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燕山地区 2021—2022 学年第二学期七年级期末质量监测
数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解： 的相反数是 ．
故选:B．
【点睛】本题考查了实数的性质，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，
如图1是中国体育代表团的引导牌．下面四个图案中，可以通过平移图1得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质，结合图形，即可选出正确答案．
【详解】根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），符合条件的只有A，
故选A．【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
3. 在数轴上表示不等式x－3≥0的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式，然后在数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，
点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：
“小于向左，大于向右”．
【详解】解：∵x－3≥0，
．
在数轴上表示不等式的解集为：
故选C．
【点睛】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集表示方法是解题的关键．
4. 如图是天安门周围的景点分布示意图．在图中，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面
直角坐标系．如果表示景山的点的坐标为(0，4)，表示王府井的点的坐标为(3，1)，则表示人民大会堂的点
的坐标为（ ）
A. (3，2) B. (1，2)
C. (1，1) D. (1，2)
【答案】D
【解析】
【分析】根据景山的点的坐标为(0，4)，表示王府井的点的坐标为(3，1)，确定故宫为原点，建立平面直角坐标系，进而即可求解．【详解】如图，以故宫为原点，建立平面直角坐标系，
则表示人民大会堂的点的坐标为 ，
故选D．
【点睛】本题考查了利用坐标表示具体位置，根据题意建立平面直角坐标系是解题的关键．
5. 下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（ ）
A. 调查本校七年级(1)班学生每天完成数学作业所用的时间
B. 调查全市中学生对电影《长津湖之水门桥》的喜爱程度
C. 调查“神舟十四号”运载火箭发射前零部件质量状况
D. 调查某封控区全体人员核酸检测情况
【答案】B
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比
较近似，根据以上逐项分析可知．
【详解】A. 调查本校七年级(1)班学生每天完成数学作业所用的时间，人员不多，适合普查，故A不符合
题意；
B. 调查全市中学生对电影《长津湖之水门桥》的喜爱程度，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故B
符合题意；
C. 调查“神舟十四号”运载火箭发射前零部件质量状况，这个调查很重要不可漏掉零件，适合普查，故C
不符合题意；
D. 调查某封控区全体人员核酸检测情况，人员不多，且这个调查很重要不可漏掉任何人，适合普查，故D
不符合题意．
故选B．【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问
题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题
的关键．
6. 将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为（ ）
A. 135° B. 120°
C. 105° D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意 ，根据平行线的性质可得 ，进而可得
，根据邻补角的定义即可求解．
【详解】标记字母如图，
， ，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折
回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；
如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，可列方程组为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，
列出二元一次方程组．
【详解】设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，得，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．
8. 小周是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)的每日行走步数(单位：千步)，并
绘制成右面的统计图．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A. 每日行走步数为4～8千步的天数占这个月总天数的10%
B. 每日行走步数为8～12千步的扇形圆心角是108°
C. 小周这个月超过一半的天数每日行走步数不低于12000步
D. 小周这个月行走的总步数不超过324千步
【答案】D
【解析】
【分析】根据频数分布直方图与扇形图信息关联，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 每日行走步数为4～8千步的天数占这个月总天数的 10%，故该选项正确，符合题意；
B. 每日行走步数为8～12千步的扇形圆心角是 108°，故该选项正确，符合题意；C. 小周这个月超过一半的天数每日行走步数不低于12000步，故该选项正确，符合题意；D. 小周这个月行走的总步数约为 千步，超过324千
步，故该选项不正确，不符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了频数分布直方图与扇形图信息关联，求扇形统计图的圆心角的毒素，频数分布直方图，
从统计图中获取信息是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 如图，利用量角器可知∠AOB的度数为__________．
【答案】40°
【解析】
【分析】根据量角器的度数与对顶角相等可得∠AOB的度数．
【详解】解：如图，
根据量角器的读数可得 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了对顶角相等，掌握对顶角相等是解题的关键．
10. “ 的一半与4的差是负数”用不等式表示：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用 的一半减去4的结果小于0列不等式．【详解】由题意得出： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了列一元一次不等式的知识，根据“差为负数”列不等式是解题关键．
11. 若 ，则 __________ ．
(用“＞”，“＜”，或“＝”填空)
【答案】＞
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等
式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基
本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式
的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12. 如图，要使CD BE，需要添加的一个条件为：__________．
【答案】 或 ， （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可求解．
【详解】解：添加 ，根据同位角相等，两直线平行，可得CD BE，
添加 ，根据内错角相等，两直线平行，可得CD BE，
添加 ，根据同旁内角互补，两直线平行，可得CD BE，故答案为： 或 或 （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
13. 已知 是方程为 ＝5的解，则m的值为__________．【答案】4
【解析】
【分析】将 代入 ＝5，解关于 的一元一次方程即可求解．
【详解】解：∵ 是方程为 ＝5的解，
∴ ，
解得 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，理解方程的解为使得方程两边相等的未知数的值是解题的
关键．
14. 在平面直角坐标系中，点P(a，1)位于第二象限且到y轴的距离为2，则a的值是__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据到 轴的距离是2可得 ，根据第二象限的点的坐标特征可得 ，据此即可求解．
【详解】解：∵点P(a，1)位于第二象限且到y轴的距离为2，
∴ 且
故答案为：
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键．
15. 已知m是整数，且 3
【解析】
【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．
【详解】解：移项，得5x-3x>7-1，
合并同类项，得2x>6，
系数化为1，得x>3，
∴不等式的解集是x>3.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
19. 解方程组： .
【答案】
【解析】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可.
【详解】解： ，
①-②得：3y=3，解得：y=1，将y=1代入①中可得：x=3，∴方程组的解为：
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题关键.
20. 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】数轴见解析，
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
将不等式的解集表示在数轴上：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解，正确的计算是解题的关键．
21. 如图，点P为∠AOB内一点，根据下列语句画图并回答问题：（1）画图：①过点P画OB边的垂线，垂足为点M；②过点P画OB边的平行线，交OA于点N；
（2）若∠O＝120°，则∠ANP＝ °，依据是 ；（3）连接OP，则线段OP与PM的大小关系是 ，依据是 ．
【答案】（1）见解析 （2）120；两直线平行，同位角相等；
（3）OP>PM；垂线段最短．
【解析】
【分析】（1）根据题意画出平行线与垂线；
（2）根据平行线的性质即可求解；
（3）根据点到直线的距离垂线段最短即可求解．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
∵PN//OB，
∴∠ANP = ∠AOB = 120°．
故答案为：120；两直线平行，同位角相等；
【小问3详解】
∵PM⊥OB于M，
∴OP > PM
故答案为：OP>PM；垂线段最短．
【点睛】本题考查了画平行线，画垂线，平行线的性质，点到直线的距离垂线段最短，掌握平行线的性质
与点到直线的距离垂线段最短是解题的关键．
22. 如图，已知AB∥CD，CF为∠ACD的平分线，∠A＝110°，∠EFC＝35°．
求证：EF∥CD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵AB∥CD，(已知)
∴∠ ＋∠ACD＝180°．( )
∵∠A＝110°，（已知）
∴∠ACD＝ °．(等量代换)
∵CF为∠ACD的平分线，(已知)
∴∠FCD＝ ∠ ＝35°．(角平分线定义)
∵∠EFC＝35°，(已知)
∴∠FCD＝∠EFC，(等量代换)
∴EF∥CD．( )
【答案】A；两直线平行，同旁内角互补；70; ACD；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】结合图形，根据平行线的性质与判定，角平分线的定义填写证明过程即可求解．
【详解】证明：∵AB∥CD，(已知)
∴∠A＋∠ACD＝180°．(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠A＝110°，（已知）
∴∠ACD＝70°．(等量代换)
∵CF为∠ACD的平分线，(已知)
∴∠FCD＝ ∠ACD＝35°．(角平分线定义)
∵∠EFC＝35°，(已知)
∴∠FCD＝∠EFC，(等量代换)
∴EF∥CD．(内错角相等，两直线平行)
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
23. 某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位家长
对课后延时服务的评分数据(记为x)，并对数据进行整理、描述和分析，制作了课后延时服务家长评分数据
的频数分布表如下：
分组 划记 频数(人) 百分比
0≤x＜60 2 4%
60≤x＜70 5 10%70≤x＜80 15 b
80≤x＜90 a 36%
90≤x≤100 10 20%
（1）表中a＝ ，b＝ ．
（2）下面是A，B，C三位同学分别绘制的课后延时服务家长评分数据的频数分布直方图，其中只有一位
同学的作图正确，则作图正确的同学是 ；
（3）已知该校共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于
80分．
【答案】（1）18，30%；
（2）B （3）336
【解析】
【分析】（1）根据表中的数据以及抽取总数即可得a，b的值；
（2）根据表中的数据即可判断；
（3）用总人数乘以样本中成绩在80分以上（含80分）人数所占比例即可．
【小问1详解】
b=15÷50×100%=30%，
∴a= 50× 36%=18，
故答案为：18，30%；
【小问2详解】
由题意得，0≤x＜60范围内的人数为2人，
60≤x＜70范围内的人数为5人，
70≤x＜80范围内的人数为15人
的
80≤x＜90范围内 人数为18人90≤x≤100范围内的人数为10人，
频数直方图为，
∴作图正确的是B同学，
故答案为：B；
【小问3详解】
600×(36%+20%）=336(名），
答：估计其中大约有336名家长的评分不低于80分．
【点睛】本题考查的是频数分布表与频数直方图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24. “冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某公司为奖励在
趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买“冰墩墩”和“雪容融”玩偶共20件作为奖品．已知“冰墩
墩”玩偶的零售单价是198元，“雪容融”玩偶的零售单价是100元．
（1）如果购买“冰墩墩”和“雪容融”玩偶共花费了2784元，求“冰墩墩”和“雪容融”玩偶各购买了
多少件？
（2）如果购买“雪容融”玩偶的件数不超过“冰墩墩”玩偶件数的2倍，请为该公司设计一种最省钱的购
买方案，并求出此时的总费用．
【答案】（1）“冰墩墩”玩偶购买了8件，“雪容融”玩偶购买了12件
（2）最省钱的购买方案为：购买“雪容融”玩偶13件，“冰墩墩”玩偶7件，此时的总费用为2686元
【解析】
【分析】（1）设“冰墩墩”玩偶购买了x件，“雪容融”玩偶购买了y个，利用总价=单价×数量，结合
购买20件玩偶所需总费用为2784元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买“雪容融”玩偶m件，则购买“冰墩墩”玩偶（20-m）件，根据购买“雪容融”玩偶的件数
不超过“冰墩墩”玩偶件数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结
合m为整数值即可得出m的最大值，结合“冰墩墩”玩偶的单价高于“雪容融”玩偶的单价，即可得出最
省钱的购买方案，再利用总价=单价×数量，即可求出此时所需总费用．
【小问1详解】
解：设“冰墩墩”玩偶购买了x件，“雪容融”玩偶购买了y件，根据题意，得
解得：
答：“冰墩墩”玩偶购买了8件，“雪容融”玩偶购买了12件．
【小问2详解】
设购买“雪容融”玩偶m件，则购买“冰墩墩”玩偶（20-m)件，
依题意得：m≤2(20-m)，
解得：m≤
m为整数，
m ≤13．
又 “冰墩墩”玩偶的单价高于“雪容融”玩偶的单价，
购买“雪容融”玩偶越多，所需总费用越少，
当m=13时，20-m=20-13=7
此时所需总费用为100×13＋198×7=2686（元)．
答：最省钱的购买方案为：购买“雪容融”玩偶13件，“冰墩墩”玩偶7件，此时的总费用为2686元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不
等式．
25. 如图，点A，B分别为∠MON的边OM，ON上的定点，点C为射线ON上的动点(不与点O，B重合)．
连接AC，过点C作CD⊥AC，过点B作BE∥OA，交直线CD于点F．（1）如图1，若点C在线段OB的延长线上，
①依题意补全图1；
②用等式表示∠OAC与∠BFC的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若点C在线段OB上，直接用等式表示出∠OAC与∠BFC的数量关系．
【答案】（1）①见解析，② ，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意作出图形；②设 交于点 ，根据平行线的性质可得 ，
根据垂直的定义以及直角三角形的两锐角互余可得 ，即可得出
；
（2）设 交 于点 ，根据平行线的性质可得 ，根据垂直的定义以及直角
三角形的两锐角互余可得 ，等量代换即可得出结论．
【小问1详解】
解：①如图所示，
② ，理由如下，如图，设 交于点 ，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，设 交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
即 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，正确的作出图形是解
题的关键．
26. 对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x，y)，给出如下定义：记a＝x y，b＝x＋y，将点M(a，b)与点N(b，a)称为点P的一对伴随点．例如，点M(5，1)与点N(1，5)为点P(3， 2)的一对伴随点．（1）点A(4，1)的一对伴随点坐标为 ；
（2）将点C(m＋1，3m 1) (m＞0)向右平移m个单位长度，得到点 ，若点 的一对伴随点重合，求点
C的坐标；
（3）已知点E(n， 2)，F(n＋1， 2)，点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当点D
在线段EF上运动时，线段GH与y轴总有公共点，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
的
【分析】（1）根据新定义求得点A(4，1) 一对伴随点坐标；
（2）根据平移方式求得点 的坐标，进而根据新定义求得点 的一对伴随点坐标，根据两点重合，列出
方程组即可求解，进而求得点 的坐标；
（3）根据新定义求得点 的一对伴随点坐标，根据当点D在线段EF上运动时，线段GH与y轴总有公共
点，可知 的横坐标互为相反数，据此列出不等式组，根据 的解集即可求解．
【小问1详解】
解：∵A(4，1)
∴a=4-1=3,b=4+1=5∴点A(4，1)的一对伴随点坐标为
故答案为：
【小问2详解】
解：∵将点C(m＋1，3m 1) (m＞0)向右平移m个单位长度，得到点 ，∴
则点 的一对伴随点为
点 的一对伴随点重合，
解得 ，则
即
【小问3详解】
解： 点E(n， 2)，F(n＋1， 2)，点D为线段EF上的动点，
设 ， ，
∴ ，
的一对伴随点为 ，
线段GH与y轴总有公共点，
，
解得 ，
，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了新定义问题，坐标的平移，一元一次不等式组的应用，理解新定义是解题的关键．
