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北京育才学校九年级数学期末模拟 01
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是（ ）
A. 40° B. 80° C. 100° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形，对角互补，即可得到答案.
【详解】∵四边形 内接于 ，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵ ，
∴∠ABC=180°-80°=100°.
故选C.
【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形，对角互补”是解题的关键.
2. 在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，即可得到答案.
【详解】∵抛物线 的顶点坐标为：（0，0）
∴把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到（2，1），即：平移后的抛物线的解析式为： ，
故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握二次函数图象平移规律，是解题的关键.
3. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长公式，即可得到答案.
【详解】∵圆心角是90°，半径为20，
∴弧长= = = ，
故选B.
【点睛】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式，是解题的关键.
4. 如图，在 中，以C为中心，将 顺时针旋转 得到 ，边 ， 相交于点F，若
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 绕点C顺时针旋转 得到 ，得 ， ，于是得到结
论．【详解】解：∵将 绕点C顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5. 如图， 是 的直径，弦 于E，若 ， ，则 长为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理和圆周角定理，可得∠AOD=2∠ABC=60°，进而可得：∠ODE=30°，即可求解.
【详解】连接BD，如图，
∵ 是 的直径，弦 于E，
∴∠ABC=∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=2 30°=60°，
在Rt ODE中，∠OD×E=90°-60°=30°，
∆
∴OD=2OE= ，
故答案是：C.【点睛】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，根据题意，求出∠AOD=60°，是解题的关键.
6. 下列关于抛物线 的说法正确的是（ ）
A. 抛物线的开口方向向下 B. 抛物线与y轴交点的坐标为
C. 当 时，抛物线的对称轴在y轴右侧 D. 对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的系数的几何意义和判别式的意义，逐一判断选项，即可.
【详解】∵a=1>0，
∴抛物线的开口方向向上，
∴A错误，
∵令x=0，代入 ，得：y=-2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为 ，
∴B错误，
∵对称轴是：直线x= = = ，
∴当 时，抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴C错误，
∵ ,
∴对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点，
∴D正确
故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数图象和性质，理解二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.7. 投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A. 的值一定是
B. 的值一定不是
C. m越大， 的值越接近
D. 随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可
【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是 ，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，
是它的频率，随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：D
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可
能发生的时间．
8. 如图， ，O是 的中点，P是以点O为圆心， 为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，
B可以重合），连接 ，过P作 于点M．设 ， ，则下列图象中，能表示y
与x的函数关系的图象大致是（ ）A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接PB，易证： PAM BAP，可得： ，由 ， ，可得：AM=x-
∆ ~∆
y，进而可得到，y关于x 的函数解析式，即可得到答案.
【详解】连接PB，
∵P是以点O为圆心， 为直径的半圆上的一个动点，
∴∠APB=90°，
∵ ，
∴∠AMP=∠APB=90°，
∵∠A=∠A，
∴ PAM BAP，
∆ ~∆
∴ ，
∵ ， ，
∴AM=x-y，
∴ ，
∴ （ ） ，故选A
【点睛】本题主要考查圆的性质和相似三角形的综合，添加辅助线，构造母子相似三角形，并列出比例式，
是解题的关键.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，
点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对
称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10. 某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同、设平均每次降价
的百分率是x，可列方程为_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的(1一x)，第二次降价后的单价是原
来的 ，根据题意列方程即可．
【详解】根据意义可列方程：
，
故答案为： ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关
键．
11. 函数 的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标，即可得到答案.
【详解】由函数图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，-1），
∵抛物线的开口向上，
∴该函数的最小值是：-1.
故答案是：-1.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，理解二次函数图象的开口方向和函数的最值，是解题的关键.
12. 如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形，指针是固定的，当转盘停
止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．把部
分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为______．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．
【详解】解：观察转盘灰色区域的面积与总面积的比值为
故答案为： ．【点睛】本题考查几何概率．解题的关键在于求出所求事件的面积与总面积的比值．
13. 在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm， 的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件
的半径是_______cm．
【答案】5
【解析】
【分析】在圆中构建直角三角形，利用勾股定理即可求出工件半径．
【详解】解：如图所示，
设圆的半径为xcm，
∵BC=8cm，DE=2cm，
∴BE=4cm，OE=（x-2）cm，
∴在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得：x=5．
∴原形工件的半径为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查的是圆中的性质以及勾股定理的运用，构建合适的图形是解题的关键．
14. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_________．【答案】
【解析】
【分析】根据根的判别式求出 ，再求出不等式的解集即可．
【详解】解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的
关键，注意：已知一元二次方程 为常数， ，①当 时，方程
有两个不相等的实数根，②当 时，方程有两个相等的实数根，③当 时，
方程没有实数根．
15. 在关于x的二次函数 中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组
对应值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… …
根据以上信息，关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于
_______（结果保留小数点后一位小数）．
【答案】5.8
【解析】
【分析】根据表格的x，y的值，当y的值为0或接近0时，对应的x的值就是方程 的一个
实数根的近似值.
【详解】由表格可知：当x=5时，y=-1.10；x=6时，y=-0.14；
∴方程 的一个实数根大约是5.8.故答案是：5.8
【点睛】本题主要考查利用表格 的数据，根据二次函数和一元二次方程的关系得出方程的近似根是解
题关键.
16. 如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在
一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．
若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____．
【答案】-3或6
【解析】
【分析】到A、B、C、D四个点距离都相等的点为AC、BD的交点点E，求出点E的坐标，将点E的坐标
代入二次函数解析式，求出n的值即可.
【详解】连接AC、BD交于点E，作EF⊥AB交AB于点F，
由题意得，抛物线必经过点E，
∵A（﹣4，0），B（﹣2，0），
∴AB=2，BO=2，
∵正方形ABCD，
∴∠ABE=45°，AE⊥BE，AE=BE，
∴AF=BF=EF=1，
∴E（﹣3，﹣1），
∴﹣1=2×9+3n﹣n2﹣1，
解得n=﹣3或6.故答案为﹣3或6.
【点睛】确定出到A、B、C、D四个点距离相等的点的位置是解题的关键.
三、解答题（共68分，17题6分，18−23题，每题5分，24−26题，每题6分，27，28题，
每题7分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
，
【小问2详解】，
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
18. 已知二次函数 ．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）利用图象回答：当x取什么值时， ．
【答案】（1）对称轴是：直线x=2，顶点坐标是：（2，-1），图象见详解；（2）1
