文档内容
福州三中 2024-2025 学年第一学期高三第二次质量检测
数学试卷
命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷
上作答，答案无效.
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知 ，a=2，c=
△
，则C=
A. B. C. D.
4. 已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A. B. C. D.
5. 函数 在 单调递减，且为奇函数，若 ，则满足 的 的取值范
围是．
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在第三象限.则（ ）
A. B.
C. D.
7. 在正四棱台 中， ，若球 与上底面 以及棱
均相切，则球 的表面积为（ ）
.
A B. C. D.
8. 已知函数 ， ，若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象
均相切，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题
目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知各项均为正数的等差数列 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. 数列 是等差数列 D. 数列 是等比数列
10. 如图，在正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，则下列结论
正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 平面
B. 点 与点 到平面 的距离相等
C. 平面 截正方体 所得截面图形为等腰梯形
D. 平面 将正方体 分割成的上、下两部分的体积之比为
11. 已 知 奇 函 数 的 定 义 域 为 ， ， 对 于 任 意 的 正 数 ， 都 有
，且 时，都有 ，则（ ）
A.
B. 函数 在 内单调递增
C. 对于任意 都有
D. 不等式 的解集为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知单位向量 ，向量 ， ，若 ，则实数λ＝________．
13. 直线 被圆 截得最大弦长为______．
14. 对于正整数n，设 是关于x的方程 的实数根.记 ，其中 表示
不超过x的最大整数，则 ____________；设数列 的前n项和为 则 ___.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
16. 在 中，角 的对边分别为 的面积为 ，已知 .
（1）求角 ；
（2）若 的周长为 ，求 的最大值.
17. 已知椭圆 ： 右的焦点F在直线 上，A，B分别为 的左、右顶
点，且 .
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在过点 的直线 交C于M，N两点，使得直线 ， 的斜率之和等于-1？若存在，
求出 的方程；若不存在，请说明理由.
18. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，平面 平面 .
（1）求证：平面 平面 .
（2）求二面角 的余弦值.
的
（3） 为平面 内一点，若 平面 ，求 长.
19. 设a，b 为实数，且 ，函数 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，对任意 ，函数 有两个不同的零点x ,x ,(x >x )，证明：
1 2 2 1
.
（注： 是自然对数的底数）
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