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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市汇文教育集团 2023-2024 学年七年级下学期期中数学试题
本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无放．
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 7的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的性质，即可求解．
【详解】解：7的算术平方根是 ．
故选：C
【点睛】本题考查算术平方根的计算，注意一个是只有非负数才有平方根和算术平方根，另一个要区分算
术平方根的结果是是非负的，而正数的平方根有一正一负两个．
2. 在下列实数中，是无理数是（ ）
A. B. C. D. －8
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】A. 是分数，属于有理数，故A不符合题意；
B. 是整数，属于有理数，故B不符合题意；
C. 是无理数，故C符合题意；
D.-8是整数，属于有理数，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义，无限不循环小数是无理数，是解题的关
键．
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3. 点 到x轴的距离为（ ）
A. 3 B. －1 C. －3 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，即可求解．
【详解】解：点 到x轴的距离为 ，
故答案为：D．
【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，要熟记：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离
为点的横坐标的绝对值．
4. 如图，小明从点 出发，先向西走 ，再向南走 到达点 ，如果点 的位置用 表
示，那么 表示的位置是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标确定位置，根据点在平面直角坐标系中的确定方法解答即可．
【详解】解：∵点M的位置用 表示，实际意义为从点O出发，先向西走 ，再向南走 ，
也就是网格中一个小正方形边长为 ，
∴ 表示的位置实际意义为从点O出发，先向东走 ，再向南走 ，对应的是点D，
故选：D．
5. 若 是方程 的一个解，则 的值为（ ）．
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将方程的解代入原方程中，解关于 的一元一次方程即可求解
【详解】将 代入 得：
解得;
故选B
【点睛】本题考查了方程的解的概念，解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题的关键．
6. 下列说法不正确的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 两点之间，线段最短
C. 同旁内角互补 D. 若 且 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的性质，线段最短，平行公理等内容，据此相关性质内容想逐项分析，即可作
答．
【详解】解：A、对顶角相等，说法正确，故该选项不符合题意；
B、两点之间，线段最短，说法正确，故该选项不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，说法错误，故该选项符合题意；
D、若 且 ，则 ，说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
7. 一副三角板如图方式摆放，点D在直线 上，且 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】根据三角板自带角的度数以及平行的性质可得．
【
详解】解：∵AB∥EF，
∴∠ADE=∠DAB=∠DAC+∠CAB=45°+30°=75°，
又∵∠ADC=90°，
∴∠CDF=180°-∠ADC-∠ADE=15°
故选 A．
【点睛】本题考查了三角板的认识和平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可
得．
【详解】解：大正方形的边长为 ，
，
，即 ，
又 ，
，
，
，
，
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与 最接近的整数是4，
即大正方形的边长最接近的整数是4，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．
9. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角 ，第二次拐角 ，
第三次拐的角是 ，这时的道路 恰好和第一次拐弯之前的道路 平行，则 为（ ）
A. 170° B. 160° C. 150° D. 140°
【答案】C
【解析】
【分析】过点B作 ，又由已知 ，即可得 ，然后根据两直线平行，
内错角相等，同旁内角互补，即可求得答案．
【详解】如图，过点B作 ，
∵ ，
则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
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故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补与辅助线的作法是解题
的关键．
10. 用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库
里有1000张正方形纸板和m张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则 的值
可能（ ）
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根
据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出 并判断 为5的倍数，
然后选择答案即可．
【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
根据题意得： ，
两式相加得， ，
∵x、y都是正整数，
∴ 是5的倍数，
∴m是5的倍数，
∵2024、2025、2026、2027四个数中只有2025是5的倍数，
∴ 的值可能是2025．
故选：B．
二、填空题（每题2分，共16分）
11. 比较大小：4______ （用“＞”“＜”或“＝”填空）．
【答案】＜
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【解析】
【分析】将这两个数进行平方，比较它们的平方即可．
【详解】解：∵42=16， ，
∴42< ，
∴4< ．
故答案为<．
【点睛】本题考查了实数的大小比较．解题的关键是通过它们的平方来进行比较．
12. 已知x、y满足方程组 ，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接用 即可得到答案．
【详解】解：∵x、y满足方程组 ，
∴ 得： ，
故答案为： ．
13. 如图，从书店到公路最近的是①号路线，数学道理是________．
【答案】点到直线，垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段的性质即可求解．
【详解】解：点到直线，垂线段最短，
为
故答案 ：点到直线，垂线段最短．
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【点睛】本题主要考查垂线段的性质，理解并掌握点到直线之间垂线段最短是解题的关键．
14. 如图，边长为 的正方形 先向上平移 ，再向右平移 ，得到正方形 ，此时
阴影部分的面积为_______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到 ，进而求出
，则 ．
【详解】解：由平移的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
15. 若一个正数的平方根是 和 ，则这个正数是______．
【答案】9
【解析】
【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2a-1+ a-5=0，解方程即可求出a，然后依据平方根
的定义求解即可．
【详解】解：由题可知：2a-1+ a-5=0，
解得：a=2．
这个正数为=（2-5）2=9．
故答案为：9．
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【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
16. 有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入 的值为 时，输出 的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据数值转换器的原理，列出算式，即可得到答案．
【详解】根据数值转换器的原理得： ， ，5的算术平方根是 ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查根据程序图求值，根据原理，列出算式，是解题 的关键．
17. 已知；在同一个平面内， ．垂足为 平分 ，则 的度数
为___度
【答案】105或165
【解析】
【分析】分两种情况：①射线OF在∠BOC内部；②射线OF在∠BOD内部，根据角平分线的定义及角的
加减计算即可．
【详解】∵AB⊥CD，垂足为O，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE= ∠AOC=45°．
分两种情况：
①如图1，射线OF在∠BOC内部时，
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∵∠AOE=45°，∠BOF=30°，
∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=105°；
②如图2，射线OF在∠BOD内部时，
∵∠COE=45°，∠COB=90°，∠BOF=30°，
∴∠EOF=∠COE+∠COB+∠BOF=165°．
故答案为：105或165．
【点睛】本题考查了垂直的定义，角平分线定义以及角的计算，进行分类讨论是解题的关键．
18. 如果一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为 ，千位上的数字与百位上的数字之和等于
十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数是“中庸数”．对于一个“中庸数” ，将它的千位数字
与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的数 ，记 = ， ，
已知“中庸数” 的千位数字为 ，十位数字为 ，且 ， 为整数， ，则“中
庸数” 为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了数的运算和整除的概念，由“中庸数” 的千位数字为 十位数字为 且
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为整数， ，分情况分析求值即可．
【详解】第一步，根据题目，十位数字为 ， 为整数；
第二步，根据 的定义 ，因为 和 的千位数字和十位数字互换，所以 '的结果是千位和
十位数字的和乘以 ，然后相加，所以千位和百位数字的和等于十位和个位数字的和；
第三步，因为 为整数，
即 ，都是小于 的正整数， 的最大值为 ，
所以 的取值范围是 到 ，即 到 ．
因为 是整数，所以 的可能取值是 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ；
第四步，因 为；
因为 的定义是 ，所以 '的结果是千位和十位 数字的差乘以 ，然后相减，所以千位
和百位数字的和等于十位和个位数字的和；
第五步，因为 和 都是小于 的正整数，最小值为 ，所以 和 的取值范围是
到 ；
第六步，因为 ， 的取值范围是 到 ，所以 ；
第七步，因为 是“中庸数”，百位数字是 ，个位数字是 ．
故答案是： ．
三、解答题（第19题4分，第20题8分，第21-24题每题6分，第25-28题每题7分）
19. 计算
【答案】－1
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【解析】
【分析】先根据幂的运算、算术平方根、立方根等知识进行计算，再进行有理数的加减运算即可求解．
【详解】解：
=－4+2－（－2）+（－1）
=－4+2+2－1
=－1．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根、正整数指数幂的运算性质是解题关键．
20. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法：
（1）根据加减消元法解答即可；
（2）先将原方程组化简，再根据加减消元法解答．
【小问1详解】
解：
得： ，
把 代入①得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ；
【小问2详解】
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解：
整理得：
得： ，解得 ，
把 代入②得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ．
21. 如图，已知三角形 的三个顶点的坐标分别是 ，现将三角形
先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形 ．（点A对应点 ，点 对应点
，点 对应点 ）．
（1）在图中画出三角形 ；
（2）点D的坐标为_________． 与 的关系是_________；
（3）若y轴上有一点P，使三角形 是三角形 面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见详解 （2） ；
（3） 或 ．
【解析】
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【分析】（1）根据 ， ， ，利用平移的性质即可在图中画出三角形 ；
（2）结合（1）即可得点 ， ， 的坐标；
（3）由网格可得三角形 面积 ，根据三角形 是三角形 面积的2倍，通过三角形的面
积公式列式计算，即可在 轴上找到点 ．
本题考查了作图 平移变换，三角形 的面积，解决本题的关键是掌握平移的性质．
【小问1详解】
解：如图，三角形 即为所求；
【小问2详解】
解：点D的坐标为 ，
∵三角形 是经过平移得到三角形 ，
∴ 与 的关系是 ；
【小问3详解】
解：依题意， ，
∵若y轴上有一点P，使三角形 是三角形 面积的2倍，
∴ ，
设点P的坐标为 ，
则 ，
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解得 或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
22. 如图， ， ，求证 ．完成下面的证明过程．
证明：∵ ， ，
∴ （同角的补角相等）．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
∴ （ ）．
又∵ （已知），
∴ （等量代换）﹒
∴ （ ）．
∴ （两直线平行，同位角相等）．
【答案】 ，两直线平行，内错角相等， ，同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】先证明 ，可得 ，可得 ，结合 ，可得 ，
证明 ，可得 ．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ （同角的补角相等）．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
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∴ （两直线平行，内错角相等）．
又∵ （已知），
∴ （等量代换）﹒
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∴ （两直线平行，同位角相等）．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法与性质定理是解本题的关键．
23. 我们知道， 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即 的整数部分是1，小
数部分是 ，请回答以下问题：
（1） 的小数部分是______， 的小数部分是______；
（2）若 是 的整数部分， 是 的小数部分，求 的平方根．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）估算无理数的近似数，减去整数部分，即为小数部分；
（2）估算 的整数部分， 的小数部分，即可得到 、 的值，代入代数式求解即可．
【小问1详解】
解： ，
整数的部分为3，
的小数部分为： ；
，
的整数部分为1，
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的小数部分为： ，
故答案为： ， ；
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： ，
的整数部分为9，即 ，
，
的整数部分为1，
的小数部分为： ，即 ，
，
，
的平方根为 ．
【点睛】本题考查的是平方根以及无理数大小的估算，根据题意正确确定无理数的整数部分与小数部分是
解题的关键．
24. 如图所示，已知， ， ．
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（1）求证： ；
（2）已知 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠DEC =108°
【解析】
【分析】（1）由AC//DE可得∠D=∠ABD，根据等量代换得到∠C=∠ABD，从而可证BD//CE；
（2）设∠ABD=2x， ∠DEC=3x，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】（1）证明∵∠A=∠F，
∴AC//DE，
∴∠D=∠ABD，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠ABD，
∴BD//CE；
（2）∵BD//CE，DF//BC，
∴∠ABD =∠C，∠DEC+∠C=180°，
∵∠ABD ：∠DEC=2:3，
∴设∠ABD=2x，∠DEC=3x，
则2x+3x=180°，
∴x=36°，
∴∠DEC =3x=108°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，
注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦
然．
25. 已知平面上三点A、B、C．请按下列要求画出图形：
①画直线 ，射线 ，线段 ；
②过点C画直线 ，使 ；
③画出点 到直线 的垂线段 ．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画直线，射线，线段，平行线和垂线，熟知相关作图方法是解题的关键．
【详解】解：①如图所示，直线 ，射线 ，线段 即为所求；
②如图所示，直线 即为所求；
③如图所示，垂线段 即为所求．
26. 某超市投入 元的资金购进甲、乙两种饮料共 箱，饮料的成本和售价如表所示：
类别 单价 成本 售价
甲 元 箱 元 箱
乙 元 箱 元 箱
（1）该超市购进甲、乙两种饮料各多少箱？
（2）全部售完 箱饮料，该超市共获得利润多少元？
【答案】（1）该超市购进甲种饮料 箱，乙种饮料 箱；
（2）该超市共获得利润 元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
（1）设该超市购进甲种饮料 x箱，乙种饮料y箱，利用总进价=进货单价×进货数量，结合该超市投入
12800元的资金购进甲、乙两种饮料共500箱，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润=每箱的销售利润×销售数量（进货数量），即可求出结论．
【小问1详解】
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解：设该超市购进甲种饮料 箱，乙种饮料 箱，
根据题意得： ，
解得： ．
答：该超市购进甲种饮料 箱，乙种饮料 箱；
【小问2详解】
元 ．
答：该超市共获得利润 元．
27. 如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且
∠NCD= ∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是______．
【答案】（1）见解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【解析】
【分析】(1)如图1中，过E作EF∥a，利用平行线的性质即可解决问题；
(2)如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，证明
∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解决问题；
(3)分两种情形：①当点N在∠DCB内部时，②当点N′在直线CD的下方时，分别画出图形求解即可．
【详解】(1)证明：如图1中，过E作EF∥a．
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∵a∥b，
∴a∥b∥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵EF∥a，
∴∠ABE=∠BEF，
∵EF∥b，
∴∠ADC=∠DEF，
∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．
(2)解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，
设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，
∵FM∥a∥b，
∴∠BFD=2y+x，
∴∠AFB=180°-（2y+x），
同理：∠CGD=180°-（2x+y），
∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），
=360°-3×45°=225°．
(3)解：如图，设PN交CD于E．
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当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，
∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
∵PN平分∠EPB，
∴∠EPB=∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，
∵∠NCE= ∠BCN，
∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．
当点N′在直线CD的下方时，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，
综上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
28. 对于平面直角坐标系 中的图形G和点P，给出如下定义：将图形G沿上、下、左、右四个方向中
的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为 ，若点P在图形
上，则称点P为图形G的稳定点，例如，当图形G为点 时，点 都是图形G
的稳定点．
（1）已知点 ．
①在点 中，线段 的稳定点是___________．
②若将线段 向上平移t个单位长度，使得点 或者点 为线段 的稳定点，写出t的取值
范围___________．
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（2）边长为a的正方形，一个顶点是原点O，相邻两边分别在x轴、y轴的正半轴上，这个正方形及其内
部记为图形G．若以 为端点的线段上的所有点都是这个图形G的稳定点，直接写出a的最小值
___________．
【答案】（1）① ， ；②0≤t≤2或4≤t≤6；
（2）3
【解析】
【分析】（1）①画出图形，根据稳定点的定义即可判断；
②画出图形，利用图象法解决问题即可；
（2）画出图形利用图象法解决问题即可．
【小问1详解】
解：①如图1中，
观察图象，根据图形G的稳定点的定义可知： ， 是线段AB的稳定点．
故答案为： ， ；
②如图2中，
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观察图象可知当0≤t≤2或4≤t≤6时，点E（0，1）或者点F（0，5）为线段AB的稳定点．
故答案为：0≤t≤2或4≤t≤6；
【小问2详解】
解：如图3中，正方形OABC的边长为a，P（0，2），Q（4，0），
观察图象可知当3≤a时，线段PQ上的点都是图形G的稳定点．
∴a的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，图形稳定点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图
象法解决问题．
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