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北师大实验中学 2022~2023 九上数学期末模拟（二）
一、选择题：（本题共16分，每小题2分）
1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 圆
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转 180°后能够与自身重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确，
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合，难度适中．
2. 二次函数 的最小值为（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将二次函数的表达式通过配方，改写为顶点式，即可进行解答．
【详解】解：二次函数 ，
∴当 时，函数有最小值，最小值为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是将二次函数的一般式改写为顶点式．
3. 将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：抛物线 向左平移3个单位长度可得 ，再向下平移5个单位长度可得
，
故选：A
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．
4. 一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，则它的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，圆锥侧面积为扇形，圆锥的底面周长为扇形的弧长，圆锥的母线长为扇形的半径，
根据扇形面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵底面半径为 ，高为 ，
∴圆锥的底面周长为： （ ），母线长为： （ ），
∵扇形的半径为 ，弧长为 ，
∴扇形的面积是： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了已知弧长求扇形面积，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积为扇形，圆锥的底面周
长为扇形的弧长，圆锥的母线长为扇形的半径，扇形面积公式： ．
5. 如图， 是 的直径， 是弦，若 ，则 等于（ ）A. 46° B. 56° C. 66° D. 68°
【答案】B
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得 ，即可求出 的度数，最后根据同弧所对
的圆周角相等，即可进行解答．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的相关内容，解题的关键是熟练掌握：直径所对的圆周角为直角，同弧所对的
圆周角相等．
6. 如图， 绕点A，顺时针旋转 ，得到 ，点E落在 边上，连接 ，当 时，
的度数为（ ）
A. 24° B. 42° C. 48° D. 66°【答案】A
【解析】
【详解】解：连接 ，
∵ 绕点A，顺时针旋转 ，得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，
对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，等腰三角形“等边对等角”．
7. 近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有
统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44
万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率
为 ，则可列出关于 的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】结合题意，根据增长率和一元二次方程的性质分析，即可得到答案．
【详解】∵从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人
增加到约6.72万人，且2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为
∴关于 的方程为：
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，并运用到实际问
题中，即可得到答案．
8. 现有函数： ，如果对于任意实数n，都存在实数m，使得当 时， ，
那么实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出一次函数 和二次函数 的两个交点坐标，由图可知，要
满足函数值可取任意实数，则在取值范围内必须包含其中一个交点，再进行分类讨论即可．
【详解】解：联立方程组 ，
解得： ， ，
∴一次函数 和二次函数 的交点坐标为： ．
如图：画出一次函数函数 和二次函数 的图象，∵二次函数 ，
∴二次函数顶点坐标为： ．
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
∴a的取值范围为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握相关内容，根据函数值可取任
意实数，进行分类讨论，数形结合是解决此类问题的常用方法．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 写出一个二次函数的解析式，使其图像过原点且当 时，y随x增大而增大，则该抛物线的解析式为
___________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数图像性质可得∶过原点 ， ，y随x增大而增大则对称轴小于等于2且开
口向上，按照要求写出即可．
【详解】∵图像过原点且当 时，y随x增大而增大
∴可以是故答案为： （答案不唯一）
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质．
10. 若正方形的边长为2，则它的外接圆半径的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线的长，得到外接圆的直径，即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵正方形的对角线相交于点O，则 ，
即O为正方形外接圆的圆心，
∵正方形边长为2，
∴正方形的对角线长为 ，
∴外接圆直径为 ，
∴外接圆半径的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
11. 关于x的一元二次方程 ，有一个根是2，则另一个根是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握 ， ．
12. 抛物线 如图所示，则 ___________0．（填“>”、“=”或“＜”）
【答案】>
【解析】
【分析】根据开口方向，得出a的符号，根据对称轴，得出b的符号，根据图象与y轴交点，得出c的符
号，即可进行解答．
【详解】解：∵函数图象开口向上，
∴ ，
∵函数对称轴在y轴的右侧，
∴ ，则 ，
∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键在熟练掌握二次函数各系数和图象的关系．13. 如图，在 中，直径 弦 于点E，若 ， ，则 ___________．
【答案】40
【解析】
【分析】连接 ，根据垂径定理得出 ，再根据勾股定理求出半径即可进行解答．
【详解】解：连接 ，
设 ，
∵直径 弦 于点E， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，∴ ．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出弦心距，构建直角三角形，根据勾股定
理求出半径．
14. 点P是 外一点，过点P作 的两条切线，切点分别为点A、点B，如果 ， ，
那么 ___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：如图：
∵ 分别为 的两条切线，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆的切线长定理，解题的关键是掌握：圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等．
15. 袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑
色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操
作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频
率是___________，估计袋中黑色围棋子的数量为___________枚．
【答案】 ①. ②. 140
【解析】
【分析】根据频率的定义和计算公式，即可求出摸出白色围棋子的频率，再根据频率与概率的关系，得出
摸出白色围棋子的概率，即可求解．
【详解】解：摸出白色围棋子的频率 ．
∵经过大量重复实验，摸出白色围棋子的频率 摸出白色围棋子的概率，
∴袋中围棋子总量 （枚），
∴黑色围棋子的数量 （枚）．
故答案为： ，140．
【点睛】本题主要考查了频率的计算，以及用频率估计概率，解题的关键是掌握：经过大量重复实验，事
件发生的频率在一个常数附近摆动，这个常数接近事件发生的概率．
16. 如图， 是正方形 的外接圆， ，点 是 上任意一点， 于 ．当点
从点 出发按顺时针方向运动到点 时，则 的最小值为_____．
【答案】【解析】
【分析】首先证明点 的运动轨迹是 为直径的 ，连接 交 于点 ，求出 的最小值即
可；
【详解】如图，
∵ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹是 为直径的 ，连接 交 于点 ，
在 中， ，
∴ ，
∴当点 从点 出发按顺时针方向运动到点 时， 的最小值为 ．
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是正确寻找点 的运
动轨迹，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共68分）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解： ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）计算根 的判别式，判断其符号即可；
（2）求得方程的两根，再结合条件求范围即可．
【小问1详解】
解：
∴ ，
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
，
∴ ，
解得： ，
∵该方程有一个根是正数，
∴ ，即m的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根是解题的关键．
19. 下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知： 中， ．
求作： ，使得 ．
作法：如图，
①分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M、N点，作直线 ；
②分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于P、Q点，作直线 ， 和 交
于点D；
③连接 和 ；以点D为圆心， 的长为半径作 ．所以 ．
根据小菲设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接
∵ 和 分别为 、 的垂直平分线，
∴ ___________ ．（___________）（填推理的依据）∴点D是 的外接圆的圆心．
∵点C是 上的一点，
∴ ．（___________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2） ，线段垂直平分线的性质，圆周角定理
【解析】
【分析】（1）根据作图步骤完成作图即可；
（2）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等可知： ，则点D是
的外接圆的圆心，由同弧所对圆周角等于所对圆心角的一半可知： ．
【
小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
证明：连接 ，∵ 和 分别为 、 的垂直平分线，
∴ （线段垂直平分线的性质），
∴点D是 的外接圆的圆心．
∵点C是 上的一点，
∴ ．（圆周角定理）．
故答案为： ，线段垂直平分线的性质，圆周角定理
【点睛】本题考查尺规作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理，能够熟练掌握线段的垂直平分线的
性质，圆周角定理是解决本题的关键．
20. 已知二次函数 过点 、 、 ．
（1）求二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中用描点法画出函数图象；
（2）当 时，x的取值范围是___________；
（3）当 时，y的取值范围是___________．
【答案】（1） ，图象见解析（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据点 、 可得出该函数的对称轴，从而得出a和b之间的关系，再将点
代入即可求解，根据函数表达式，根据列表，描点，连线的步骤，画出图象即可；
（2）根据图象即可求出x的取值范围；
（3）根据图象即可求出y的取值范围．
【小问1详解】
解：∵函数经过点 、 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
把点 代入得： ，解得： ，
∴ ，
∴该函数的解析式为： ．
列表得：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 0 3 4 3 0
∴该函数的图象如图所示：【小问2详解】
由图可知：当 时， 或 ．
故答案为： 或 ．
【小问3详解】
由图可知：当 时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法
步骤，根据函数图象求解不等式的解集．
21. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作
是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获
得如下数据，在距立柱水平距离为x米的地点，水柱距离湖面的高度为y米．
x（米） 0
y（米）
请解决以下问题：
的
（1）在网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，画出y关于x 函数图像；（2）结合表中所给数据或所画图象，这条水柱最高点距离湖面的高度是___________米；
（3）求y关于x的函数表达式；（不用注明自变量的取值范围）
（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上
的落点均在护栏内部，且到护栏的水平距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护
栏（不考虑接头等其他因素）．
【答案】（1）见解析 （2）5
（3）
（4）64米
【解析】
【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可；
（2）观察图象即可；
（3）根据 得出函数的对称轴，得出顶点坐标为 ，将函数设为顶点式，再将
代入求解即可；
（4）在求得的解析式中令 ，则可求得x的值，即可确定所需护栏的长度．
【小问1详解】
解：如图所示：【小问2详解】
由图可知：条水柱最高点距离湖面的高度5米．
故答案为：5．
【小问3详解】
∵该函数经过点 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，
∴顶点坐标为： ，
设函数表达式为： ，
将 代入得： ，
解得： ，
∴函数表达式为 ．
【小问4详解】
令 ，则 ，解得： （舍），
∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为7米．
∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，
∴正方形护栏的边长至少为 （米），
则公园至少需要准备 （米）的护栏．【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次
方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键．
22. 在正方形ABCD内有一点P， ， ， ．求∠APB的度数．
【答案】
【解析】
【分析】 绕A逆时针旋转 到 ，连接 ，根据勾股定理逆定理求得 ，即
可求出 ．
【详解】 绕A逆时针旋转 到 ，连接 ，
根据旋转的性质可知，
， ， ，
∴
根据勾股定理可得∶
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理，解题的关键是利用旋转的性质作图．
23. 如图，AB为 的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD， ， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求CD的长．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得 ，再根据三角形的内角和即可求解；
（2）过点O作 于点F，连接 ，先求出 ，从而得出 ，
，即可求出 的长度，再根据 的长度求出 的长度，最后根据垂径定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ．
【小问2详解】
过点O作 于点F，连接 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理以及解
直角三角形的方法．
24. 在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球
2只、红球1只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1）随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球的概率是多少？
（2）随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能
的结果，并求两次都摸出白球的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）让白球的个数除以球的总数即可；
（2）列出树状图，用符合条件的结果数除以所有可能的结果即可．
【详解】解：（1）摸出白球的概率是 ；
（2）列举所有等可能的结果，画树状图：
∴两次都摸出白球的概率为P（两白）= ．
【点睛】本题考查了概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
25. 已知：如图所示， 是 直径， ，C在 上，连接 ，在 延长线上取一
点E，使 ，连接 ．
（1）判断 的形状并证明；
（2）过D作 于F，射线OF交 于G，作 于H：
①请你按照要求补全图形；
②探索 与 位置关系，并证明你的结论．【答案】（1） 是等腰直角三角形．
（2）①见详解；② 与 相切，证明见详解．
【解析】
【分析】（1）连接 ．由题意易得出 ， ，
，从而得出 ．即易证 ，即证明 ，
，可得 是等腰直角三角形；
（2）①根据题意补全图形即可；
②连接 ，延长 交 于点I．由直径所对圆周角为直角即得出 ．从而可证
，进而可证 为等腰直角三角形．再根据圆的对称性即得出 ．最
后根据平行线的性质可得出 ，即证明 与 相切．
【小问1详解】
如图，连接 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
又∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
【小问2详解】
①补全图形如下；
②如图，连接 ，延长 交 于点I．
∵ 为直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∵ ，
为
∴ 等腰直角三角形．
∵ 经过圆心O，即 为 直径的一部分，
∴ （圆的对称性）．
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的切线，即 与 相切．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理
的推论，等腰直角三角形的判定和性质，圆的对称性，切线的判定等知识．正确作出辅助线是解题关键．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）直接写出该抛物线经过的定点的坐标；
（2）已知点 在此抛物线上，其中 ．若 ，且 ，比较 、 的
大小，并写出理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令 ，即可得出结论；
（2）根据 得 ，说明 的中点在对称轴的右侧，即 离对
称轴较近，由 和函数开口方向，即可求解．
【小问1详解】
解：令 ，则 ，
∴抛物线经过的定点的坐标为 ；【小问2详解】
将点 代入 得：
，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴函数开口向上，
∴该函数的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 的中点在对称轴的右侧，即点 离对称轴更近，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、对称轴公式、顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27. 如图，在等边三角形ABC中，点P为 内一点，连接AP、BP、CP，将线段AP绕点A顺时针旋
转60°得到 ，连接 、 ．
（1）用等式表示 与 的数量关系，并证明；
（2）当 时，
①求 的度数；
②若M为 的中点，连接 ，请用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1） ，证明见解析
（2）① ，②
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质可得 ，即可得出结论；
（2）①根据 可得 ，根据等边三角形
的性质可得，从而得到 ，进而得到 ，即可求解；②延长
至点N，使 ，连接 ．通过证明 ，从而得到
，进而得到 ，则可得到 即可求解．
【小问1详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵线段 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
①∵
∴
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴
∴ ；
②延长 至点N，使 ，连接 ，
∵点M为 的中点，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边
三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 和图形 有如下定义，若在图形 上找到任意一点 ，使得在
线段 延长线上存在点 ，使得 ，所有点 所组成的图形 ，称点 关于图形 进行了一次倍
变换，则图形 是点 关于图形 的倍变换图形．图形 上所有点都关于图形 再进行一次倍变换组成
图形 ，称 为点 关于图形 的双倍变换图形．
（1）若图形N为线段 ， ， ，则 ， ， ， 中哪
些点在原点关于图形N的双1倍变换图形 上？
（2）图形N为半径为1的圆，若点 在原点关于图形N的双1倍变换图形 上，直接写出m的取值
范围；
（3）若图形N是圆心为 ，半径为1的圆，求在原点关于图形N的双2倍变换图形 的面积．
【答案】（1） ， ，
（2） 或
（3）
【解析】【分析】（1）根据定义，线段的长度为2，经过一次倍变长为 ，双1倍变换图形 的长为 ，画出图形，
即可求解．
（2）图形 为圆心 ，半径为1的圆， 是半径为2的圆， 是半径为4的圆，且圆心都在
上，根据 相切时求得 的值，进而即可求解．
（3）根据定义，可知 为半径为4的圆，据此即可求解．
【小问1详解】
解：如图，线段的长度为2，经过一次倍变长为 ，双1倍变换图形 的长为 ，
∴ ， ，在原点关于图形N的双1倍变换图形 上，
【小问2详解】
解：根据定义可知，图形 为圆心 ，半径为1的圆， 是半径为2的圆， 是半径为4的圆，且
圆心都在 上当 外切时，
∴
当 内切时，
解得：∴
当 时，如图，根据对称性可得 ，综上所述， 或 ；
【小问3详解】
解：如图， 的面积为 ．
【点睛】本题考查了位似变换，圆与圆的位置关系，掌握位似变换与新定义是解题的关键．
