文档内容
2023年高考押题预测卷01【新高考Ⅰ卷】
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．已知集合 ， ，则 中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】由题设 ，所以 ，故其中元素共有4个.
故选：B
2．已知 ， 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，则 .
故选：C.
3．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布 ，已 ，则
的学生人数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】D
【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布 ，所以期末考试数学成绩关于 对称，
则 ，所以 ，
所以 的学生人数为： 人.
故选：D.
4．已知直四棱柱 的底面为正方形， ， 为 的中点，则过点 ， 和的平面截直四棱柱 所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，
过点 作 的平行线，交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，则过点 ， 和 的平面截直四
棱柱 所得截面即四边形 ．
易得 ，所以四边形 为菱形，连接 ，
则 ，又 ， ，
所以截面面积为 ，
故选：D．
5．已知函数 ，若 使得 的图象在点 处的切线与
轴平行，则 的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】 ，
因为 使得 的图象在点 处的切线与 轴平行，
所以函数 在 上存在最值，即函数 在 上存在对称轴，
令 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，则 ，
又 ，故 时， 取最小值为 ，
故选：A
6．已知焦点在x轴上的椭圆C： 上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F
的直线交于点P，若 为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设椭圆的半焦距为c，
由题意可得： ，
可得： ，
由图可得：∠APB即为 的补角，
若∠APB为钝角，即 为锐角，
由图可知 ，故原题意等价于 ，
整理得 ，且 ，解得 ，
所以椭圆的离心率的取值范围是 .
故选：D.
7．已知 ，若 是方程 的一个解，则 可能存在的区间是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】 ，所以 ，
因为 是方程 的一个解，
所以 是方程 的解，令 ，
则 ，当 时， 恒成立，
所以 单调递增，
又 ，
所以 .
故选：C.
8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一
个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均
小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 ；当三角
形有一内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已
知 分别是 三个内角 的对边，且 ， ，若点P为
的费马点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ,
即 ,
又 ,
,
即 ,
, 又 .
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知, , ,,
.
由 等号左右两边同时乘以 可得：
，
.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生
的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可
得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 ，为进一步了
解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间 内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2
人的成绩作分析，下列结论正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的
B．估计100名学生成绩的中位数是85
C．估计100名学生成绩的80%分位数是95
D．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于 ，则后抽取的学生成绩在 的
概率是
【答案】AC
【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得
，解得 ，故A正确；
对于B：全校学生成绩的中位数为，
故中位数位于 之间，故中位数为 ，故B错误，
对于C：全校学生成绩的样本数据的 分位数约为 分，故C正确．
对于D：在被抽取的学生中，成绩在区间 ， 和 的学生人数之比为 ，故 抽
取了2人， 中抽取了4人，先抽取的学生成绩位于 ，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，
而此时学生成绩在 的个数有4个，故概率为 ，故D不正确，
故选：AC
10．已知 为定义在 上的偶函数，则函数 的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】因为 是偶函数，所以 ，即 ，所以 是奇函数.
对于A，定义域为 ，所以不满足题意；
对于B，定义域为 ， ，符合题意；
对于C，定义域为 ， ，不符合题意；
对于D，定义域为 ， ，而 ，符合
题意.
故选：BD.
11．如图，在棱长为2的正方体 中，E为边AD的中点，点P为线段 上的动点，设
，则（ ）A．当 时，EP//平面 B．当 时， 取得最小值，其值为
C． 的最小值为 D．当 平面CEP时，
【答案】BC
【详解】在棱长为2的正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，则点 ，
对于A， ， ， ，而 ，
显然 ，即 是平面 的一个法向量，
而 ，因此 不平行于平面 ，即直线 与平面 不平行，A
错误；
对于B， ，则 ，
因此当 时， 取得最小值 ，B正确；
对于C， ，
于是 ，当且仅当 时取等号，C正
确；
对于D，取 的中点 ，连接 ，如图，因为E为边AD的中点，则 ，当 平面CEP时， 平面 ，
连接 ，连接 ，连接 ，显然平面 平面 ，
因此 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
即有 ，而 ，所以 ，D错误.
故选：BC
12．在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点， ，点列P在圆 上，若对于 ，
存在数列 ， ，使得 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为公差为2的等差数列 B． 为公比为2的等比数列
C． D． 前n项和
【答案】CD
【详解】对AB，由点列P在圆 上，则由参数方程得 ，则
，∴ .
对于 ，存在数列 ， ，使得 ，即 ①， ②，
①②两式相除得 ，
令 ，则 ，则 为以首项 ，公比为的等比数列.
则 ，AB错；
对C， ，C对；
对D， ，
，
两式相减得，
.
∴ ，D对.
故选：CD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分,其中第16题第一空2分，第二空3分．
13．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为__________. 用
表示
【答案】
【详解】∵ 夹角为 ， ，
∴ ，
∴所以向量 在向量 方向上的投影向量为 .
故答案为： .
14．已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为__________.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，所以 ；所以 ，所以 ，
曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
15．冰雹猜想是指：一个正整数 ，如果是奇数就乘以 再加 ，如果是偶数就析出偶数因数 ，这样经过
若干次，最终回到 ．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题，已知正
整数列 满足 ，若存在首项 ，使得 ，已知 ，则
___________.（写出一个满足条件的值即可）
【答案】 或 （只填写一个即可）
【详解】 ， ，
所以若 是偶数，则 ，若 是奇数，则 ，与已知矛盾，故 ；
所以若 是偶数，则 ，若 是奇数，则 ，与已知矛盾，故 ；
所以若 是偶数，则 ，若 是奇数，则 ，与已知矛盾，故 ；
所以若 是偶数，则 ，若 是奇数，则 ，与已知矛盾，故 ；
所以若 是偶数，则 ，若 是奇数，则 ，故 或 ；
余下推导用图表示可得：
故答案为： 或 （只填写一个即可）
16．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆
的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形
的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿 三边
翻折后交于点 .若 ，则 ___________；若 ，则 的值为___________.
【答案】 /5.75
【详解】设外接圆半径为 ，则 ，
由正弦定理，可知 ，
即 ，由于 是锐角，故 ，
又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即 ,故 ，
所以 ；
设 ，
则 ，
由于 ，不妨假设 ，
由余弦定理知 ，
设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,
故 ,
则得 ，所以 ，
同理可得 ，
所以 ,
故答案为： ；
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起
至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道
门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少
去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以
下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以
上）分类统计得到如下不完整的 列联表：
不满
满意 总计
意
50周岁及以下 55
50周岁以上 15
总计 100
(1)根据统计数据完成以上 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为对全省实施景区
门票减免活动是否满意与年龄有关联？
(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为 ，若以
本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．
①求 的分布列和数学期望；
②求 ．
参考公式及数据： ，其中 ．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)补全的 列联表见解析；有关；(2)①分布列见解析； ；②
【详解】（1）由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，
补全的 列联表如下：
不满
满意 总计
意
50周岁及以下 5 55 60
50周岁以上 15 25 40
总计 20 80 100
则 .
所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.
（2）①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，
则 ， 的所有可能取值为0，1，2，3，
， ， ，
，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
因为 ，所以数学期望 .
② .
18．从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
① ，其中 为 的面积，② ，③ ．
在 中，角 ， ， 对应边分别为 ， ， ，_______________．
(1)求角 ；
(2)若 为边 的中点， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①，由余弦定理得： ，又 ，所以 ，
得 ，
因为 ，所以 ．
选②，因为 ，由正弦定理得： ，
整理得： ，
由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ．
选③，因为 ，由正弦定理得： ，
即 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ．
（2）在 中，设 ，
由正弦定理得 ，
所以 ， ，
∴ ，其中 ，
当 时取等号，所以 的最大值是 ．19．已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵ ，则有：
当 时， ，解得 ；
当 时，则 ，
两式相减得 ，即 ；
注意到 ，故 ，
∴ 是首项为3，公比为3的等比数列，
故 .
（2）由（1）得 ，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时 ；
综上所述： .20．如图1，在四边形ABCD中， ， ，AE=BE=2CD=2， .将四边形AECD沿AE
折起，使得 ，得到如图2所示的几何体.
(1)若G为AB的中点，证明： 平面ABE；
(2)若F为BE上一动点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取BE的中点O，连接OC，OG，则 ， ，
因为 ， ，故 且CD=OG，
所以四边形CDGO为平行四边形，则 .
因为 ， ， ， 面BCE，
所以 平面BCE， 面BCE，所以 .
因为BC=CE，所以 .
因为 ， 面ABE，所以 平面ABE，
所以 平面ABE.
（2）如图，过点E作直线 ，则直线 面ABE， 面ABE，
又 ，所以直线l，EA，EB两两相互垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ， .
设面ADF的一个法向量为 ，则 ，令 ，则
.
设面ABD的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
所以 ，解得 或8（舍去），
故 .
21．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一
根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F
处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在
平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，
.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的
垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的方程；
(2)斜率为k的直线过点 ，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为 ，探究：是
否存在 ，使得 ，若存在，求出 的范围，若不存在，说明理由.
【答案】(1) ；
(2)存在 ，使得 成立.
【详解】（1）依题意，笔尖到点 的距离与它到直线 的距离相等，因此笔尖留下的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，设其方程为 ，
则 ，由 ，得 ，
由 得点 的横坐标 ，而抛物线的准线方程为 ，则 ，解得 ，
所以轨迹 的方程为 .
（2）假设存在 ，使得 ，设 ，直线 的方程为 ，
由 消去y得： ，
而 ， ， ，
，由 得 ，即 ，
于是 ，令 ， ，
因此 ，又 ，即 ，解得 或 ，
所以存在 ，使得 成立.22．已知函数 ， 为 的导函数．
(1)当 时，若 在[ 上的最大值为 ，求 ；
(2)已知 是函数f（x）的两个极值点，且 ，若不等式 恒成立，求正数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，其定义域为（0，＋∞），
且 ，所以 ，
所以 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
①当 ，即 时， 在[t，t＋1]上单调递增，
所以 ；
②当 ，即 时， ；
③当 时，g（x）在[t，t＋1]上单调递减，
所以 ，
综上所述
（2）因为 ，所以 ，
由题意知 的定义域为 ，
故 是关于x的方程 的两个根，
所以 ，即 ，
所以 ，
等价于 ．
因为 ，所以原式等价于 ，
又 ，作差，得 ，
即 ，所以原式等价 ，
因为 ，所以 恒成立．
令 ，则 ，
故不等式 在 上恒成立，
令 ．
又因为 ，
当 时，得 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所 在 上恒成立，符合题意；
当 时，可得 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ，
所以 在 上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式 恒成立，
只需满足 ，又 ，故 ，
即正数m的取值范围为 ．
