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2023年高考押题预测卷01
理科数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B C B A B D D B A D A
13．96 14. 15. 16.
17．（12分）
【详解】（1）∵ ，
∴ ，（3分）
∴ ，
∴ ．（6分）
（2）由（1）可得： ，且C为钝角，
即 ，
即 ， ，（7分）
，（10
分）
当且仅当 ，即 时取等号．
故 的最大值为 ．（12分）
18．（12分）
【详解】（1）由题意可得： ，平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，
若 为 的中点，则 ，（3分）
可得 ，
设异面直线 与 所成角 ，则 .（6分）
（2）若动点 在线段 上，设 ，
则 ，可得 ，解得 ，
即 ，则 ，
由题意可知：平面 的法向量为 ，（8分）
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
对于 开口向上，对称轴为 ，
可得当 时， 取到最小值 ，（11分）
所以 的最大值为 ，
注意到 ，
故 与平面 所成角的最大时正弦值 .（12分）
19．（12分）
【详解】（1）解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为 ，则教师甲获得冠军的概率
，
（3分）
由对立事件的概率公式，可得得 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.（6分）
（2）解：根据题意知， 的可能取值为 ，
可得 ，
，
，
.（10分）
所以随机变量 的分布列为
0 15 30
0.15 0.425 0.35 0.075
所以期望为 .（12分）
20．（12分）
【详解】（1）不妨设点 在 轴的上方,由椭圆的性质可知 .
是以 为直角顶点的等腰直角三角形,
代人 ,得 ,整理得 .
的面积为 .
故椭圆 的方程为 .（5分）
（2）设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,直线 的方程为 .
不妨设 ,则 .
联立 可得 ,
,则 ,（7分）
，即 ，
，（11分）
故 得证.（12分）
21．（12分）.
【详解】（1）令 ， 的定义域为 ，
则 ，所以 在 上单调递增.
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以原不等式的解集为 .（4分）
（2）证明: ，令 ，易知 在 上单调递减，且 .
当 时， ，此时 单调递增;当 时， ，此时 单调递减.
所以 .（6分）
因为函数 存在两个不同的零点 ，所以 ，即 ，由图可知 ，
由题意知 ，
所以 ，（8分）
两式相减得 .
所以 等价于
，
也等价于 .
因为 ，所以由(1)的解题过程知 ……①
……②（10分）
因为 ，所以 ，
即 ……③
①+②+③得 ，
所以 .（12分）
22.（10分）
【详解】（1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以 ，又 ，所以曲线 的普通方程为 ，又曲线 的极坐标方程为 ，由 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 ，
由 ，解得 或 ，所以 .（5分）
（2）又 ，所以 ，
所以 ，即曲线 的极坐标方程为 ，
因为 ，所以设 ， ，（6分）
所以
，（8分）
所以当 时 取得最小值 ，
当 时 取得最大值 ，
所以 的取值范围为 .（10分）
23.（10分）
【详解】（1）由基本不等式可得 可得
当且仅当 时，等号成立.
又由 ，得 ，所以 当且仅当 时，等号成立.
故原不等式得证.（5分）
（2）要证 ，即证
即证
令 ，即证
因为 且
故 ，即原不等式得证.（10分）
