文档内容
2022-2023 学年度第一学期学科练习
初三数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下列各式中， 是 的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数求解可得．
【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不符合题意；
B、 中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，符合题意；
D、 中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函
数，叫做二次函数．
2. 受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率
为x，则可列方程（ ）
A. 300(1-x)2＝260 B. 300(1-x2)＝260 C. 300(1-2x)＝
260 D. 300(1＋x)2＝260
【答案】A
【解析】
【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：由题意可得，元月份为300万元，2月份为300（1-x），3月份为300（1-x）2=260．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．3. 将抛物线 平移，得到抛物线 ，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
【详解】解：将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2， 再向下平移2个单位
得到抛物线y=-3（x-1）2-2．
故选D．
【点睛】此题考查了抛物线的平移问题，根据“上加下减，左加右减”解决问题．
4. 二次函数 的图象如图所示， ，则下列四个选项正确的是（ ）
A. b＜0，c＜0，Δ＞0 B. b＞0，c＜0，Δ＜0
C. b＞0，c＜0，Δ＞0 D. b＜0，c＞0，Δ＜0
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定Δ的符号，
由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴﹣ ＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公
式．
5. 关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≤5 B. k＜5且k≠3 C. k≤5且k≠3 D. k≥5且k≠3
【答案】A
【解析】
【分析】讨论：当k﹣3＝0，即k＝3，方程为一元一次方程，有一个解；当 k﹣3≠0时，利用判别式的意
义得到△＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，然后综合两种情况得到k的范围．
【详解】当k﹣3＝0，即k＝3，方程化为﹣4x＝2，解得x＝﹣ ；
当k﹣3≠0时，△＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，
综上所述，k的范围为k≤5．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是不要漏掉当二次项系数为零的情况.
6. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率
p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系 （a，b，c是常数），如图记录了三次实验
的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
【答案】C
【解析】
【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的
性质可得答案．【详解】解：由题意知，函数 经过点 ，
则 ，
解得： ，
∴ ，
∴当 时，可食用率最高，
∴最佳加工时间为3.75分钟，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最
值问题是解题的关键．
7. 已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边
长，则△ABC的周长为（ ）
A. 14 B. 16 C. 12或14 D. 14或16
【答案】D
【解析】
【分析】先把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得m=2，则方程为x2-10x+24=0，利用因式分解法解方程得到
x=4，x=6，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周
1 2
长．
【详解】把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得16-20m+12m=0，解得m=2，
则方程为x2-10x+24=0，
（x-4）（x-6）=0，
所以x=4，x=6，
1 2
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6；4、6、6，
所以△ABC的周长为14或16．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8. 表中所列x，y的6对值是二次函数 （a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中
，n＜m．
x … ﹣3 x x x x 1 …
1 2 3 4
y … m 0 c 0 n m …
根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③3a+c＞0；④如果x＝ ，c＝﹣ ，那么当
3
﹣3＜x＜0时，直线y=k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣ ≤k＜ ；其中正确的有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①由二次函数的对称性可得对称轴为直线 ，可直接判断；
②由对称轴的位置及 且 ，可知在对称轴右侧， 随 的增大而增大，由此可判断 的符号，
进而可判断 和 的符号；
③由上述判断可知，当 时， ，结合 可判断；
④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断 时， 的取值范围，进而可判断．
【详解】解：①由表格可知，当 和 时，函数值相等，
对称轴为直线 ，
，即 ，故①正确，符合题意；
②由表格可知， ，且 ，在对称轴右侧， 随 的增大而增大，
，
，
由表格可知，当 和 ，函数值相等，
又 ， ，
，
，故②正确；
③由上分析可知，当 时， ，
又 ，
，故③正确；
④当 ， 时，可知函数过点 ， ，
对称轴为直线 ，
抛物线跟 轴的另一个交点 ， ，
函数的解析式可设为 ，
，
，解得 ，
函数解析式为： ，画出函数图象如下图所示：当 时， ，当 时， ，
又抛物线的顶点坐标为 ，
当 时，直线 与该二次函数图象有一个公共点；
若直线 与该二次函数图象有一个公共点，则 或 ；故④不正确．
故选： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方
向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不相等的实数根；②其中有一个根为
，所写的方程是______.
【答案】答案不唯一，如 ， 等
【解析】
【分析】属于开放性题，答案不唯一，当 和 时，此时求出方程为： ，当 和
时求出方程为： .
【详解】解：根据题意可得：当 和 时，
此时求出方程为： ，
当 和 时求出方程为：
.
【点睛】本题考查由方程的根求一元二次方程的题，解题关键是倒着推，符合题意即可.
10. 二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A(0，y)和B(﹣3，y)在此函数图象上，则y___y（填“＜
1 2 1 2
““＞”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x的大小得出函数值y的大小，在
对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵由图象可知：抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，开口向上，
∴当x＝﹣2时，y取得最小值，
∵点A（0，y）与对称轴直线x＝﹣2相距2个单位长度，点B（﹣3，y）与对称轴直线x＝﹣2相距1个
1 2
单位长度，
∴点A比点B离对称轴要远，
∴y＞y，
1 2
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了二次函数的的图象和性质，根据增减性、对称性和自变量x的大小判断相应函数值的
大小是解决本题的关键．
11. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了
______个人．
【答案】12
【解析】【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求
解
【详解】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．
的
12. 若二次函数 图象经过点（-1，0）和（3，0），则方程 的解为
__________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题确定方程 的解．
【详解】解：∵二次函数 的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），
∴方程 的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）与x
轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
13. 特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，务必做好个人防护措施．如图所示，某商
场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间距离，减少接触．电梯地面部
分为一个长为 ，宽为 的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部分）的面积为 ，若
设隔离带的宽度均为 ，那么x满足的一元二次方程是________．【答案】
【解析】
【分析】把空白部分的面积看作是长为 cm，宽为 cm的长方形的面积列方程即可．
【详解】解：设隔离带的宽度均为 ，
由题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
14. 若 ， 是方程 是方程的两个实数根，则代数式 的值等于
___________．
【答案】2028
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出 ， ，代入原
式= 计算可得．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，即 ，
则原式=
==
=
= ．
故答案为：2028．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握 ， 是一元二次方程
的两根时， ， ．
15. 如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B
（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a
＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE=4．其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】②④##④②
【解析】
【详解】①根据抛物线开口方向即可判断；
②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；
③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；
④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CE AB，即可得结论．
【解答】解：①观察图象开口向下，a＜0，
所以①错误；
②对称轴在y轴右侧，b＞0，
所以②正确；
③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（4，0），
对称轴在y轴右侧，所以当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，
所以③错误；
④∵抛物线 与x轴交于A，B两点，
∴AD=BD，
∵CE AB，
∴四边形ODEC为矩形，
∴CE=OD，
∴AD+CE=BD+OD=OB=4，
所以④正确．
综上：②④正确．
故答案为：②④
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数 系数符号判断抛
物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．
16. 在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线 的一部分图象如图所示，它与x轴交于
A（1，0），与y轴交于点B （0，3），可以判断a的取值范围是_______________.
【答案】﹣3＜a＜0##
【解析】
【分析】根据图象得出a＜0，b＜0，由抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），得出
a+b＝﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．
【详解】解：根据图象得：a＜0，b＜0，
∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），
∴ ，∴a+b＝﹣3，
∵b＜0，
∴﹣3＜a＜0．
故答案为：﹣3＜a＜0．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键是正确获取图象
信息进行解题．
三、解答题
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用公式法法解方程．
【小问1详解】
，
（x﹣3）＝±5，
所以 ， ；
【小问2详解】
，
a＝3，b＝2，c＝﹣2，
∵Δ＝
＝4+24
＝28＞0，∴x ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18. 已知 是方程 的一个实数根，求代数式 的值．
【答案】11
【解析】
【分析】根据方程根的概念可得 ，将所求代数式变形为
，然后利用整体代入的方法进行求解即可
得．
【详解】∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴
.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念是解题的关键．
19. 已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0，﹣3)，且经过点B(2，5)．
（1）求二次函数的解析式；
的
（2）将（1）中求得 函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）直接把 点和 点坐标代入 得到关于 、 的方程组，然后解方程组求出 、即可；
（2）利用配方法把 配成 即可．
【详解】解：（1）将A(0，﹣3)，B(2，5)代入y＝x2+bx+c，
得 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）
，
∴二次函数的顶点式为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20. 已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1） ，
∵ ，∴方程总有实数根；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵方程有一个根为负数，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
21. 对于抛物线 ．
（1）它与 轴交点的坐标为 ，与 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
（2）在坐标系中画出此抛物线的图象；
（3）当 时， 的取值范围是 ．
【答案】（1） ， ； ； ；（2）画图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）解方程 得抛物线与 轴的交点坐标；计算自变量为0对应的函数值得到抛物
线与 轴的交点坐标；把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）通过列表：描点、连线画出二次函数图象；（3）根据图象可得， 包含 ，所以这部分图象对应的最小值是在 时取得，又因为
比 距离 更远，所以当 时取得最大值，综合可求得结果 ．
【详解】解：（1）当 时， ，
解得 ， ，
的
则抛物线与 轴 交点坐标为 ， ；
当 时， ，
则抛物线与 轴的交点坐标为 ，
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）抛物线图象如下：
（3）由（2）的图中可得 与 分别在对称轴 两侧，
∵当 时， ；
当 时， ，∴ ，
∴当 时， ．
故答案为： ， ； ； ； ．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与
轴的交点坐标问题转化解关于 的一元二次方程即可求得交点横坐标．将二次函数化成顶点式可求得二次
函数的顶点坐标；利用列表描点连线的方法可以作图，同时也可以根据图象可求得在已知范围内的函数值
范围．
22. 运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）
与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．
t（s） 0 0.5 1 1.5 2 …
h（m） 0 8.75 15 18.75 20 …
（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；
（2）求小球飞行3s时的高度；
（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．
【答案】（1）h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m．
【解析】
【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2
时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；
（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；
（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．
【详解】解：（1）∵t＝0时，h＝0，
∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），
∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，
∴ ，解得 ，
∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；
（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．
答：小球飞行3s时的高度为15米；
（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴小球飞行的最大高度为20m，
∵22＞20，
∴小球的飞行高度不能达到22m．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析
式．
23. 如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形
花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？
【答案】长为10米、宽为5米
【解析】
【分析】设围成的矩形花圃的宽为x米，则长为 米．利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x
的一元二次方程，解之即可得出矩形花圃的宽，再将其代入（20-2x）中即可求出矩形花圃的长．
【详解】设围成的矩形花圃的宽为x米，则长为 米．
根据题意列方程：
解得：
则 ．
答：矩形花圃的长10米、宽5米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24. 阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数 的最大值．他画图研究后发现，和 时的函数值相等，于是他认为需要对 进行分类讨论．他的解答过程如下：
∵二次函数 的对称轴为直线 ，
∴由对称性可知， 和 时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则 时， 的最大值为2；
若m≥5，则 时， 的最大值为 ．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当-2≤x≤4时，二次函数 的最大值为_______；
（2）若p≤x≤2，求二次函数 的最大值；
（3）若t≤x≤t+2时，二次函数 的最大值为31，则 的值为_______．
【答案】（1）49；（2）若p≤-4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若-4＜p≤2，则当x=2时，y的最
大值为17；（3）t的值为1或-5．
【解析】
【分析】试题分析：（1）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，然后确定当x=4时取得最大值，代入函数
解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，再根据对称性可得x=-4和x=2时函
数值相等，然后分p≤-4，-4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜-2，t≥-2时两种情况讨论求解．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当-2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；
（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=-1，∴由对称性可知，当x=-4和x=2时函数值相等，
∴若p≤-4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，
若-4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；
（3）t＜-2时，最大值为：2t2+4t+1=31，
整理得，t2+2t-15=0，
解得t=3（舍去），t=-5，
1 2
t≥-2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，
整理得，（t+2）2+2（t+2）-15=0，
解得t=1，t=-7（舍去），
1 2
所以，t的值为1或-5．
【点睛】考点：二次函数的最值；本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定
出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．
25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶
点为P，若 OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m=△4时，抛物线上有两点M（x
1
，y
1
）和N（x
2
，y
2
），若x
1
＜2，x
2
＞2，x
1
+x
2
＞4，试判断y
1
与y
2
的大小，并说明理由．
【答案】（1）y=-x2-6x-5．（2）点P的坐标（1，1）．（3）y＞y．
1 2
【解析】
【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；
（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；
（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．
【详解】（1）抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．
∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．
∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）
∴y=-x2-6x-5．
（2）如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．
∴b＞0．
记平移后的抛物线顶点为P，
∴点P的坐标（ ， ），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴ =
∴b=2．
∴点P的坐标（1，1）．
（3）如图2，
当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．
∴抛物线的对称轴为直线 x=2．
∵点M（x，y）和N（x，y）在抛物线上，
1 1 2 2
且x＜2，x＞2，
1 2
∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x+x＞4，
1 2
∴2-x＜x-2，
1 2
∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，
∴y＞y．
1 2
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，平移的性质，顶点坐标的确定，
函数值大小的确定，解本题的关键是熟练掌握抛物线的性质，是一道中等难度的中考常考题．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a (a<0)经过点A（-1，0），将点B（0，4）向右平移5
个单位长度，得到点C.
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围.
【答案】（1）C（5,4）；（2）x=1； (3) 或
【解析】
【分析】（1）根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点C的坐标；
（2）根据抛物线C ：y=ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）可以求得该抛物线的对称轴；
1
（3）分三种情况讨论：①当抛物线顶点在线段BC上时，②当抛物线与直线BC的左交点在B的左边，右
交点在线段BC上时，③当抛物线与直线BC的左交点在线段BC上，右交点在线段BC的延长线上时．
【
详解】（1）∵点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C，
∴点C的坐标为（5，4）；
（2）∵抛物线C ：y=ax2﹣2ax﹣3a，
1
∴对称轴是直线x=﹣ =1；（3）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x-1）2﹣4a，
∴分三种情况讨论：
①当抛物线顶点在线段BC上时，抛物线与线段BC只有一个交点，此时﹣4a=4，
解得：a=-1；
②当抛物线与直线BC的左交点在B的左边，右交点在线段BC上时，抛物线与线段BC只有一个交点，此
时抛物线与y轴的交点在点B上方，
∴－3a＞4，
解得：a＜ ．
③当抛物线与直线BC的左交点在线段BC上，右交点在线段BC的延长线上时，抛物线与线段BC只有一
个交点．
∵抛物线开口向下，此时抛物线与x轴的右交点的横坐标一定大于5，这与抛物线一定过（-1，0）和（3，
0）矛盾，此种情况不成立．
综上所述：a的取值范围是 或a=-1．
【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次
函数的性质和数形结合的思想解答．
27. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别
和坐标轴平行，我们称该正方形为“原点正方形”．当“原点正方形”上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的“友好点”．
（1）当“原点正方形”边长为4时，
①在点P(0，0)，P(﹣1，1)，P(1，3)，P(3，3)中，“原点正方形”的“友好点”是 ；
1 2 3 4
②点P在直线y＝x的图象上，若点P为“原点正方形”的“友好点”，求点P横坐标的取值范围；
（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，若线段AB上存在“原点正方形”的“友好
点”，直接写出“原点正方形”边长a的取值范围．
【答案】（1）①P(﹣1，1)，P(1，3)；② 或 ；（2）
2 3
【解析】
【分析】（1）①根据题意分别判断每个点到原点正方形边上的最小距离，由此即可求得答案；
②由已知结合图象，找到点 所在的区域，进而利用勾股定理即可求得点P横坐标的取值范围；
（2）先分别求出点 与 的坐标，由线段 的位置分别求得最小正方形的边长以及最大正方形的边长，
由此即可求得答案．
【详解】解：（1）① 原点正方形边长为4，
当 时，正方形上与 的最小距离是2，故不存在 使 ；
当 时，存在 ，使 ；
当 时，存在 ，使 ；当 时，正方形上与 的最小距离是 ，故不存在 使 ；
故答案为：P(﹣1，1)，P(1，3)；
2 3
②如图所示：阴影部分就是“原点正方形”的“友好点” 的范围，
∵ ， ，
∴ ，
过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，
则 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ （舍负），
∴点A的横坐标为 ，
同理可得：点B的横坐标为 ，
∴符合题意的点 横坐标的取值范围是 或 ；
（2）∵一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于点 ， ，， ，
线段AB上存在“原点正方形”的“友好点”，
如图所示：
当该正方形最小时，则正方形的顶点D到线段AB的距离为1，即 ，
∵ ，
∴小正方形和等腰直角三角形 都关于直线y＝x对称，
∴此时点O，D，C都在直线y＝x上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，∴ （舍负），
∴小正方形的边长为 ，
当该正方形最大时，则如图所示的点F的坐标为（2＋1，0），即（3，0），
则根据对称性可得点G的坐标为（－3，0），
∴此时该大正方形的边长为3－（－3）＝6，
综上所述，若线段AB上存在“原点正方形”的“友好点”，则“原点正方形”边长a的取值范围为 ．
【点睛】本题考查一次函数的性质与正方形的性质以及勾股定理的应用，能够将新定义的内容转化为线段，
正方形之间的关系，并能准确画出图形是解题的关键．
