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2023届高考数学三轮冲刺卷：数列的递推公式
一、选择题（共20小题；）
1 6
1. 已知数列 {a } 的首项 a =1，且满足 a = a + ，则此数列的第三项是 ()
n 1 n+1 2 n 7(n+1)
1 3 6
A. 1 B. C. D.
2 4 7
2. 数列 1，3，6，10，15，⋯，的递推公式是 ()
A. a =a +n,n∈N
n+1 n +
B. a =a +n,n∈N ,n≥2
n n−1 +
C. a =a +(n−1),n∈N
n+1 n +
D. a =a +(n−1),n∈N ,n≥2
n n−1 +
{a }
3. 已知数列 {a } 中，a =1，a =a +n+1，则数列 n 的前 n 项和为 ()
n 1 n+1 n n
n2+5n n2+5n n2+3n n2+3n
A. B. C. D.
2 4 2 4
4. 已知数列 {a } 中，a =1，以后各项由公式 a ⋅a ⋅a ⋅⋯⋅a =n2 给出，则 a +a 等于 ()
n 1 1 2 3 n 3 5
25 25 61 31
A. B. C. D.
9 16 16 15
5. 已知数列 {a } 的前 n 项和为 S ，且 S =2(a −1)，则 a 等于 ()
n n n n 2
A. −2 B. 1 C. 2 D. 4
6. 已知数列 {a } 的前 n 项和为 S ，a =1，S =2a ，则 S = ()
n n 1 n n+1 n
(3) n−1 (2) n−1 1
A. 2n−1 B. C. D.
2 3 2n−1
7. 已知数列 {a } 中，a =1，a =a2−1，则 a = ()
n 1 n+1 n 2017
A. −1 B. 1 C. 2 D. 0
(−1) n a
8. {a } 满足 a =1，a = +1(n≥2,n∈N )，则 4 等于 ()
n 1 n a + a
n−1 5
1 9 2
A. 2 B. C. D.
2 2 9
9. 在数列 {a } 中，对于任意的 p,q∈N ，有 a =a ⋅a ，若 a =4，则 a = ()
n + p+q p q 2 10
A. 64 B. 128 C. 504 D. 1024
2
4 log a
10. 若 a>0，a3= ，则 2 等于 ()
9 3
A. 2 B. 3 C. 4 D. 51
11. 在数列中，a = ，a =(−1) n ⋅2a (n≥2)，则 a 等于 ()
1 3 n n−1 5
16 16 8 8
A. − B. C. − D.
3 3 3 3
12. 数列 {a } 满足 a =1，a =3，a =(2n−λ)a ，则 a 等于 ()
n 1 2 n+1 n 3
A. 5 B. 9 C. 10 D. 15
1+a
13. 在数列 {a } 中，a =−2，a = n ，则 a = ()
n 1 n+1 1−a 2021
n
1 1
A. −2 B. − C. D. 3
3 2
1 1
14. 已知数列 {a } 满足 a = +√a −a2 ，且 a = ，则该数列的前 2016 项的和等于 ()
n n+1 2 n n 1 2
A. 1509 B. 3018 C. 1512 D. 2016
15. 在数列 {a } 中，a =1，a =5，a =a −a (n∈N∗) ，则 a = ()
n 1 2 n+2 n+1 n 100
A. 1 B. −1 C. 2 D. 0
{(1 )
−a n+2, n>8
16. 已知数列 {a } 满足 {a }= 3 ，若对于任意的 n∈N∗ 都有 a >a ，则
n n n n+1
an−7, n≤8
实数 a 的取值范围是 ()
( 1) ( 1) (1 1) (1 )
A. 0, B. 0, C. , D. ,1
3 2 3 2 2
17. 考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857，因为 142857×2=285714，
142857×3=428571，⋯，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：
142+857=999，571+428=999，⋯，若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3
个数字构成一个三位数 x，则 999−x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率
为 ()
4 3 2 3
A. B. C. D.
5 5 5 10
a −1
18. 数列 {a } 满足 a =2，a = n+1 ，其前 n 项的积为 T ，则 T 的值为 ()
n 1 n a +1 n 2016
n+1
1
A. −3 B. 1 C. 2 D.
3
1 1
19. 在数列 {a } 中，a =− ，a =1− (n>1)，则 a 的值为 ()
n 1 4 n a 2018
n−1
1 4
A. − B. C. 5 D. 以上都不对
4 51+a
20. 已知数列 {a } 满足 a =2，a = n ，则 a 等于 ()
n 1 n+1 1−a 15
n
1 1
A. 2 B. −3 C. − D.
2 3
二、填空题（共5小题；）
21. 数列 {a } 满足 a =4a +3,a =0，则此数列的第 5 项是 ．
n n n−1 1
22. 下表是用列表法定义的函数 f (x)．
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 3 4 6 2 1 5
在数列 {a } 中，已知 a =f (a )(n∈N∗)，a =2，则 a = ．
n n+1 n 1 5
23. 在各项均为正数的数列 {a } 中，对任意的 m,n∈N∗，都有 a =a ⋅a ．若 a =64，则
n m+n m n 6
a = ．
9
1
24. 数列 {a } 中，a = +1，若 a =1，则 a = ；若 a =4，则 a =
n n a 1 2 4 2
n−1
．
1+a
25. 已知数列 {a } 满足 a =2，a = n (n∈N∗)，则该数列的前 2019 项的乘积
n 1 n+1 1−a
n
a ⋅a ⋅a ⋅⋯⋅a = ．
1 2 3 2019
三、解答题（共5小题；）
26. 已知在数列 {a } 中，a =3，a =21，通项 a 是关于 n 的一次函数．
n 1 10 n
（1）求 {a } 的通项公式并求 a ；
n 2011
（2）若 {b } 是由 a ，a ，a ，a ⋯ 组成的，试归纳出 {b } 的一个通项公式．
n 2 4 6 8 n
a2
27. 已知正项数列 {a } 满足 a = n ，且 11．
n
（2）求证：a a ，
n n+1
所以数列 {a } 单调递减，可知 08，a = (1 −a ) n+2 单调递减，而 a =an−7(n≤8) 单调递减，
3 n 3 n
所以 (1 −a ) ×9+2 1 ，因此 1 8，a = −a n+2 单调递增，应舍去．
3 n 3
1
综上可知：实数 a 的取值范围是 0，得 a =8，
n 3
所以 a =a ⋅a =64×8=512．
9 6 3
3
24. 2，−
2
25. 3
1+a 1+a 1 1+a 1 1+a
【解析】由题意可得，a = 1 =−3，a = 2 =− ，a = 3 = ，a = 4 =2=a ，
2 1−a 3 1−a 2 4 1−a 3 5 1−a 1
1 2 3 4
所以数列 {a } 是以 4 为周期的数列，而 2019=4×504+3，a a a a =1，
n 1 2 3 4
所以前 2019 项的乘积为 1504 ⋅a a a =3．
1 2 3
26. （1） 设 a =kn+b(k≠0)，
n
{ k+b=3,
由题意，得
10k+b=21.{k=2,
解得 所以 a =2n+1(n∈N∗)．
b=1. n
所以 a =4023．
2011
（2） 因为 a ，a ，a ，a ，⋯，即为 5，9，13，17，⋯，
2 4 6 8
所以 b =4n+1(n∈N∗)．
n
a2
27. （1） 因为 a = n >0，
n+1 2a −1
n
1
所以 a > ．
n 2
a2 a2−2a +1
又 a −1= n −1，即 a −1= n n ，
n+1 2a −1 n+1 2a −1
n n
(a −1) 2
所以 a −1= n >0．
n+1 2a −1
n
1
因为 a > ，
n 2
所以 a −1>0，又 a ∈(1,2)，
n+1 1
所以 a >1．
n
a2
（2） 因为 a = n ，
n+1 2a −1
n
a a
所以
n+1= n
，
a 2a −1
n n
a a 1
n+1= n =
所以 a 2a −1 1 ，
n n 2−
a
n
又因为 a >1，
n
a
所以
n+1<1，
a
n
所以 a
