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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题34 重要的数学思想方法问题
一、填空题
1. （2024四川内江）已知实数a，b满足 ，那么 的值为________．
2.（ 2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结
构简图，右图为其平面示意图，已知 于点B， 与水平线l相交于点O， ．若
分米， 分米． ，则点C到水平线l的距离 为________分米（结果用
含根号的式子表示）．
二、解答题
1. （2024广西）如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分
∠ACB.
（1）求证： ；
（2）如图2，将 绕点O逆时针旋转得到 ，旋转角为 ．连接 ，
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①求 面积的最大值及此时旋转角 的度数，并说明理由；
②当 是直角三角形时，请直接写出旋转角 的度数．
2. （ 2024 河 北 省 ） 如 图 ， 抛 物 线 过 点 ， 顶 点 为 Q ． 抛 物 线
（其中t为常数，且 ），顶点为P．
（1）直接写出a的值和点Q的坐标．
（2）嘉嘉说：无论t为何值，将 的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在 上．
淇淇说：无论t为何值， 总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当 时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线 ，当l与 的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．
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（4）设 与 的交点A，B的横坐标分别为 ，且 ．点M在 上，横坐标为
．点N在 上，横坐标为 ．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大
距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．
3.（ 2024江苏扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，
猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知 ， ， 是 的外接圆，点 在 上（ ），连接 、
、 ．
【特殊化感知】
（1）如图1，若 ，点 在 延长线上，则 与 的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若 ，点 、 在 同侧，判断 与 的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若 ，直接写出 、 、 满足的数量关系．（用含 的式子表示）
3.（ 2024内蒙古赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行
了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出
后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立
平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量
和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
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（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 米，点C到点B的水平距离
为3米，则水滑道 所在抛物线的解析式为______；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离 米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全
距离 不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线 关于点B成中心对
称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线 的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑
道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架 ，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架 ．现在
需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与 平行，且与水滑道有唯一公共
点，一端固定在钢架 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
4.（ 2024重庆市A）在 中， ，点 是 边上一点（点 不与端点重合）．点 关于直
线 的对称点为点 ，连接 ．在直线 上取一点 ，使 ，直线 与
直线 交于点 ．
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（1）如图1，若 ，求 的度数（用含 的代数式表示）；
（2）如图1，若 ，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若 ，点 从点 移动到点 的过程中，连接 ，当 为等腰三角形时，
请直接写出此时 的值．
5. （2024 四川德阳）已知 的半径为 5， 是 上两定点，点 是 上一动点，且
的平分线交 于点 ．
（1）证明：点 为 上一定点；
（2）过点 作 的平行线交 的延长线于点 ．
①判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 为锐角三角形，求 的取值范围．
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