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2023 年北京丰台区十八中左安门分校八年级下期末数学试卷
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A. 点 与点 是对称点 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称的性质判断即可．
【详解】解： 与 关于点 成中心对称，
点 与 是一组对称点， ， ， ，
， 都不合题意；
∴ ，
∴
∴ ，
C不符合题意；
与 不是对应角，
不成立，
D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
2. 若点 与点 关于 轴对称，则 ， 的值分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），即关于横轴的对
称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，据此回答.
【详解】解：∵点P（-2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，
∴a，b的值分别是-2，-3
故选：C．
【点睛】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识
记的内容．
3. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出
一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】画树状图：
∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，∴两次都摸到红球的概率是 ．
故选C．
4. 函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠1 B. x＞0 C. x≥1 D. x＞1
【答案】D
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，x-1≥0且x-1≠0，
解得x＞1．
故选D．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，
选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩
形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出
平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边
形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行
四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选B．
6. 若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形的边数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：因为多边形的内角和公式为 ，
所以， ，
解得， ，
所以这个多边形的边数是6．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学
生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．
7. 如图所示，函数 和 的图像相交于 ， 两点，当 时， 的取值
范围是（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先由已知得出y＝x或y＝−x又相交于（−1，1），（2，2）两点，根据y＞y 结合图像的位置
1 1 1 2
关系，即可求出x的取值范围．
【详解】解：∵当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝−x， 两直线的交点为（2，2），（−1，1），
1 1
∴由图象可知：当y＞y 时x的取值范围为：x＜−1或x＞2．
1 2
故选C．
【点睛】此题考查的是两条直线相交问题，关键是掌握，当y＞y 时x的取值范围等价于y 所对应的图像
1 2 1
在y 所对应的图像上方部分图像上点的横坐标的范围．
2
8. 如图，扇形 的半径 ，圆心角 ， 是 上不同于 ， 的动点，过点 作
于点 ，作 于点 ，连接 ，点 在线段 上，且 ．设 的长为
， 的面积为 ，下面表示 与 的函数关系式的图象可能是()A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 ，在矩形 中， ，勾股定理求得 ，进而求得 ，根据
，得出 ，根据图象得出符合要求的图象．
【详解】解：连接 ，
在矩形 中， ，
， ，
，
．
，．
由函数关系式可以确定图象不能是一次函数，所以排除B、D；
当 时， ，
当 时， ，因为 ，故排除C，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，得出函数解析式进而得出符合要求的图象是解决问题的关
键．
二、填空题（共4小题；共20分）
9. 如图，▱ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A=115°，则∠BCE=________度．
【答案】25
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质求得∠B的度数，再根据三角形的内角和为180°即可求得结果．
【详解】解：∵▱ABCD
∴AD∥BC
∴∠B=180°-∠A=65°
又∵CE⊥AB，
∴∠BCE=90°-65°=25°
故答案为：25．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的内角和，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的邻
角互补，三角形的内角和为180° .
10. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA= ，BE=4，则tan∠DBE的值是___．【答案】2．
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．
∵cosA= ，BE=4，DE⊥AB，∴设AD=AB=5x，AE=3x．
∵BE=4，∴5x﹣3x=4，解得x=2．∴AD=10，AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理得： ，
在Rt△BDE中， =2．
考点：菱形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理．
11. 一组数据 ， ， ， ， 的方差为 ，另一组数据 ， ， ， ， 的方差为 ，那么
________________ （填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】观察两组数据，哪一组数据的波动小，哪一组数据的方差就小，据此求解.
【详解】解：∵观察两组数据发现，第一组数据相对第二组数据更加稳定，
∴第二组数据的方差就大，
故答案为： .
【点睛】本题考查了方差的意义，解题的关键是观察数据，找到波动较小的就方差小，也可以分别求得方
差后再比较，难度不大.
12. 在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（ ，1），若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°
后，B点到达B′点，则点B′的坐标是_______．【答案】（ ， ）
【解析】
【分析】根据A点坐标可知∠AOB=30°，因此旋转后OA在y轴上．如图所示．作B′C′⊥y轴于C′点，
运用三角函数求出B′C′、OC′的长度即可确定B′的坐标．
【详解】解：将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，位置如图所示，作B′C′⊥y轴于C′点，
∵A的坐标为 ，
∴OB= ，AB=1，∠AOB=30°，
∴OB′= ，∠B′OC′=30°，
∴B′C′= ，OC′= ，
∴B′
三、解答题（共12小题；共156分）
13. 已知一次函数的图象过点 与点 ，求这个一次函数的解析式．
【答案】
【解析】【分析】设一次函数解析式为 ，把两个已知点的坐标代入得到k、b的方程组，然后解方程组即
可．
【详解】设其解析式为 ．
代入 ， ，得
解得
这个一次函数的解析式为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，
先设 ；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程
或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
14. 已知 ．当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？x为何值时，y的值与 的值互
为相反数．
【答案】 或 ； 或
【解析】
【分析】先根据题意列出方程，即可解得结果．
【详解】由题意得 ，解得 或 ，
则当 或 时，y的值与4x+1的值相等；
由题意得 ，解得 或 ，
则当 或 时，y的值与 的值互为相反数．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程．解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，正确列出方程．
15. 已知：如图， 、 是平行四边形 对角线 上两点， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明 ， ，再证明 ，从而可得结论．
【详解】证明： 在平行四边形 中， ， ，
．
又 ，
，
在 和 中，
∴ ，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练的利用 证明三角形全等是
解本题的关键．
16. 先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）﹣1，其中x= ．
【答案】2x，1
【解析】
【分析】先运用平方差公式、单项式乘多项式法则化简，然后再代入计算即可．
【详解】解：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）﹣1
=1﹣x2+x2+2x﹣1
=2x，当x= 时，原式=2× =1．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式等运算法则成为解答本题的
关键．
17. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作 ，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形；为什么．
【答案】（1）证明见解析；（2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边
分别平行的四边形是平行四边形证明.
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
【详解】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴
又∵ ，
∴四边形DBFE是平行四边形.
（2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．
理由如下：
∵D是AB的中点，
∴BD= AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，
∵AB=BC，
∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE 是菱形．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判
定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．
18. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值．
【答案】（1）k＜ ；（2）2
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不
等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【详解】解：（1）∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ．
解得：k＜ ；
（2）∵k为正整数，
∴k=1或2．
当k=1时，方程为 ，两根为 ，非整数，不合题意；
当k=2时，方程为 ，两根为 或 ，都是整数，符合题意．
∴k的值为2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的
关系是解答的关键．19. 以下是根据北京市统计局公布的2010—2013年北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入的
数据绘制的统计图的一部分：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）2012年农民人均现金收入比2011年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05万元，则2012年农民人
均现金收入是 万元，请根据以上信息补全条形统计图，并标明相应的数据（结果精确到0.1）；
（2）在2010—2013年这四年中，北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入相差数额最大的年
份是 年；
（3）①2011—2013年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率最接近 ；
A． B． C． D．
②若2014年城镇居民人均可支配收入按①中的年平均增长率增长，请预测2014年的城镇居民人均可支配
收入为 万元（结果精确到0.1）.
【答案】（1）1.6 （2）2013
（3）①C；②4.4
【解析】
【分析】（1）利用条形统计图得出2011年城镇居民人均可支配收入为3.3万元，进而得出2012年农民人
均现金收入；利用折线统计图求出2012年城镇居民人均可支配收入的增长率，再进行计算即可；
（2）利用折线条求出2012年城镇居民人均可支配收入，进而分别求出各年份的城镇居民人均可支配收入
和农民人均现金收入相差数额进而得出答案；
根据2011年以及2013年城镇居民人均可支配收入进而得出等式方程求出即可；
②利用①中所求直接求出2014年的城镇居民人均可支配收入即可．
【小问1详解】
解：∵由条形图可得出：2011年城镇居民人均可支配收入为3.3万元，
2012年农民人均现金收入比2011年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05万元，∴2012年农民人均现金收入是： （万）；
为
故答案 ：1.6；
∵2011年到2012年城镇居民人均收入增长率为9.1%，
∴2012年人均可支配收入为 （万元），
补图如下：
【小问2详解】
∵2011年到2012年城镇居民人均可支配收入增长率为9.1%，
∴2012年人均可支配收入为： （万元），
∵ （万）， （万）， （万）， （万），
∴在2010-2013年这四年中，北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入相差数额最大的年份是
2013年；
故答案为：2013；
【小问3详解】
①设2011-2013年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率为x，则
，
解得： （不合题意舍去），
故选C；
②由①得：2014年的城镇居民人均可支配收入为： （万）．
故答案为：4.4．【点睛】此题考查了折线统计图与条形统计图，一元二次方程的应用（增长率问题），熟练掌握各知识点
是解题的关键．
20. 如图，直线l上有一点P（2，1），将点P 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P，
1 1 2
点P 恰好在直线l上．
2
（1）写出点P 的坐标；
2
（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；
（3）若将点P 先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P．请判断点P 是否在直线l上，并说
2 3 3
明理由．
【答案】P（3，3）；y=2x﹣3；在.
2
【解析】
【详解】分析：（1）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），把点P1、P2的坐标代入，
利用待定系数法求得系数的值；（2）根据平移的规律得到点P3的坐标为（6，9），代入直线方程进行验
证即可．
本题解析：（1）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），
∵点P（2，1），P（3，3）在直线l上，
1 2
∴ ， 解得 ．
∴直线l所表示的一次函数的表达式为y=2x﹣3．
（2）点P在直线l上．
3
由题意知点P的坐标为（6，9），
3
∵2×6﹣3=9，
∴点P在直线l上．
3
21. 如图，在矩形 中， ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ， ， ， 与交于点 ， 与 交于点 ．求证：四边形 为菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接 ，先根据矩形的性质，得到四边形 是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得
出 ，同理可得： ，进而得出四边形 为平行四边形，易知 ，且
，再根据平行四边形的判定，得出四边形 是平行四边形，再根据矩形的判定定理，得出
四边形 是矩形，再根据菱形的判定定理，即可得出四边形 为菱形．
【详解】解：如图，连接 ，
四边形 是矩形，
，且 ，
又∵ ， 分别是 ， 的中点，
， ，
，且 ，
四边形 是平行四边形，
，
同理可得： ，
四边形 是平行四边形．
易知 ，且 ，四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
，
，
四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，解题的关键是熟练掌握
以上知识点并运用数形结合思想．
22. 在平面直角坐标系 中，对于 、 两点给出如下定义：若点 到 、 轴的距离中的最大值等于
点 到 、 轴的距离中的最大值，则称 、 两点为“等距点”，如图中的 、 两点即为“等距点”．
（1）已知点 的坐标为
①在点 、 、 中，点 的“等距点”是_______；
②若点 在直线 上，且 、 两点为“等距点”，则点 的坐标为________；
（2）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
①若 、 是直线 上的两点，且 、 为“等距点”，求 的值；
②当 时，半径为 的 上存在一点 ，线段 上存在一点 ，使得 、 两点为“等距点”，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① 、 ；② ；（2）① 的值为1或2；② ．
【解析】【分析】（1）①找到与 、 轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到 、 轴距离中有3的
点，再根据“等距点”的定义，进行选择即可；
（2）①先表示出 ， ，依据“等距点”定义，分两种情况讨论：当 时，当
时，分别求出k的值，即可；②先求出 、 点坐标以及 长度，分析出 点到坐标轴距离
的最大值中，最小数为 ，最大数为3，从而确定 的最小值和最大值．
【详解】（1）① 点 到 、 轴的距离中最大值为3，点 到 、 轴的距离中最大值为
3， 到 、 轴的距离中最大值为3，
点 的“等距点”是： 、 ．
故答案是： 、 ；
②点 在直线 上，当点 到 、 轴距离，其中至少有一个为3的点有 、 、 ，
这些点中， 的“等距点”是 ．
故答案为： ；
（2）① 、 是直线 上的两点，
， ．
，
， ．
依据“等距点”定义可得：
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ．
的
综上所述， 值为：1或2；② ，
与坐标轴交点 、 ， ．
∵ 点在线段 上，则 点到 、 轴 的距离最大值中，最小数为 ，最大数为3，
∴若半径为 的 上存在一点 与 是“等距点”，则 最小值为 ， 的最大值 ．
∴ 的取值范围为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质以及圆的性质，此题属于阅读理解类型题目，读懂“等距点”
的定义，而后根据定义解决问题，需要有扎实的基础，较强的阅读理解、迁移运用的能力．
23. 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，
垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给
予证明．
【答案】解：（1）AE∥BF，QE=QF;（2）QE=QF，证明见解析；（3）成立，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可．
（2）证 FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】△（1）如图，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ．
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．在 BFQ和 AEQ中， ，
△ △
∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．
∴QE=QF．
（2）QE=QF，证明如下：
如图，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ．
在 FBQ和 DAQ中，
△ △
∵ ，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）．
∴QF=QD．
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角△DEF斜边上的中线．
∴QE=QF=QD，即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立．证明如下：
如图，延长EQ、FB交于D，∵AE∥BF，
∴∠1=∠D．
在 AQE和 BQD中，
△ △
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD．
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线．
∴QE=QF．
24. 如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）AC＝16.9
【解析】【分析】（1）由BC＝13，CD＝12，BD＝5，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，
（2）由（1）可求出AC的长．
【详解】证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，52+122=132，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝16.9，
∴AC＝16.9．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．
