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北京育才学校九年级数学期末模拟 01
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是（ ）
A. 40° B. 80° C. 100° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形，对角互补，即可得到答案.
【详解】∵四边形 内接于 ，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵ ，
∴∠ABC=180°-80°=100°.
故选C.
【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形，对角互补”是解题的关键.
2. 在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，即可得到答案.
【详解】∵抛物线 的顶点坐标为：（0，0）
∴把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到（2，1），即：平移后的抛物线的解析式为： ，
故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握二次函数图象平移规律，是解题的关键.
3. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长公式，即可得到答案.
【详解】∵圆心角是90°，半径为20，
∴弧长= = = ，
故选B.
【点睛】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式，是解题的关键.
4. 如图，在 中，以C为中心，将 顺时针旋转 得到 ，边 ， 相交于点F，若
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 绕点C顺时针旋转 得到 ，得 ， ，于是得到结
论．【详解】解：∵将 绕点C顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5. 如图， 是 的直径，弦 于E，若 ， ，则 长为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理和圆周角定理，可得∠AOD=2∠ABC=60°，进而可得：∠ODE=30°，即可求解.
【详解】连接BD，如图，
∵ 是 的直径，弦 于E，
∴∠ABC=∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=2 30°=60°，
在Rt ODE中，∠OD×E=90°-60°=30°，
∆
∴OD=2OE= ，
故答案是：C.【点睛】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，根据题意，求出∠AOD=60°，是解题的关键.
6. 下列关于抛物线 的说法正确的是（ ）
A. 抛物线的开口方向向下 B. 抛物线与y轴交点的坐标为
C. 当 时，抛物线的对称轴在y轴右侧 D. 对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的系数的几何意义和判别式的意义，逐一判断选项，即可.
【详解】∵a=1>0，
∴抛物线的开口方向向上，
∴A错误，
∵令x=0，代入 ，得：y=-2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为 ，
∴B错误，
∵对称轴是：直线x= = = ，
∴当 时，抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴C错误，
∵ ,
∴对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点，
∴D正确
故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数图象和性质，理解二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.7. 投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A. 的值一定是
B. 的值一定不是
C. m越大， 的值越接近
D. 随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可
【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是 ，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，
是它的频率，随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：D
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可
能发生的时间．
8. 如图， ，O是 的中点，P是以点O为圆心， 为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，
B可以重合），连接 ，过P作 于点M．设 ， ，则下列图象中，能表示y
与x的函数关系的图象大致是（ ）A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接PB，易证： PAM BAP，可得： ，由 ， ，可得：AM=x-
∆ ~∆
y，进而可得到，y关于x 的函数解析式，即可得到答案.
【详解】连接PB，
∵P是以点O为圆心， 为直径的半圆上的一个动点，
∴∠APB=90°，
∵ ，
∴∠AMP=∠APB=90°，
∵∠A=∠A，
∴ PAM BAP，
∆ ~∆
∴ ，
∵ ， ，
∴AM=x-y，
∴ ，
∴ （ ） ，故选A
【点睛】本题主要考查圆的性质和相似三角形的综合，添加辅助线，构造母子相似三角形，并列出比例式，
是解题的关键.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，
点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对
称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10. 某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同、设平均每次降价
的百分率是x，可列方程为_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的(1一x)，第二次降价后的单价是原
来的 ，根据题意列方程即可．
【详解】根据意义可列方程：
，
故答案为： ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关
键．
11. 函数 的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标，即可得到答案.
【详解】由函数图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，-1），
∵抛物线的开口向上，
∴该函数的最小值是：-1.
故答案是：-1.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，理解二次函数图象的开口方向和函数的最值，是解题的关键.
12. 如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形，指针是固定的，当转盘停
止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．把部
分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为______．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．
【详解】解：观察转盘灰色区域的面积与总面积的比值为
故答案为： ．【点睛】本题考查几何概率．解题的关键在于求出所求事件的面积与总面积的比值．
13. 在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm， 的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件
的半径是_______cm．
【答案】5
【解析】
【分析】在圆中构建直角三角形，利用勾股定理即可求出工件半径．
【详解】解：如图所示，
设圆的半径为xcm，
∵BC=8cm，DE=2cm，
∴BE=4cm，OE=（x-2）cm，
∴在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得：x=5．
∴原形工件的半径为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查的是圆中的性质以及勾股定理的运用，构建合适的图形是解题的关键．
14. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_________．【答案】
【解析】
【分析】根据根的判别式求出 ，再求出不等式的解集即可．
【详解】解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的
关键，注意：已知一元二次方程 为常数， ，①当 时，方程
有两个不相等的实数根，②当 时，方程有两个相等的实数根，③当 时，
方程没有实数根．
15. 在关于x的二次函数 中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组
对应值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… …
根据以上信息，关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于
_______（结果保留小数点后一位小数）．
【答案】5.8
【解析】
【分析】根据表格的x，y的值，当y的值为0或接近0时，对应的x的值就是方程 的一个
实数根的近似值.
【详解】由表格可知：当x=5时，y=-1.10；x=6时，y=-0.14；
∴方程 的一个实数根大约是5.8.故答案是：5.8
【点睛】本题主要考查利用表格 的数据，根据二次函数和一元二次方程的关系得出方程的近似根是解
题关键.
16. 如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在
一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．
若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____．
【答案】-3或6
【解析】
【分析】到A、B、C、D四个点距离都相等的点为AC、BD的交点点E，求出点E的坐标，将点E的坐标
代入二次函数解析式，求出n的值即可.
【详解】连接AC、BD交于点E，作EF⊥AB交AB于点F，
由题意得，抛物线必经过点E，
∵A（﹣4，0），B（﹣2，0），
∴AB=2，BO=2，
∵正方形ABCD，
∴∠ABE=45°，AE⊥BE，AE=BE，
∴AF=BF=EF=1，
∴E（﹣3，﹣1），
∴﹣1=2×9+3n﹣n2﹣1，
解得n=﹣3或6.故答案为﹣3或6.
【点睛】确定出到A、B、C、D四个点距离相等的点的位置是解题的关键.
三、解答题（共68分，17题6分，18−23题，每题5分，24−26题，每题6分，27，28题，
每题7分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
，
【小问2详解】，
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
18. 已知二次函数 ．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）利用图象回答：当x取什么值时， ．
【答案】（1）对称轴是：直线x=2，顶点坐标是：（2，-1），图象见详解；（2）1<x<3.
【解析】
【分析】（1）根据顶点的坐标公式，可得到对称轴方程和顶点坐标，再求出图象与坐标轴的交点坐标，
即可画出二次函数的图象；
（2）根据二次函数的图象，即可求出x的取值范围.
【详解】（1）∵a=1，b=-4，c=3，
∴ ， = = =-1，
∴对称轴是：直线x=2，顶点坐标是：（2，-1）；
令y=0，则 的根是： ，令 x=0，y=3，
∴二次函数图象与x轴交点坐标：（1，0）（3，0），与y轴交点坐标是：（0，3），
如图所示：（2）由二次函数的图象，可知：当1<x<3时， ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象的顶点坐标公式，以及描点法画图象，理解二次函数的图象和二次
不等式之间的联系，是解题的关键.
19. 若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【答案】（1）a≤ ；（2）x＝1或x＝2．
【解析】
【分析】（1）根据韦达定理列出关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围；
（2）由（1）求出a的值，代入原方程即可得到一个新的方程，解新方程可以得到解．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，
解得a≤ ；
（2）由（1）可知a≤ ，
∴a的最大整数值为4，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，解得x＝1或x＝2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式应用及一元二次方程的求解是解题关键 ．
20. 如图，在正方形 中，点E在边 上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边
的延长线上，连接 ．
（1）判断 的形状，并证明；
（2）若 ，则 的面积为___________．
【答案】（1） 是等腰直角三角形，证明见解析
（2）8
【解析】
【分析】（1）证明 ，进而可得 ， ，根据旋转的性
质可得 ，即可证明 是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 ，进而即可求得 的面积．
【小问1详解】
是等腰直角三角形．
证明：在正方形 中， ， ．
∵ F落在边 的延长线上，
∴ ．
∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
∴ ．∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ 是等腰直角三角形．
【小问2详解】
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性
质与判定，证明 是解题的关键．
21. 学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【答案】（1）6；（2）9支
【解析】
【分析】根据赛制为单循环形式 场，即可求解；
（2）设有 支球队参加比赛，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1） （场），
答：共进行6场比赛；
（2）设有 支球队参加比赛，根据题意得：，
解得： （不合题意，舍去），
答：有9支球队参加比赛．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
22. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干
套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概
率是 ．
（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，
求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
的
（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪” 有2种结果，
再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“冬季两项”只有1种情况，
恰好抽到“冬季两项”的概率是 ．故答案为： ．
【小问2详解】
解：直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中，恰好抽到“高山滑
雪”和“自由式滑雪”的结果有2种，
∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为： ．
【点睛】本题主要考查的是概率公式，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23. 如图， 是 的直径， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ．连接 交 于点
，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据切线长定理得到 ， ．根据等腰三角形的性质和中位线定理
即可得到结论；
（2）由切线的性质得到 ，根据相似三角形的判定和性质、勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵ ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
【小问2详解】
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ 的半径为 ， ，
由（1）可得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，
勾股定理等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
24. 如图1，斜坡与水平面夹角 ．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头
A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，
达到最高点D，D与水平线 的距离为4米．
（1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；
（2）若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越
过这棵树．
【答案】（1） ；
（2）不能．
【解析】
【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，首先找出抛物线的顶点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再将
点A坐标代入即可得解；（2）根据题意，求出树的顶端点的纵坐标，然后求当 时，抛物线线上点的纵坐标，然后比较两个纵
坐标的大小即可得解．
【小问1详解】
解：以点A坐标原点，以 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图3，
依题， ，最高点即抛物线的顶点 ，
设此抛物线的解析式为： ，
将 代入上式，得 ，
，
抛物线的解析式为： ；
【小问2详解】
解： 斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图4，
，
在 中， ，
设 ，则
，
，，
又当 时，
故从A喷出的水柱不能越过这棵树．
【点睛】此题是二次函数的实际应用题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、直角三角形的性质、
勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理、二次函数的图像与性质是解此题的关键．
25. 下面给出六个函数解析式： ， ， ， ，
， ．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质。下面是小
明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如 _______，其中x为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，画出了函数 的部分图象，用描点法将这个函数
的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
的
③存在某个函数，当 （m为正数）时，y随x 增大而增大，当 时，y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是________；
（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程 有一个实数根为3，则该方程其
它的实数根为_______．
【答案】（1） （a 0）；（2）图象见详解；（3）①③；（4）
≠
【解析】
【分析】（1）观察六个二次函数解析式的特点，可知：它们都具有共同的特点：一次项的x含有绝对值，
即可；
（2）根据求绝对值法则，当x<0时， ，再用描点法，画出图象，即可.
（3）结合六个二次函数的额图形和性质，逐一判断，即可；
（4）先求出k的值，再令 ， ，在同一坐标系中，画出图象，根据两个函
数图象的交点坐标，即可得到答案.
【详解】（1）观察六个二次函数解析式的特点，可知：它们都具有共同的特点：一次项的x含有绝对值，
即： （a 0），
≠故答案是： （a 0）；
≠
（2）当x<0时， ，根据描点法，如图所示：
（3）∵ ， ，关于y轴对称，
，图象关于y轴对称，
，图象关于y轴对称，
，图象关于y轴对称，
，图象关于y轴对称．
∴①正确；
∵ ，有最小值，没有最大值，
，有最小值，没有最大值，，有最大值，没有最小值，
，有最小值，没有最大值，
，有最大值，没有最小值，
，有最大值，没有最小值，
∴②错误；
∵ ，图象关于y轴对称，
当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
∴③正确；
∵ 的图象与x轴有1个公共点，
的图象与x轴没有公共点，
的图象与x轴有1个公共点，
的图象与x轴有2个公共点，
的图象与x轴有2个公共点，
的图象与x轴没有公共点，
∴④错误，
故答案是：①③；
（4）∵关于x的方程 有一个实数根为3，
∴ ，解得：k=1，
令 ， ，函数图象如图所示：
∴关于x的方程 的其他两个实数根为： ，
故答案是：
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据题意，画出二次函数图象，是解题的关键.
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）若该抛物线与直线 交于A，B两点，点B在y轴上．求该抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）横坐标为整数的点称为横整点．
①将（1）中的抛物线在A，B两点之间的部分记作 （不含A，B两点），直接写出 上的横整点的坐
标；
②抛物线 与直线 交于C，D两点，将抛物线在C，D两点之间的部分
记作 （不含C，D两点），若 上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【答案】（1） ，A坐标为（-4，2）；（2）①（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）；
② 或 .
【解析】
【分析】（1）根据题意，得B坐标为（0，2），把B的坐标代入 ，即可求解；（2）①把x=-3，x=-2，x=-1，代入 ，即可；
②联立 与 ，得： ，得C，D点坐标分别是：
（-1，-1），（2m，-2m-2），进而可求得m的范围.
【详解】（1）∵抛物线与直线 交于A，B两点，点B在y轴上，
∴B坐标为（0，2），
把B（0，2）代入 ，得： ，解得：m=-2，
∴抛物线得解析式为： ，
当y=2时， ，解得： ，
∴A坐标为（-4，2），
（2）①∵A坐标为（-4，2），B坐标为（0，2），
∴当x=-3时， ，
当x=-2时， ，
当x=-1时， ，
上的横整点的坐标是：（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）
②联立 与 ，得： ，
∴ ，即： ，
∴ ，解得： ，
∴C，D点坐标分别是：（-1，-1），（2m，-2m-2），
∵ 上恰有两个横整点，
∴两个横整点的横坐标为：x=0，x=1或x=-2，x=-3，∴ 或
∴ 或 .
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质与二次方程以及不等式的综合，根据题意把二次函数问题化
为二次方程和一元一次不等式组，是解题的关键.
27. 是等边三角形，点P在 的延长线上，以P为中心，将线段 逆时针旋转n°（
）得线段 ，连接 ， ．
（1）如图，若 ，画出当 时的图形，并写出此时n的值；
（2）M为线段 的中点，连接 ．写出一个n的值，使得对于 延长线上任意一点P，总有
，并说明理由．
【答案】（1）60°；（2）n=120°，理由见详解.
【解析】
【分析】（1）由 是等边三角形，得∠BAC=∠ACB=60°，由 ， ，得
∠PBQ=∠CPA=30°， ，进而得到∠BPC=60°，即可求解；
（2）以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，
设点B（a，0），点P（x，0），根据坐标系中，中点坐标公式和两点间的距离公式，分别表示出MP，
AP的长度，即可.【详解】如图1，若 ，当 时，n=60°，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵ ，
∴∠CAP=∠CPA=30°，
∵
∴∠PBQ=∠CPA=30°，
∵ ，
∴ ，
∴∠Q=90°，
∴∠BPC=180°-∠Q -∠PBQ =180°-90°-30°= 60°，
∴n=60°；
（2）当n=120°时，对于 延长线上任意一点P，总有 ，理由如下：
以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，
设点B（a，0），点P（x，0），
∴PQ=PC=x，
∵∠CPQ=120°，
∴∠NPQ=180°-120°=60°，
过点Q作QH⊥x轴，则PH= x，QH= x,
∴点Q坐标为（ ， ），
∵点M时BQ的中点，
∴点M的坐标为：过点A作AE⊥x轴，则CE= CB，AE= CE，
∴点A坐标为： ，
∴AP= =
MP= = ，
即： .
图1 图2
【点睛】本题主要考查等边三角形和含30°角的直角三角形的性质，画出图形，建立合适的平面
直角坐标系，把几何问题化为代数问题，用数形结合的思想方法，是解题的关键.
28. 对于点 ， 和图形 ，给出如下定义：如果图形 上存在一点 ，使 ， ，
的
则称点 为点 关于图形 一个“旋垂点”， 的长称为“垂距”．在平面直角坐标系 中：
（1）已知点 ， ，
①在点 ， ， 中，点 关于点 的“旋垂点”是__________；
②若点 是点 关于线段 的“旋垂点”，求点 的横坐标 的取值范围；（2） 的圆心为 ，半径为 ，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，若
在 上存在点 ，使得点 关于 的一个“旋垂点”在线段 上存在，且“垂距”为 ，直接写
出 的取值范围．
【答案】（1）① ， ；② 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①如图，连接 ， ， ， ， ， ，过点 作 于点 ，先证明
四边形 为正方形，根据点的坐标利用两点间的距离公式求出 ，
，再利用勾股定理的逆定理可得出 ， ，最后根据新定义即
可确定点 关于点 的“旋垂点”；
②利用①中的结论，根据定义并寻找特殊点即可得出结论；
（2）如图，设点 是点 关于 的一个“旋垂点”且“垂距”为 ，连接 ， ， ，连接
交 于 ，求出 ，以点 为圆心， 为半径作圆，当这个圆与线段 有交点时，存在点
关于 的一个“旋垂点”在线段 上，且“垂距”为 ．
【小问1详解】
①如图，连接 ， ， ， ， ， ，过点 作 于点 ，
∵点 ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，∵ ， ， ，
∴点 为正方形的中心，即 是对角线 的中点，
， ，
， ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ， ，
∴点 关于点 的“旋垂点”是 ， ，
故答案为： ， ；
②如图，当点 与点 重合时， ， ，
当点 与点 重合时， ， ，
当点 与点 重合时， ， ，
当点 与点 重合时， ， ，
∴满足条件的点 的横坐标 的取值范围为： 或 ．【小问2详解】
如图，设点 是点 关于 的一个“旋垂点”且“垂距”为 ，连接 ， ， ，连接 交
于 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，
当 时， ，
∴ ， ，当 时， ，得 ，
∴ ， ，
以点 为圆心， 为半径作圆，当这个圆与线段 有交点时，存在点 关于 的一个“旋垂点”在
线段 上，且“垂距”为 ，
当这个圆经过点 时， ，
这时 ，
∴ 或 ，
当这个圆经过点 时， 或 ，
∴满足条件的 的值为 或 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，正方形的判定及性质，两点间的
距离，勾股定理及逆定理，垂直平分线的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，直线与坐标
轴的交点坐标等知识．解题的关键是理解新定义，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题．
