明见详解；② 或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键．
（1）过点P作 ，则 ，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）①过点P作 ，过点M作 ，设 ， ，可得
，则 ，则 ，
即可求证；
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②当点P在线段 上时，过点P作 ，而 ，则 ，通过平行线的性质得到
，即 ，解得 ；当点P在线段 延长线上时，过点
P作 ， ，设 ， ，通过平行线的性质和角平分线的意义得到
，代入得 ，解得 ．
【小问1详解】
证明：过点P作 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
①解： ，
设 ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
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过点P作 ，过点M作 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当点P在线段 上时，过点P作 ，而 ，则 ，
设 ，设
∵ 平分 ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当点P在线段 延长线上时，
过点P作 ，则 ，设 ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
综上： 的度数为 或 ．
26. 在平面直角坐标系 中，对于互不重合的两个点 ， ，令 ， ，
若点P的坐标为 ，我们称点P为点A关于点B的友好点．
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例如，已知 ， ，则 ， ，点A关于点B的友好点为
（1）已知 ， ，
①则点A关于点B的友好点的坐标为 ；
②若点B关于点C的友好点是点A，则点C的坐标为 ；
（2）已知点D在第一三象限的角平分线上，点D关于 的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于
到y轴距离的2倍，求点F的坐标；
（3）已知点 ， ，点O为坐标原点，点M与点N为三角形 边上的任意两个
不重合的两个点，若点Q为点M关于点N的友好点，则所有可能的点Q形成的图形的面积为 ．
【答案】（1）① ；②
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据定义直接计算即可，②根据定义列方程即可求解；
（2）设点D的坐标为 ，根据定义和点F到x轴的距离等于到y轴距离的2倍列方程求出a，进而可
得点F坐标；
（3）根据定义，由点M、N在三角形的端点位置求出点Q组成图形的边界点，进而求出面积．
【小问1详解】
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解：①∵ ， ，根据友好点定义得：
， ，
的
②设点C 坐标为 ，依题意得：
解得： ，
故点C的坐标为 ，
故答案为① ；②
【小问2详解】
设点D的坐标为 ，设点F的坐标为 ，由点D关于 的友好点为点F，可得：
， ，即点F的坐标为 ，
由点F到x轴的距离等于到y轴距离的2倍，得：
，
当 时， ，此时 ， ，即点F的坐标为 ，
当 时， ，此时 ， ，即点F的坐标为 ，
【小问3详解】
如图：点M与点N为三角形GOH边上的任意两个不重合的两个点，若点Q为点M关于点N的友好点，
当点M在原点时，点N在H点时，友好点 坐标为 ，
当点M在原点时，点N在Q点时，友好点 坐标为 ，
当点M在H点时，点N在原点时，友好点 坐标为 ，
当点M在Q点时，点N在原点时，友好点 坐标为 ，
当点M在G点时，点N在点H时，友好 坐标为 ，
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当点M在H点时，点G在原点时，友好点 Q坐标为 ，
所有可能的点Q形成的图形是 ，如图：
其面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查坐标与图形、方程的意义，理解题中定义，从中得出坐标间的关系，利用数形结合和分
类讨论思想求解是解答的关键．
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