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和平街一中 2022—2023 学年度第二学期初二年级数学期中调研试卷
一、选择题
1. 函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【详解】根据题意得 ，
解得 ．
故选D．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】检查最简二次根式的两个条件进行逐一判断即可：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方
的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，是最简二次根式，符合题意；
故选D．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的特征是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A． ，计算正确，符合题意；
B． 和 不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C． ，计算错误，不符合题意；
D． ，计算错误，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4. 如图，在 中，过点 作 交 延长线于点 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等可得 ，再利用直角三角形两锐角互余即可得解．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余．掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5. “二十四节气”是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它包括立春、惊蛰、清明、立夏等，同时，它
与白昼时长密切相关．如图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，白昼时长
超过 小时的节气是（ ）
A. 清明 B. 立秋 C. 白露 D. 立冬
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长即可得到正确选项．
【详解】解：由图象可知：
项立春白昼时在 小时之间，故 不符合题意；
项立秋白昼时长超过 小时之间，故 符合题意；
项白露白昼时长在 小时之间，故 不符合题意；
项立冬白昼时长在 之间，故 不符合题意；
故选 ．
【点睛】本题考查了函数图象的知识，读懂函数图象是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中 的顶点 的坐标分别是 ， ， ，则点C的
坐标是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据坐标与图形性质以及平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，即 轴，
∵ 的坐标分别是 ， ， ，
∴ ，点C与点B的纵坐标相等，都为3，
∴点C的横坐标为 ，
∴点C的坐标为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解答的关键．
7. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度（
0 10 20 30
）
声速（
318 324 330 336 342 348
）
下列说法错误的是（ ）
A. 在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B. 温度越低，声速越慢
C. 当温度每升高 时，声速增加 D. 当空气温度为 时，声音 可以传播
【答案】D
【解析】
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．【详解】解：A．∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A说法正确；
B．∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，
∴选项B说法正确；
C．∵ ， ， ， ，
，
∴当温度每升高 ，声速增加 ，
∴选项C说法正确；
D．∵ ，
∴当空气温度为 时，声音 可以传播 ，
∴选项D说法错误．
故选：D．
【点睛】此题考查了自变量、因变量的含义，以及用表格表示变量之间的关系，要熟练掌握．
8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两
条直角边长分别为a，b（ ），直角三角形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则用含 ， 的代数
式表示 正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形和正方形的面积公式用含a，b的代数式表示出 ， ，整理即可得出结果．【详解】解：∵直角三角形的面积为 ，小正方形的面积为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算，完全平方公式，数形结合是解题的关键．
二、填空题
9. 化简： ______， ______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】利用二次根式的性质可化简 ，利用分母有理化可化简 ．
【详解】 ，
．
故答案为：3， ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和分母有理化，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
10. 本月我市95号汽油的平均价格是7.92元/升，小明爸爸用一张面额为1000元的加油卡付费，若加油x
（升）后油卡上的余额为y（元），则y与x的函数关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据余额=加油卡原有面额-加油所用的费用列函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：y与x的函数解析式为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据实际问题确定一次函数关系式，关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解
决问题．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为 ，以点O为圆心，以 的长为半径画弧，交x轴的正
半轴于点A，则点A的横坐标介于两个整数之间，这两个整数是______和______．
【答案】 ①. 2 ②. 3
【解析】
【分析】根据勾股定理求得 的长度，即可得到 的长度，根据点 在正半轴，即可求得点 的横坐
标的范围．
【详解】解：∵点P坐标为 ，
∴
根据题意得 ，
∵ ，
∴ ，
∴点A的横坐标介于2和3之间，
故答案为：2，3．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理与无理数的估算是解题的关键．
12. 如图，将 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么 的度数是______．
【答案】 ##45度
【解析】
【分析】求出 、 、 的长以及 的度数，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：根据图形可得：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案 为： ．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
13. 如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5米,他想把四
边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长是__米.
【答案】25
【解析】
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边
长，周长也就不难得到．
【详解】∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=5米，∴BC=2EF=10米，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BE=CF= BC=5米，
∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米．
故答案为25．
【点睛】本题利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质和等边三角形三边相等的性
质求解．
14. 如图，菱形 面积为24，对角线 ， 于点E，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分 性质，可以求得 ， ，
的
在 中，根据勾股定理可以求得 的长，再根据菱形的面积等于底乘以高即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，即
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘的一半，也等
于底乘以高是解题的关键．
15. 如图，在Rt△ABC中， ， ， ，点P为AB上任意一点，连接PC，以
PB，PC为邻边作 ，连接PQ，则PQ的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设PQ与AC交于点O，作OD⊥AB于D．首先求出OD，当P与D重合时，PQ的值最小，PQ的
最小值＝2OD．
【详解】解：设PQ与AC交于点O，作OD⊥AB于D．如图所示：∵四边形PCQB是平行四边形，
∴PQ=2OP,OB＝OC＝ BC＝2，
∵OD⊥AB，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，∠BOD＝30°，
∴BD＝ OB＝1， ，
当P与D重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OD＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，熟练掌握平行四边形的
性质是解题的关键．
16. 如图，在 中， 分别为边 上的点（ 不与端点重合）．对于任意
，下面四个结论中：
①存在无数个四边形 ，使得四边形 是平行四边形；
②至少存在一个四边形 ，使得四边形 菱形；
③至少存在一个四边形 ，使得四边形 矩形；④存在无数个四边形 ，使得四边形 的面积是 面积的一半．
所有正确结论的序号是___________．
【答案】①②④．
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定逐条判断即可．
【详解】解：只要满足AB∥EF，四边形 是平行四边形，这样的EF有无数条，故①正确；
因为 ，可在AD上截取AE=AB，再满足AB∥EF，四边形 是菱形，故②正确；
因为是任意 ，∠B不一定是直角，矩形 不一定存在，故③错误；
当EF经过 对角线交点时，四边形 的面积是 面积的一半，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形、矩形的判定，解题关键是熟练运用所学四边形的性
质与判定，准确进行推理判断．
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】先根据二次根式的除法法则和绝对值的性质化简，再算加减即可．
【详解】
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
18. 已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】7
【解析】
【分析】先求出 ， ，再根据 进行求解即可．【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．
19. 如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE∥DF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，证得△CFD≌△AEB，即可得证结论．
【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD ，
∴∠ACD=∠CAB．
∵CF=AE，
∴△CFD≌△AEB(SAS)，
∴∠F=∠E，
∴BE∥DF．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的证明，熟练掌握平行四边形的有关性质和全等三角
形的证明是解题的关键．
20. 下面是小张同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程．
已知：等腰 ， ．
求作：点C，使得四边形ABCD为菱形．
作法：①作 的角平分线 ，交线段 于点O；
的
②以点O为圆心， 长为半径圆弧，交 延长线于点C；
③连接 ，所以四边形 为菱形，点C即为所求．
根据小张同学设计的作图过程．
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ， 平分 ，
∴ ， ，（ ）（填推理的依据）
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形（ ）（填推理的依据）
∵ ，
∴四边形 为菱形（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）见解析 （2）三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直
的平行四边形是菱形【解析】
【分析】（1）按照题意进行作图即可；
（2）先由三线合一定理得到 ， ，再根据平行四边形和菱形的判定定理证明即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵ ， 平分 ，
∴ ， ，（三线合一定理）
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵ ，
∴四边形 为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
故答案为：三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，三线合一定理，菱形的判定，平行四边形的判定等等，灵
活运用所学知识是解题的关键．
21. 如图，在 中，点D、E分别是边 的中点，点F在线段 上，
，求 的长度．
【答案】1
【解析】
【分析】由三角形中位线定理得到 ，再证明 是直角三角形，即 ，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 ，则 ．
【详解】解：∵点D、E分别是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，证明
是直角三角形是解题的关键．
22. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度 ，当摆锤摆动
到最高位置时，它离底座的垂直高度 ，此时摆锤与静止位置时的水平距离 时，求钟
摆 的长度．
【答案】
【解析】【分析】设 ，表示出 的长，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】设 ，由题意得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实
际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思
想的应用．
23. 如图，在 中，点O是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点E，连接 ， ，
．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，可得 ，由点O是 的中点，可得，再根据全等三角形的判定和性质，即可证得四边形 是平行四边形，再由 ，
即可证得结论；
（2）首先由矩形的性质可求得 的长，再利用勾股定可理即可求得 的长．
【小问1详解】
证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
点O是 的中点，
，
在 与 中，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
，
四边形 是矩形；
【小问2详解】
解： 四边形 是矩形，
， ，
在 中， ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形与矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握和
运用各图形的判定与性质是解决本题的关键．
24. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为 ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边
长不超过3dm，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）设长方体包装盒的底面边长为 ，表面积为 ．
可以用含 的代数式表示长方体的高为 ．
根据长方体的表面积公式：长方体表面积 ．
得到 与 的关系式：___________________（ ）；
（2）列出 与 的几组对应值：
… 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
… 80.5 42.0 31.2 28.5 31.3
（说明：表格中相关数值精确到十分位）
表中 _____________．
（3）在下面的平面直角坐标系 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：
（4）结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为_________dm时，需要的材料最省；当长方体包装盒表面积为 时，底面边长约为____________dm．
【答案】（1）
（2）28 （3）见解析
（4）2.2，1.7
【解析】
【分析】（1）根据长方体的表面积公式求解即可；
（2）求出 时，y的值即可；
（3）利用描点法画出函数图像即可；
（4）利用图象法判断即可．
【小问1详解】
由题意， ；
故答案为： ；
【小问2详解】
当 时， ；
故答案为：28；
【小问3详解】
函数图像如图所示：
【小问4详解】
观察图象可知，当x约为 时，需要的材料最省．当长方体包装盒表面积为 时，底面边长约为
故答案为：2.2，1.7．
【点睛】本题考查了长方体的知识，函数图像等，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
25. 如图，点F为正方形 的对角线 上一点（ ），连接 ，过F作 ，交
于点E．作F关于 的对称点H，连接 交 于点P．
（1）补全图形；
（2）证明：四边形 为平行四边形；
（3）写出 和 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）证明 ，得到 ，再证明 ，
得到 ，由对称性可得 ，进而证明 ，即可证明四边形 为
平行四边形；
（3）如图所示，过点F作 于G，则四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，得到
，由勾股定理得 ，即可推出 ．【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接 ，
是
∵四边形 正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点H和点F关于 对称，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形；【小问3详解】
解： ，证明如下：
如图所示，过点F作 于G，则四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性
质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
26. 平面直角坐标系 中，正方形 的四个顶点坐标分别为：
，P、Q是这个正方形外两点，且 ．给出如下定义：记线
段 的中点T，平移线段 得到线段 （其中 、 分别是P、Q的对应点），记线段 的中点 ．若点 、 分别落在正方形 的一组邻边上，或线段 与正方形 的一边重合，
则称线段 长度的最小值为线段 到正方形 的“平移距离”，称此时的点 为线段 到正方
形 的“平移中点”．例如：如图，线段 ，平移线段 到正方形 内，得到两条线段
和 ，这两条线段互相平行，若 ， 分别为 和 的中点，则点 为线段 到正方形
的“平移中点”．
（1）点 ．
①当 时，则线段 到正方形 的“平移距离”d为 ；
②当线段 到正方形 的“平移距离” 时，直接写出a的取值范围．
（2）线段 的中点T的坐标为 ．
①当线段 时，求线段 到正方形 的“平移距离”d的最小值；
②当 时，请画出所有线段 到正方形 的“平移中点”所组成的图形，并直接写出线段
到正方形 的“平移距离”d的取值范围．
【答案】（1）①1；② ；
（2）① ；②画图见解析；【解析】
【分析】（1）①利用平移变换的性质以及“平移中点”的定义解答即可；②由①结合图形解答即可；
（2）①线段 的中点T的坐标为 ，且线段 ，可得线段 在某条直线上，找出该条
直线，并找出点T的位置，并求解即可；②先根据题意画出图形，再结合图形求出d的取值范围．
【小问1详解】
①当 时，点 ，则 的中点 ，
如图，
此时，将 向右平移一个单位可与AB重合，
所以线段 到正方形 的“平移距离”d为1，
故答案为：1；
②如图，
当线段 到正方形 的“平移距离” 时，a的取值范围为： ；
【
小问2详解】
①线段 的中点T的坐标为 ，且线段 ，则线段 在如下图的直线 上，
所以当T为线段 中点时，此时线段 到正方形 的“平移距离”d的最小，
最小值为： ，
②当 时，线段 的中点T的坐标为 ．
所有线段 到正方形 的“平移中点”所组成的图形是以点A为圆心，1为半径的一段弧，如下图，
线段 到正方形 的“平移距离”d的取值范围为：
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了坐标与图形的性质，“平移距离”，“平移中点”的定义等知
识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型．
