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2023-2024 学年度第一学期
北京市育才学校八年级数学学科期中考试试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）.
1. 作为一名道路交通的参与者，在我们生活的周边有形色各异的交通标识，交通标识中，属于轴对称图形
的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
.
A 2，3，6 B. 4，4，8 C. 4，7，11 D. 5，8，12
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知图中的两个三角形全等，则 等于( )
A. B. C. D.
5. 如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A. B. C. D.
6. 如图， 中， ，D是 中点，下列结论中不正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 平分 D.
7. 如图，点 ， ， ， 在同一条直线上，点 ， 在直线 的两侧， ， ，添
加下列哪个条件后，仍不能判定出 （ ）
A. B. C. D.
8. 如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ， ，
，则 长为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图， ，点 在边 上， ，则 等于（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
10. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜
90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数
（ ）
A. 随着θ的增大而增大
B. 随着θ的增大而减小
C. 不变
D. 随着θ的增大，先增大后减小
二、填空题：（每小题3分，共24分）.
11. 计算 _____．
12. 右图是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，则此作法的数学依据是______（请从“ 、 、
、 、 ”中选择一个填入）．
13. 已知点 与点 关于 轴对称，那么 ______．
14. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．
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学科网（北京）股份有限公司15. 如果等腰三角形的两条边长分别为3和4，则它的周长______．
16. 如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于 ， ，若 ， 的周长
为 ，则 的周长等于______ ．
17. 如图，在平面直角坐标系中， ， ，点 是 轴上的动点.若点 在线段 的
垂直平分线上， ______；当 取得最小值时， ______．
18. 如图，在平面直角坐标系 中， ， ，动点 ， 分别按照 和
的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线 经过原点 ，且 ，过 ， 分别作 的垂线段，
垂足分别为 ， ．若点 的速度为每秒2个单位长度，点 的速度为每秒4个单位长度，运动时间为
秒，当 与 全等时， 的值为______．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题：（共8小题，共46分）
19. 计算：
（1） ；
（2）
在
20. 如图，点 ， ， ， 一条直线上， ， ， ．求证：
．
21. 如图， 是 的离， 是 的角平分线，若 ， ，求 和
的度数．
22. 如图，甲长方形的两边长分别为 ， ，面积为 ，乙长方形的两边长分别为 ， ，
面积为 （其中m为正整数）．
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学科网（北京）股份有限公司（1） ＝ ， （用含m的多项式表示）， （填“ ”、“ ”
或“ ”）；
为
（2）有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积 ，求证： 为定值．
23. 操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中， 的顶点 ， ， ．
（1）画出 关于 轴对称的 （保留作图痕迹），并直接写出点 的坐标______；
（2）点 是 轴上的动点，点 是线段 上的动点，若 为5个单位长度，在图中标出点 和点
的位置，使 取得最小值，最小值是______个单位长度．
24. 阅读实践：学习了三角形、全等三角形及轴对称的相关知识后，爱思考的小铭同学设计了一种新的角
平分线的尺规作图方法，以下为他的作图过程：
已知 ，
①作 的反向延长线 ；
②以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， ， 于点 ， ， ；
③连接 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；
④以点 为圆心， 长为半径画弧，交第②步所画弧于点 ；
⑤作射线 ， 即为 的角平分线．
请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，并完成证明．
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学科网（北京）股份有限公司证明：
.
（ ）
为 的反向延长线，
，
即 .
， ______，
______.
在 和 中，
，（ ）
．
的
即 为 角平分线．
25. 如图，在 中， ， 为 边上一点， 平分 ，且 ，若 ，
，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司26. 如图，已知等腰 中， ， ， ，点 关于直线 的对称点为
点 ，连接 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ．
（1）如图1，当 时，
①补全图形；
②探究 与 的数量关系，并说明理由；
（2）在直线 绕点 顺时针旋转的过程中 ，当 为等腰三角形时，利用备用图直
接求出 的值为______．
附加题：（共2小题，第1小题3分，第2小题7分，共10分）
27. 规定两数 ， 之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么 .
例如：因为 ，所以 .令 ， ， ，
求证： ．
28. 如图，在三角形 中， ， ，点 ， 分别在坐标轴上．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图①，若点C的横坐标为 ，点B的坐标为______；
（2）如图②，若x轴恰好平分 ， 交x轴于点M，过点C作 垂直x轴于D点，试猜想线段
与 的数量关系，并说明理由；
（3）如图③， ， ，连接 交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，
与 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
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