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实验二 探究弹力和弹簧伸长的关系
目标要求 1.会通过实验探究弹力和弹簧伸长的关系.2.进一步理解胡克定律，掌握以胡克
定律为原理的拓展实验的分析方法．
实验技能储备
1．实验原理
(1)如图所示，弹簧下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相
等．
(2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大
小F，以横坐标表示弹簧的 伸长量 x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，
用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与形变量间的关系．
2．实验器材
铁架台、弹簧、毫米刻度尺、钩码若干、三角板、坐标纸、重垂线．
3．实验步骤
(1)将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然伸长状态时的长度
l，即原长．
0
(2)如图所示，在弹簧下端挂质量为m 的钩码，测出此时弹簧的长度l ，记录m 和l ，得出
1 1 1 1
弹簧的伸长量x，将这些数据填入自己设计的表格中．
1
(3)改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录 m 、m 、m 、m 和相应的弹簧长度
2 3 4 5
l、l、l、l，并得出每次弹簧的伸长量x、x、x、x.
2 3 4 5 2 3 4 5
钩码个数 长度 伸长量x 钩码质量m 弹力F0 l
0
1 l x＝l－l m F
1 1 1 0 1 1
2 l x＝l－l m F
2 2 2 0 2 2
3 l x＝l－l m F
3 3 3 0 3 3
… … … … …
4.数据处理
(1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作
图．用平滑的曲线连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线．
(2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式．首先尝试一次函数，如果不
行则考虑二次函数．
(3)得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义．
5．注意事项
(1)不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免弹簧被过度拉伸，超过弹
簧的弹性限度．
(2)尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据．
(3)观察所描点的走向：本实验是探究型实验，实验前并不知道其规律，所以描点以后所作
的曲线是试探性的，只是在分析了点的分布和走向以后才决定用直线来连接这些点．
(4)统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位．
考点一 教材原型实验
例1 如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个质量均为m的钩码，探究在弹性限度内弹簧弹
力与形变量的关系．
(1)为完成实验，还需要的实验器材有：______________________________________.
(2)实验中需要测量的物理量有：____________________________________________.
(3)图乙是弹簧弹力F与弹簧形变量x的F－x图线，由此可求出弹簧的劲度系数为______
N/m.图线不过原点是由于__________________________．
(4)为完成该实验，设计实验步骤如下：
A．以弹簧形变量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l
0
C．将铁架台固定在桌子上，并将弹簧的一端系在横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端
所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码
E．以弹簧形变量为自变量，写出弹力与形变量的关系式，首先尝试写成一次函数，如果不
行，则考虑二次函数
F．解释表达式中常数的物理意义
G．整理仪器
请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：______________________________.
答案 (1)刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧所受外力与弹簧对应的长度 (3)200 弹簧自身重力的
影响 (4)CBDAEFG
解析 (1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和挂上钩码后的长度．
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与弹簧对应的长
度．
(3)取题图乙中(0.5 cm,0)和(3.5 cm,6 N)两个点，代入ΔF＝kΔx，解得k＝200 N/m，由于弹簧
自身的重力，使得实验中弹簧不加外力时就有形变量．
(4)根据实验操作的合理性可知，实验步骤的先后顺序为CBDAEFG.
例2 (2022·河南内乡县第三高级中学高三月考)某同学探究弹力与弹簧伸长量的关系．
(1)将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧，弹簧轴线和刻度尺都应在________
方向(填“水平”或“竖直”)．
(2)弹簧自然悬挂，待弹簧________时，长度记为L ，弹簧下端挂上砝码盘时，长度记为
0
L；在砝码盘中每次增加10 g砝码，弹簧长度依次记为L 至L，数据如下表：
x 1 6
代表符号 L L L L L L L L
0 x 1 2 3 4 5 6
数值(cm) 25.35 27.35 29.35 31.30 33.4 35.35 37.40 39.30
表中有一个数值记录不规范，代表符号为________．由表可知所用刻度尺的最小分度为
________．
(3)如图是该同学根据表中数据作的图，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与________的
差值(填“L 或L”)．
0 x(4)由图可知弹簧的劲度系数为________ N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为________
g(结果保留两位有效数字，重力加速度取9.8 m/s2)．
答案 (1)竖直 (2)稳定 L 1 mm (3)L (4)4.9 10
3 x
解析 (1)将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧，弹簧轴线和刻度尺都应在竖
直方向．
(2)表中有一个数值记录不规范，刻度尺的最小分度值为1 mm，所以长度L 应为33.40 cm.
3
(3)由题图知所挂砝码质量为0时，x为0，所以横轴是弹簧长度与L 的差值．
x
(4)由胡克定律F＝kΔx知，mg＝k(L－L)即mg＝kx，所以图线斜率表示劲度系数，k＝＝4.9
x
N/m，通过图和表可知L＝25.35 cm，L＝27.35 cm
0 x
所以砝码盘的质量为m＝＝10 g．
考点二 探索创新实验
创新角度：实验装置的改进
1．将弹簧水平放置或穿过一根水平光滑的直杆，在水平方向做实验．消除了弹簧自重的影
响．
2．利用计算机及传感器技术，将弹簧水平放置，且一端固定在传感器上，传感器与计算机
相连，对弹簧施加变化的作用力(拉力或推力)时，计算机上得到弹簧弹力和弹簧形变量的关
系图象(如图所示)，分析图象得出结论．考向1 实验装置的改进
例3 (2021·广东卷·11)某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，
固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端．实验过
程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200 g的钢球(直径略小于玻璃
管内径)逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上
端对应的刻度尺示数L ，数据如表所示．实验过程中弹簧始终处于弹性限度内．采用逐差
n
法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数．
n 1 2 3 4 5 6
L/cm 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
n
(1)利用ΔL＝L －L(i＝1,2,3)计算弹簧的压缩量：ΔL ＝6.03 cm，ΔL ＝6.08 cm，ΔL ＝
i i＋3 i 1 2 3
_______ cm，压缩量的平均值＝＝________ cm；
(2)上述是管中增加________个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
(3)忽略摩擦，重力加速度g取9.80 m/s2，该弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位
有效数字)．
答案 (1)6.04 6.05 (2)3 (3)48.6
解析 (1)ΔL＝L－L＝(18.09－12.05) cm＝6.04 cm
3 6 3
压缩量的平均值为＝＝ cm＝6.05 cm
(2)因三个ΔL是相差3个钢球的压缩量之差，则所求平均值为管中增加3个钢球时产生的弹
簧平均压缩量；
(3)根据钢球的平衡条件有3mgsin θ＝k·，解得
k＝＝ N/m≈48.6 N/m.
考向2 实验器材的创新
例4 如图为一同学利用压力传感器探究弹力与弹簧伸长量关系的装置示意图，水平放置
的压力传感器上叠放着连接轻弹簧的重物，左侧固定有竖直刻度尺．静止时弹簧上端的指针
指示如图所示，表格中记录此时压力传感器的示数为6.00 N；竖直向上缓慢地拉动弹簧，分
别记录指针示数和对应的传感器示数如表中所示．传感器示数
6.00 4.00 3.00 1.00 0
F (N)
N
指针示数
14.60 15.81 18.19 19.40
x(cm)
(1)补充完整表格中直尺的读数；
(2)在以传感器示数F 为纵轴、指针示数x为横轴的坐标系中，描点画出F －x图象，并根
N N
据图象求得弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位有效数字)．
答案 (1)12.20 (2)见解析图 83.3(83.1～83.5都算正确)
解析 (1)刻度尺的最小刻度为1 mm，根据刻度尺的读数规则可知，估读到最小刻度的下一
位，故读数为12.20 cm.
(2)根据表格数据作出图象，如图所示
由题意可知F ＋F＝mg，则F ＝mg－kΔx，
N N
即F ＝mg－k(x－x)，
N 0
得 图 象 的 斜 率 绝 对 值 为 弹 簧 的 劲 度 系 数 ， 由 图 象 可 知 k ＝ ＝ N/m≈
83.3 N/m.
考向3 实验目的的创新例5 某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系．实验装置如图所示．一均
匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P、P、P、P、P、P、P 分别固定在弹簧上距悬点0、10、
0 1 2 3 4 5 6
20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P 指向0
0
刻度．设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x ；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指
0
针的位置记为x.测量结果及部分计算结果如下表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80
m/s2)．已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm.
P P P P P P
1 2 3 4 5 6
x(cm) 2.04 4.06 6.06 8.05 10.03 12.01
0
x(cm) 2.64 5.26 7.81 10.30 12.93 15.41
n 10 20 30 40 50 60
k(N/m) 163 ① 56.0 43.6 33.8 28.8
(m/N) 0.006 1 ② 0.017 9 0.022 9 0.029 6 0.034 7
(1)将表中数据补充完整：①________，②________.
(2)以n为横坐标，为纵坐标，在图给出的坐标纸上画出－n图象．
(3)图中画出的直线可近似认为通过原点．若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，
该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系表达式为k＝________ N/m，该弹簧的劲度系数k与
其自由长度l(单位为m)的关系表达式为k＝________ N/m.
0
答案 (1)①81.7 ②0.012 2 (2)见解析图
(3)(～均可) (～均可)解析 (1)①k＝＝ N/m≈81.7 N/m；
②＝ m/N≈0.012 2 m/N；
(2)描点法，画一条直线，让大部分的点都落在直线上，不在线上的点均匀分布在直线两侧，
如图所示．
(3)设直线的斜率为a，则有＝an，即k＝·，通过计算可得k≈；弹簧共60圈，则有n＝，把
其代入k＝·中可得k≈.
课时精练
1．某实验小组在“探究弹簧弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，操作过程如下：
(1)将弹簧水平放置并处于自然状态，将标尺的零刻度与弹簧一端对齐，弹簧的另一端所指
的标尺刻度如图甲所示，则该读数为________ cm.
(2)接着，将弹簧竖直悬挂，由于________的影响，不挂钩码时，弹簧也有一定的伸长，其
下端所指的标尺刻度如图乙所示；图丙是在弹簧下端悬挂钩码后所指的标尺刻度，则弹簧因
挂钩码引起的伸长量为________ cm.
(3)逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后弹簧下端所指的标尺刻度和对应的钩码总重力．
该实验小组的同学在处理数据时，将钩码总重力F作为横坐标，弹簧伸长量Δl作为纵坐标，
作出了如图丁所示的a、b两条Δl－F图象，其中直线b中的Δl是用挂钩码后的长度减去
________(选填“图甲”或“图乙”)所示长度得到的．
答案 (1)7.0 (2)弹簧自身重力 6.9 (3)图甲
解析 (1)该读数为7.0 cm；
(2)由于弹簧自身重力的影响，不挂钩码时，弹簧也有一定的伸长，其下端所指的标尺刻度
为7.4 cm；在弹簧下端悬挂钩码后所指的标尺刻度 14.3 cm，则弹簧因挂钩码引起的伸长量
为14.3 cm－7.4 cm＝6.9 cm；
(3)由图线b的位置可知，当外力F＝0时，弹簧有伸长量，则可知直线b中的Δl是用挂钩码
后的长度减去图甲所示长度得到的．
2．(1)某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹力与弹簧长度的图象如图所示，则可
知原长较大的是________(填“a”或“b”)，劲度系数较大的是________(填“a”或
“b”)．
(2)为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码．
实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出并连线．由图可求
得弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位有效数字，g＝10 m/s2)．
(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数
偏________．
答案 (1)b a (2)0.263(0.260～0.270均正确) (3)大
解析 (1)图象与横轴交点的横坐标值为弹簧原长，由题图可知原长较大的是 b；图象的斜率
等于劲度系数，则劲度系数较大的是a.
(2)由胡克定律F＝kx，解得k＝＝＝g·k ＝ N/m≈0.263 N/m
斜
(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则弹簧拉力偏小，实际计算时弹力偏大，则实
验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏大．
3．某同学探究如图甲中台秤的工作原理．他将台秤拆解后发现内部简易结构如图乙所示，
托盘A、竖直杆B、水平横杆H与齿条C固定连在一起，齿轮D可无摩擦转动，与齿条C完
全啮合，在齿轮上固定指示示数的轻质指针E，两根完全相同的弹簧将横杆H吊在秤的外壳
I上．他想根据指针偏转角度测量弹簧的劲度系数，经过调校，托盘中不放物品时，指针 E
恰好指在竖直向上的位置．若放上质量为m的物体指针偏转了θ弧度(θ<2π)，齿轮D的直径
为d，重力加速度为g，则(1)指针偏转了θ弧度的过程，弹簧变长了________(用题干中所给的参量表示)．
(2)每根弹簧的劲度系数表达式为________(用题干所给的参量表示)．
(3)该同学进一步改进实验，引入了角度传感器测量指针偏转角度，先后做了六次实验，得
到数据并在坐标纸上作出图丙，可得到每根弹簧的劲度系数为________ N/m(d＝5.00 cm，g
＝9.8 m/s2，结果保留三位有效数字)．
答案 (1)d (2) (3)154(151～159)
解析 (1)由题图乙可知，弹簧的形变量等于齿条C下降的距离，由于齿轮D与齿条C啮合，
所以齿条C下降的距离等于齿轮D转过的弧长，根据数学知识可得：s＝θ·
即弹簧的变长Δx＝s＝θ·
(2)对托盘A、竖直杆B、水平横杆H与齿条C和重物整体研究，根据平衡条件得mg＝2F
弹簧弹力的胡克定律公式，F＝kΔx，
联立解得k＝
(3)根据k＝，所以θ＝·m
所以θ－m图象是一条过原点的倾斜直线，其斜率k′＝
由题图丙可得k′＝＝ rad/kg≈1.27 rad/kg
将d＝5.00 cm，g＝9.8 m/s2代入k′，
解得k≈154 N/m.
4．某同学为研究橡皮筋伸长量与所受拉力的关系，做了如下实验：
①如图所示，将白纸固定在制图板上，橡皮筋一端固定在 O点，另一端A系一小段轻绳(带
绳结)，将制图板竖直固定在铁架台上．②将质量为m＝100 g的钩码挂在绳结上，静止时描下橡皮筋下端点的位置A ；用水平力拉
0
A点，使A点在新的位置静止，描下此时橡皮筋下端点的位置A ；逐渐增大水平力，重复5
1
次……
③取下制图板，量出A 、A……各点到O的距离l 、l……量出各次橡皮筋与OA 之间的夹
1 2 1 2 0
角α、α……
1 2
④在坐标纸上作出－l的图象如图所示．
完成下列填空：
(1)已知重力加速度为 g，当橡皮筋与 OA 间的夹角为 α 时，橡皮筋所受的拉力大小为
0
________(用g、m、α表示)．
(2)取g＝10 m/s2，由图象可得橡皮筋的劲度系数k＝_____ N/m，橡皮筋的原长l ＝____ m．
0
(结果均保留两位有效数字)
答案 (1) (2)1.0×102 0.21
解析 (1)对结点及钩码，由平衡条件得，橡皮筋所受的拉力F ＝.
T
(2)橡皮筋所受的拉力F ＝＝k(l－l)，
T 0
则＝·l－·l，
0
图象的斜率＝，
则橡皮筋的劲度系数k＝1.0×102 N/m，
图象在横轴上的截距即为橡皮筋的原长，
则原长l＝0.21 m.
0
5．(2022·黑龙江牡丹江市第三高级中学高三月考)某同学利用图(a)所示的装置测量轻弹簧的
劲度系数．图中，光滑的细杆和直尺水平固定在铁架台上，一轻弹簧穿在细杆上，其左端固
定，右端与细绳连接；细绳跨过光滑定滑轮，其下端可以悬挂钩码(实验中，每个钩码的质
量均为m＝50.0 g)．弹簧右端连有一竖直指针，其位置可在直尺上读出．实验步骤如下：①在绳下端挂上一个钩码，调整滑轮使弹簧与滑轮间的细绳水平且弹簧与细杆没有接触；
②系统静止后，记录钩码的个数及指针的位置；
③逐次增加钩码的个数，并重复步骤②(保持弹簧在弹性限度内)；
④用n表示钩码的个数，l表示相应的指针位置，将获得的数据记录在表格内．
⑤根据实验数据在图(b)中描点并作出l－n图象．
回答以下问题：
(1)弹簧的原长为________ cm.
(2)弹簧的劲度系数k可用钩码质量m、重力加速度大小g及l－n图线的斜率a表示，表达式
为k＝________.若g取9.80 m/s2，则本实验中k＝________ N/m(保留3位有效数字)．
(3)为了用弹簧测力计测定两木块A和B间的动摩擦因数μ，该同学分别设计了如图甲、乙两
种方案．
①为了用某一弹簧测力计的示数表示A和B之间的滑动摩擦力的大小，你认为方案_____更
合理．
②若A和B的重力分别为10.0 N和20.0 N，当A被拉动时，弹簧测力计a的示数为6.0 N，b
的示数为11.0 N，c的示数为4.0 N，则A和B间的动摩擦因数为________．
答案 (1)10.0 (2) 101 (3)甲 0.3
解析 (1)不悬挂钩码时，指针的示数为弹簧原长，由题图(b)读出l＝10.0 cm
0
(2)根据胡克定律F＝k(l－l)
0
根据平衡条件F＝nmg
整理得l＝n＋l
0
故a＝，k＝ ，代入数据解得k＝＝101 N/m
(3)方案甲中，当AB之间有相对滑动时，弹簧测力计a的示数就等于AB之间的滑动摩擦力
的大小，方案乙中，只有A做匀速直线运动时，弹簧测力计c的示数才能等于AB之间的滑动摩擦力的大小，显然方案甲更合理．
当A被拉动时，弹簧测力计a的示数就等于A和B之间的滑动摩擦力的大小，有
μm g＝6.0 N
B
解得μ＝0.3.
