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计算题热身练(2)
1.(2022·黑龙江齐齐哈尔市二模)某生产厂家制作截面为正三角形的棱镜时，首先将OM和
ON边打磨成平面，且两边的夹角为60°，其中另一边MN为以O为圆心的圆弧，在ON边
的延长线上有一光源，沿SA的方向发射出的光线射到OM面上，经棱镜折射后由弧MN上
的B点射出，最终射到ON另一侧的延长线的C点(图中未画出)．已知AB与ON平行，且
SO＝OA＝AB，OM＝R，光在真空中的速度为c.求：
(1)该光线在棱镜中的折射率；
(2)光线由S传到C的时间．
答案 (1) (2)
解析 (1)如图所示，由几何关系得i＝60°，
r＝30°
根据折射定律得
n＝＝＝
(2)由折射定律可知光在棱镜中的传播速度为v＝＝c
由几何关系可知，在△SOA中，有SA＝SO
在平行四边形SOBA中，有SA＝OB＝R
则SO＝OA＝AB＝R
在B点发生折射时，有α＝30°，β＝60°
根据对称性可知BC＝SA＝R
则光线由S传到C的时间为
t＝＋
联立解得t＝.
2．(2022·青海濮阳市一模)如图所示，竖直平面(纸面)内的直角坐标系xOy的第Ⅰ象限和第
Ⅳ象限内存在沿y轴方向(竖直方向)的匀强电场，第Ⅰ象限和第Ⅳ象限内匀强电场的电场强
度大小相等、方向相反，第Ⅳ象限内还存在与匀强电场正交的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B＝5 T、方向垂直xOy平面向里．一质量m＝1×10－3 kg、电荷量q＝2×10－3 C的
带正电小球(视为质点)，从y轴上的A点沿x轴正方向水平射入第Ⅰ象限，经x轴上的M点
进入第Ⅳ象限后做匀速圆周运动，并从x轴上到M点距离L＝2 m的N点(图中未画出)第一
次离开第Ⅳ象限，小球通过M点时的速度方向与x轴正方向的夹角θ＝45°.重力加速度大小
取g＝10 m/s2，不计空气阻力，不考虑小球通过N点后的运动．
(1)判断第Ⅰ象限和第Ⅳ象限内匀强电场的电场强度方向，并求出电场强度的大小E；
(2)求小球从A点射入第Ⅰ象限时的速度大小v；
0
(3)求A点到原点的距离y 以及M点到原点的距离x .
A M
答案 (1)第Ⅰ象限内电场的电场强度方向竖直向下，第Ⅳ象限内电场的电场强度方向竖直
向上 5 N/C (2)10 m/s (3)2.5 m 5 m
解析 (1)小球在第Ⅳ象限内做匀速圆周运动，其所受静电力与重力平衡，则静电力的方向
竖直向上，
由于小球带正电，故第Ⅳ象限内电场的电场强度方向竖直向上，而第Ⅰ、Ⅳ象限内电场的
电场强度方向相反，所以第Ⅰ象限内电场的电场强度方向竖直向下；
经分析可知qE＝mg
代入数据解得E＝5 N/C
(2)小球的运动轨迹如图所示，
设小球在第Ⅳ象限内做匀速圆周运动的轨道半径为r，
根据几何关系有sin θ＝，
设小球通过M点时的速度大小为v，有qvB＝m
根据速度的合成与分解有cos θ＝
联立解得v＝10 m/s
0
(3)小球通过M点时的竖直分速度大小v＝vtan θ
y 0
设小球在第Ⅰ象限内运动的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有qE＋mg＝ma
设小球在第Ⅰ象限内运动的时间为t，根据匀变速直线运动的规律有v＝at
y
根据类平抛运动的规律有y ＝at2，x ＝vt
A M 0
联立解得y ＝2.5 m，x ＝5 m.
A M
