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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
燕山地区 2023—2024 学年第一学期九年级期末考试
数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）
第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转 后能与自身重合，
这个图形是中心对称图形是解题的关键
根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A不是中心对称图形，故不符合要求；
B中是中心对称图形，故符合要求；
C中不是中心对称图形，故不符合要求；
D中不是中心对称图形，故不符合要求；
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故选：B．
2. 已知点P在半径为r的 内，且 ，则r的值可能为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆
的位置关系求解即可．
【详解】解：∵点P在半径为r的 内，且 ，
∴ ．
故选D．
3. 下列函数中，当 时， 随 的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图像的性质，根据各函数的解析式，逐项分析判
断，即可求解．
【详解】解：A、正比例函数 的图像， 随 的增大而增大，
故此选项不符合题意；
B、一次函数 的图像， 随 的增大而增大，
故此选项不符合题意；
C、二次函数 的图像，开口向上，对称轴为 轴，
当 时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；
D、二次函数 的图像，开口向下，对称轴为 轴，
当 时， 随 的增大而减小，故此选项符合题意；
故选：D．
4. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，
则小球最终停留在白砖上的概率是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：观察这个图可知：白色区域（4块）的面积占总面积（9块）的 ，
则它最终停留在白砖上的概率是 ．
故选：B．
5. 如图，点A，B在 上，点C是劣弧 的中点， ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查圆周角定理，由点 是劣弧 的中点，得到 ，根据圆周角定理即可得到结
论．
【详解】解：∵点C是劣弧 的中点，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
6. 电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每
周累计票房 的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元，
列出方程即可．
【详解】解：设增长率为x，由题意，得： ；
故选C．
7. 如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点都在格点上，则 外接圆的圆心坐标为( )
A. (3，2) B. (2，3) C. (2，2) D. (3，3)
【答案】A
【解析】
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【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，作 和 的垂直平分线，它们的交点 为 外接圆
圆心，然后写出 点坐标即可．
【详解】解：如图所示，作 和 的垂直平分线，它们的交点 为 外接圆圆
即 外接圆圆心的坐标为 ．
故选：A．
8. 平面直角坐标系 中，已知二次函数 的部分图象如图所示，给出下面三个结论：
① ；② 二次函数 有最大值4；③ 关于x的方程 有两个实数根
， ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数
图象的性质等等，根据开口向下可得 ，根据对称轴为直线 得到 ，由此可判断①；根
据顶点坐标为 ，即可判断②；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为 ，即可判
断③。
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【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴ ，
∵二次函数对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
由函数图象可知，该二次函数的顶点坐标为 ，
∴二次函数 有最大值4，故②正确；
∵二次函数与x轴的一个交点坐标为 ，
∴由对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴关于x的方程 有两个实数根 ， ，故③正确；
故选D.
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】（4，-1）
【解析】
【分析】由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：
点A（-4，1）关于坐标原点O对称点A′的坐标是（4，-1）．
故答案为：（4，-1）．
【点睛】本题考查解关于原点对称的点坐标问题，关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，
横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的
点，横坐标与纵坐标都互为相反数，会利用对称性求点的坐标．
10. 一元二次方程 的解是_________________．
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【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
，
则 ，
或 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
11. 将抛物线 向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键，根据函数图象的平移
规则“左加右减”进行求解即可．
【详解】解：将抛物线 向左平移1个单位长度，得到抛物线 的解析式为 ，
故答案为： ．
12. 已知某二次函数的图象开口向上，且顶点坐标为 ，则这个二次函数解析式可以是
_________________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意中二次函数的性质写出符合要求的解析式即可，此题考查了二次函数的图象和性质，熟
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练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数 的图象开口向上，且顶点坐标为 ，
故答案为： （答案不唯一）
13. 如图， ， 是 的两条切线，切点为 ， ，若 ， ，则 的半径为
_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，根据切线的性质和矩形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解： ， 是 的两条切线，切点为 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
的半径为3，
故答案为：3．
14. 如图， 是 的直径，弦 于点E，连接 ，若 ， ，则 的长为
_________________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得 ，再利用勾股定理得 ，进
而可求出 ，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
【详解】解：连接 ，如图：
为直径，且 ， ，
，
在 中， ，根据勾股定理得：
，
，
，
．
故答案为： ．
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15. 在一个不透明的盒子中共装有 个球，其中有 个红球，这些球除颜色外无其他差别．为估计 的值，
小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出 个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记
录实验数据如下：
摸球的次数
摸到红球的次数
摸到红球的频率
根据以上数据，估计 的值约为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法，根据利用频率估计概率，由于摸到红球的频率稳定在
左右，由此可估计摸到红球的概率为 ，进而可估计口袋中红球的个数，从而得到红球的个数．
【详解】解：根据表格，摸到红球的频率稳定在 左右，所以摸一次，摸到红球的概率为 ，则可估
计口袋中红球的个数约为 (个)，
故答案为： ．
16. 2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥
物玩偶礼盒装，每盒进价为 元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过 元 盒．在销售
过 程 中 发 现 该 礼 盒 每 周 的 销 量 ( 件 与 销 售 单 价 ( 元 之 间 近 似 满 足 函 数 关 系 ：
．
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（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为 (元 ，则 与 的函数关系式为________________；
（2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为__________________元．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用
（1）依据题意，由该网店每周销售该礼盒所获利润为 单个利润 销量，进而列式可以得解；
（2）依据题意，由（1）得解析式，配方成顶点式后，结合自变量的取值范围进行判断可以得解．
【详解】解：（1）该网店每周销售该礼盒所获利润为 ，
，
故答案为： ；
（2）由题意， ，
又 ，抛物线开口向下，对称轴是直线 ，
当 时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大 (元 ．
故答案为： ．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20题6分，第21－23题，每题5分，第
24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 解方程：x2+4x﹣12＝0．
【答案】x=﹣6，x=2
1 2
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程变形为：（x+6）（x,﹣2）=0，
∴x+6=0或x﹣2=0，
∴x=﹣6，x=2．
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能灵活运用是解答的关键．
18. 已知 ，求代数式 的值．
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【答案】21
【解析】
【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，单项式乘多项式，完全平方公式等知识，先根据单项式乘
多项式，完全平方公式化简，然后用整体代入法求解即可．
【
详解】解：原式
．
∵ ，
∴ ，
∴
，
∴原式 ．
19. 2023年7月31日，北京遭遇 年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某
社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到 组(信息登记)，
组(物资发放)， 组(垃圾清运)的其中一组．
（1）小东被分配到 组是 事件 (填“必然”，“随机”或“不可能”)；
小东被分配到 组的概率是 ．
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．
【答案】（1）随机；
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式
（1）根据随机事件的定义可得答案；由概率公式可得答案．
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（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小东和小北被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，小东被分配到 组是随机事件．
小东被分配到 组的概率是 ．
故答案为：随机； ．
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小东和小北被分配到同一组的结果有3种，
小东和小北被分配到同一组的概率为 ．
20. 如图，将 绕点B逆时针旋转得到 ，点C的对应点E恰好落在 上．
（1）若 ， ，求线段 的长．
（2）连接 ，若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定及性质；
（1）由旋转的性质得 ， ，再由 ，即可求解；
（2）由三角形内角和定理可求 ，再由“等边对等角”和三角形内角和定理得 ＝
，即可求解；
掌握相关的性质，并能熟练利用等腰三角形的性质进行角度求解是解题的关键．
【小问1详解】
解： 将 绕点B逆时针旋转得到 ，点C的对应点E落在 上，
， ，
；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
， ，
，
，
，
＝
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．
21. 阅读下面的材料
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉
伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时
期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．
以 为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
① 如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为 和5的矩形，再补上一个边长为5的小正
方形，最终把图形补成一个大正方形；
② 一方面大正方形的面积为(x+ )2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为
，可得方程 ，则方程的正数解是 ．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）补全花拉子米的解法步骤②；
（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程 的正数解的正确构图是
(填序号)．
【答案】（1）5，5，25，3
（2）①
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据已知算式和图形可得答案．
（2）根据“在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为 和5的矩形，再补上一个边长为5的小正
方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案．
【小问1详解】
解：一方面大正方形的面积为 ，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为 ，可得
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方程 ，则方程的正数解是 ．
故答案为：5；5；25；3．
【小问2详解】
解：由题意可得，能够得到方程 的正数解的正确构图：
在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为 和3的矩形，再补上一个边长为3的小正方形，最终
把图形补成一个大正方形
∴①符合．
故答案为：①．
的
22. 已知关于x 一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根．
【答案】（1）
（2）取 ， ， (答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程；
（1）由两个不相等的实数根得 ，解不等式即可求解；
（2）由m为正整数可求 的值，取一个将 的值代入原方程，并解方程即可求解；
正确解方程，掌握一元二次方程根的判别式：“ 方程有两个不相等的实数根； 方程有
两个相等的实数根； 方程有无的实数根．” 是解题的关键．
【小问1详解】
解：
；
方程有两个不相等的实数根，
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，
即 ，
解得： ，
的取值范围是 ．
【小问2详解】
解： ，且m为正整数，
或 ，
可取 ，
原方程化为 ，
解得 ， ．
23. 已知二次函数 的图象经过点 ， ．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于二次函数 的值，结合函数图
象，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知
识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知当 时， 恒成立，因此只需要满足n不大于，当 时，
的值即可．
【小问1详解】
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解：把 代入 中得： ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：当 时，则 ，
令 ，
∵函数 开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时，S随x增大而增大，
∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于二次函数 的值，
∴当 时， 恒成立，
当 时， ，
∴ ．
24. 如图，在 中， ，点D在 上，以 为直径作 与 相切于点E，连接
并延长交 的延长线于点F．
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（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2） 的半径为5
【解析】
【分析】（1）如图 1，连接 ．由 为 的切线，可知 ．证明 ，则
， ，即 ，进而结论得证；
（ 2 ） 如 图 2 ， 连 接 ． 则 ， 由 ， 可 得
， 则 ， 即 ， 求 得 ， 根 据
，求 ，然后求 的半径即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连接 ．
∵ 为 的切线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图2，连接 ．
∵ 为 直径，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，
∴ 的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直径所对的圆周角为
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直角，正切等知识．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直径所对的
圆周角为直角，正切是解题的关键．
25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．
在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B
中的剩余质量分别为 ， (单位：克)．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录 ， 与x的几组对应值如下：
x(
1 2
分 0 5 15 …
0 0
钟)
2 23. 2 14.
(克 7 …
5 5 0 5
)
2 1
(克 20 10 5 …
5 5
)
（1）在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ，并画出函数
的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足函数关系
．场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足函数关系 ．
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请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场
景A，B中发挥作用的时间分别为 ，则 (填“＞”，“=”或“＜”)．
【答案】（1）见详解 （2） ，
（3）＞
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当 时x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意，作图如下．
；
【小问2详解】
解：由题意，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足函数关系 .
又点 在函数图象上，
∴ ．
解得： ．
∴场景A函数关系式为 ．
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对于场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足函数关系
又 在函数图象上，
∴ ．
解得： ．
∴场景B函数关系式为 ．
【小问3详解】
解：由题意，当 时，
场景A中，
场景B中， ，
解得： ，
∴ ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上，设抛物线的对
称轴为 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质
（1）依据题意，若 ，从而对称轴是直线 ，进而可以得解；
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（2）把 ， 代入解析式 ，根据 得出 的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意，若 ，
对称轴是直线 ．
即 ；
【小问2详解】
解： 抛物线 的对称轴为 ，
，
，
，
， 在抛物线 上，
，
① ②得， ，
，
，
，
，
，
由①得， ，
，
，
，
，
，
的取值范围为 ．
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27. 如图， 为等边三角形，点 为 边上一点(不与点 ， 重合)，连接 ，过点 作
于点 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）依题意补全图形，直接写出 的大小，并证明；
（2）连接 并延长交 于点 ，用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析， ，证明见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图之旋转变换，
（1）根据题意即可补全图形，然后利用旋转的性质得 为等边三角形，证明 ，
得 ，即可解决问题；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，得 ， ，证明
，得 ，然后证明 ，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图所示，即为补全的图形， ，
证明： 为等边三角形，
， ，
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由线段 绕点 顺时针旋转 可知，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，理由如下：
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
， ，
由（1）知： ，
∵ 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ 为等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
28. 在平面直角坐标系 中，对于 和 外一点 给出如下定义：连接 交 于点 ，作点
关于点 的对称点 ，若点 在线段 上，则称点 是 的“关联点”．例如，图中 为 的
一个“关联点”．
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（1） 的半径为1．
①如图1，在点 ， ， 中， 的“关联点”是 ；
②已知点 在直线 上，且点 是 的“关联点”，求点 的横坐标 的取值范围．
（2）直线 与 轴， 轴分别交于点 ，点 ， 的圆心为 ，半径为2，若线段
上所有点都是 的“关联点”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① A；②
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了对称的性质，求函数上点的坐标，解不等式组等
（1）①通过“关联点”的定义求出 ， ， 的坐标，从而判断点 ， ， 是否是 的“关联
点”；
②通过“关联点”的定义得到 的取值范围，从而求出点 的横坐标 的取值范围；
（2）求出点 ， 的坐标，得到 ， 的取值范围，列出不等式从而求出 的取值范围．
【小问1详解】
解：解：①通过“关联点”的定义作点 ， ，
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设 ，
， ，
， ，
， ，
点 的坐标为 ，
同理得 ， ，
可得点 在线段 上，得点 是 的“关联点”，
故答案为：点 ；
②连接 ，作线段 的中点 ，
由“关联点”的定义可知，当 时，点 在线段 上，点 是 的“关联点”，
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，点 是线段 中点，
，
由点 在直线 上，设点 坐标为 ，
，
，
解得 ，
得点 横坐标 取的值范围是 ；
【小问2详解】
解：如图，把 代入 ，得 ，则点 的坐标为 ，
把 代入 ，得 ，则点 的坐标为 ，
由（2）得，若线段 上所有点都是 的“关联点”，则有 ，
当 在 轴左侧时，
即 ，整理得 ，解得 ，
与直线 相切:由 ， ，可知 ，
∵ ， ，
∴在 中，
，则 ，
故 ，
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当 在 轴右侧时，
即 与点 重合： ，
，整理得 ，解得 ，
故 ，
综上所述，解得 或 ．
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