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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京实验学校 2023－2024 学年第一学期初中部期中考试
初三数学
2023.10
一、选择（本题共30分，每小题3分）
1. 如果3x=5y，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、由 得5x=3y，故本选项不正确；
B、由 得3x=5y，故本选项正确；
C、由 得5x=3y，故本选项不正确；
D、由 得5x=3y，故本选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
2. 如图，在△ABC中，DE//BC， =2， 若AE=6，则EC的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 9
【答案】A
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【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ = =2，
∵AE=6，
∴EC=3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3. 抛物线 的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数顶点式 的顶点坐标为 ，掌握顶点式求顶点坐标是解
题的关键．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故选：C．
4. 将抛物线 的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案．
【详解】解：根据平移规律可知，得到的抛物线的解析式是 ，
故选：B．
5. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则 ABC的面积与 DEF的面积
比为（ ） △ △
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A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】 ABC∽△EDF，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．
【详解】△解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1，
则有AB=1，BC= ，AC= ，DE=2，EF= ，DF=
，
∴ ，
∴△ABC∽△EDF，
∴S ：S = ，
ABC DEF
△ △
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(
)
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A. x＝－3，x＝0 B. x＝3，x＝－1
1 2 1 2
C. x＝－3 D. x＝－3，x＝1
1 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,根据（-3,0）找到另一个交点即可解题.
【详解】解：由图可知,抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,
∵对称轴为x=-1,其中一个交点为（-3,0）
为
∴另一个交点 （1,0）,
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,抛物线与x轴的交点,属于简单题,读图能力是解题关键.
7. 关于反比例函数 ，下列说法正确 的是（ ）
A. 函数图像经过点（2，2）； B. 函数图像位于第一、三象限；
C. 当 时，函数值 随着 的增大而增大； D. 当 时， ．
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
【详解】A、关于反比例函数y=- ，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；
B、关于反比例函数y=- ，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；
C、关于反比例函数y=- ，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；
D、关于反比例函数y=- ，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
8. 如图，在菱形 中，点E在边 上，射线 交 的延长线于点F，若 ， ，则
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AF的长为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质，得到： ，从而得到： ，再根据菱形的四边相等，
和 ，得到 ，再根据相似三角形对应边对应成比例，列式求解即可．
【详解】解：∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
解得： ；
故选C．
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【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的对边平行，四边相等，证明三
角形相似，是解题的关键．
9. 如图，函数 与函数 的图象相交于点 ．若 ，则x的取值范围
是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可知函数 与函数 的图象相交于点M、N，若 ，即观察直线图象
在反比例函数图象之上的x的取值范围．
【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为 或 ，
故本题答案为： 或 ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象 的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集
是解答此题的关键．
10. 如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为
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．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（
）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【解析】
【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
，整理得： ，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．
二、填空（本题共24分，每小题3分）
11. 函数 中自变量x的取值范围是__．
【答案】x≠3
【解析】
【详解】根据题意得x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为x≠3．
12. 如果抛物线 开口向下，那么 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“当 时，抛物线 向上
开口；当 时，抛物线 向下开口．”是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 开口向下，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13. 将二次函数 化为 的形式，结果为y=_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化
为顶点式．
【详解】解：y=x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5．
故答案为：（x+2）2-5．
【点睛】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：
y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-
x）（x-x）．
1 2
14. 已知二次函数 的图象与 轴有两个公共点，则 的取值范围是________．
【答案】 ##k＜0.25
【解析】
【分析】根据b2-4ac与零的关系即可判断出二次函数 的图象与x轴交点的个数．
【详解】解：根据题意，得Δ=b2-4ac＞0，即
（-1）2-4×1×k＞0，
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解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，得出Δ=b2-4ac＞0是解题关键．
15. 请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_________
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a<0，与y轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可．
【详解】∵抛物线开口向下，并且与y轴交于点（0,1）
∴二次函数的一般表达式 中，a<0，c=1，
∴二次函数表达式可以为： （答案不唯一）.
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系
是解题的关键.
16. 如图，若点P在反比例函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点
N，则矩形PMON的面积为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】设PN＝a，PM＝b，根据P点在第二象限得P（﹣a，b），根据矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设PN＝a，PM＝b，
∵P点在第二象限，
∴P（﹣a，b），代入y＝ 中，得
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k＝﹣ab＝﹣3，
∴矩形PMON的面积＝PN•PM＝ab＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，即S =
矩形PMON
17. 已知二次函数 的图象上两点 ， ，若 ，则 ___________
（填“>”，“<”或“=”）．
【答案】<
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向及对称轴可得x<0时y随x增大而增大，进而求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴x<0时，y随x增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中， ， ，如果抛物线 与线段AB有公共点，
那么a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别把A、B点的坐标代入 得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
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【详解】解：把 代入 得 ；
把 代入 得 ，
所以a的取值范围为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
三、解答题（本题共46分，19，20题，每题5分，21—26题，每题6分）
19. 已知：如图，在 中， 是 上一点， 是 上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；
（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
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∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
20. 已知二次函数 ．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）求该二次函数图象与 轴、 轴的交点；
（3）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象；
（4）结合函数图象，直接写出当 时， 的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为 ，对称轴为
（2）与x轴交点为 ， ；与y轴交点为
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画函数图象，二次函数图象与不等式的关系；
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（1）将函数解析式运用配方法化成顶点式即可解答；
（2）令 ，求出x的值，可得函数图象与x轴的交点；令 ，求出y的值，从而可得函数图象与y
轴的交点；
（3）根据顶点坐标及与坐标轴的交点坐标画出相应的函数图象即可；
（4）根据函数图象可直接得出答案．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴顶点坐标为 ，对称轴为 ；
【小问2详解】
令 ，得 ，
解得， ， ，
∴抛物线与x轴交点为 ， ；
令 ，则 ，
∴抛物线与y轴交点为 ；
【小问3详解】
如图所示：
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【小问4详解】
根据图象可得，当 时，x的取值范围是： ．
21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.
(1)求证：△ABD∽△DCB；
(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）6.
【解析】
【分析】（1）用两角相等，两三角形相似证明即可；
（2）由（1）中的结论，运用相似三角形的性质得出比例式，进一步即可求得结果.
【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°．
∵∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BDC．
∴△ABD∽△DCB．
（2）解：∵△ABD∽△DCB，
∴ ．
∴BD2=AD•CB．
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∵AD=4，BC=9，
∴BD=6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题型，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关
键.
22. 如图，二次函数 的图像过点 ， ， ，则
（1）该抛物线的对称轴为______；
（2）该抛物线与 轴的另一个交点为______；
（3）求该抛物线的表达式．
（4）若直线 与抛物线有两个交点，则 的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求对称轴，根据对称轴求与 轴的交点问题，待定系数法求解
析式，二次函数与一元二次方程．
（1）根据 ， 坐标即可确定对称轴，根据函数值相等即可确定对称轴；
（2）根据对称轴以及C点的坐标即可确定另一个交点；
（3）利用待定系数法，将 ， ， 代入 即可求解；
（4）由直线 与抛物线有两个交点，可知 有两个不相等的根，再由根的判别式列出
不等式求解即可．
掌握二次函数的性质是解题的关键．
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【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴该抛物线的对称轴为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
∵ ，对称轴为 ，
∴该抛物线与 轴的另一个交点为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
∵抛物线过点 ， ， ，
将它们代入二次函数的解析式得， ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为： ；
【小问4详解】
∵直线 与抛物线有两个交点，
∴ ，即 有两个不相等的根，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
23. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长 ）的空地上修建一个矩形小花园 ，
小花园一边靠墙，另三边用总长 的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园 边的长为 ，面积
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为 ．
（1）求 与 之间的函数关系式以及自变量的取值范围．
（2）当 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）当 为 时，小花园的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）首先根据矩形的性质，由花园的 边长为 ，可得 ，然后根据矩形面积即可求
得 与 之间的函数关系式，又由墙长 ，即可求得自变量的 的范围；
（2）将 利用配方法转化为顶点式 ，结合自变量的取值范围即可求
解．
解题的关键是明确题意，列出函数解析式．
【小问1详解】
解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴花园的面积为： ，
∵ ， ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ 与 之间的函数关系式为： ；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值，最大值为200．
答：当 为 时，小花园的面积最大，最大面积是 ．
24. 已知：二次函数 中的x和y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 m 8 …
（1）可求得m的值为__________；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当 时，则y的取值范围为____________________．
【答案】（1）3；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得；
（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式；
（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）∵抛物线 过点（1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线 ，
的
∴点（0，3）关于对称轴 对称点是（4，3），
∴m＝3，
故答案为3；
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（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式 得
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ ﹣4x+3，
故答案为y＝ ﹣4x+3；
（3）由抛物线的性质得当x=2时，y有最小值-1，
由图表可知抛物线y＝a +bx+c过点（0，3），（3，0），
因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤y＜3．
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步
骤是解决问题的关键．
25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴是直线x＝1．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若当－2≤x≤3时，y的最大值是7，求a的值；
（3）若点A（-2，m），B（3，n）为抛物线上两点，且mn<0，求a的取值范围．
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【答案】（1） ；（2）a=1；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为 ，即可得；
（2）由抛物线的对称轴及自变量的取值范围可得（开口向上，距离对称轴越远，函数值越大）：在
处取得最大值7，将其代入函数解析式求解即可得；
（3）根据题意可得在 时，y随x的增大而减小， ， ，代入函数解析式，组成不等式组求
解即可得．
【详解】解：（1）根据抛物线的对称轴为： ，
可得： ；
（2） 抛物线的对称轴为： ，自变量的取值范围为： ，
∵
在
处取得最大值7，
∴
抛物线 过点
∴
∴
解得： ；
（3） 抛物线的对称轴为： ，
∵
当 时，y的值与当 时y的值相同，
∴
设点 ，
∴
，
∵
在 时，y随x的增大而减小，且 ，
∴
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， ，
∴
代入可得：
，
解得： ，
∴a的取值范围为： ．
【点睛】题目主要考查二次函数得性质，解不等式组等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
26. 在等边△ABC中，将线段CA绕点C逆时针旋转α（0°<α<30°）得到线段CD，线段CD与线段AB交于
点E，射线AD与射线CB交于点F．
（1）① 依题意补全图形；
② 分别求∠CEB和∠AFC的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段BE，CE，CF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析，②∠CEB=60°＋α，∠AFC=
（2）CF=BE＋CE，见解析
【解析】
【分析】（1）①按要求补全图形即可，②利用等边三角形及旋转的性质结合外角，内角和解题即可．
（2）CF=BE＋CE，延长EA至点G使得EG=CE，运用截长补短方法解题即可．
【小问1详解】
解：① 补全图形，如图．
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② 解：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=∠ACB=60°．
∵ 线段CA绕点C逆时针旋转α得到线段CD，
∴ CA=CD，∠ACD=α．
∴ ∠CAD=∠CDA= = ．
∴ ∠CEB=∠BAC＋∠ACD=60°＋α．
∴ ∠AFC=180°-∠CAD-∠ACB= ．
【小问2详解】
解：线段BE，CE，CF之间的数量关系为CF=BE＋CE．
证明：延长EA至点G使得EG=CE，连接CG，如图．
∴ ∠G=∠ECG．
∵ ∠CEB=∠G＋∠ECG=2∠G，∠CEB=60°＋α，
∴ ∠G= ．
∵ ∠AFC= ，
∴ ∠G=∠AFC．
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°．
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∴ △ACF≌△CBG．
∴ CF=BG．
∵ BG=BE＋EG=BE＋CE，
∴ CF=BE＋CE．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及截长补短法在三角形全等证明中的应用，能够熟练运用内角，
外角知识点求角度，能够利用截长补短作辅助线是解题关键．
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