文档内容
专题强化练(二) 动态平衡 平衡中的临界、极值问题
(40分钟 70分)
一、选择题
1.(6分)(2023·宁波模拟)如图,有一段圆管,现有一只虫子沿如图所示的圆弧曲线从A点缓慢爬
到B点,关于虫子爬过去的过程,下列说法正确的是( )
A.圆管对虫子的弹力可能不变
B.圆管对虫子的摩擦力先减小后变大
C.圆管对虫子的摩擦力一直减小
D.圆管对虫子的作用力一定改变
2.(6分)(交通工具)(多选)如图为汽车的机械式手刹(驻车器)系统的结构示意图,结构对称。当
向上拉动手刹拉杆时,手刹拉索(不可伸缩)就会拉紧,拉索OD、OC分别作用于两边轮子的制
动器,从而实现驻车的目的。则以下说法不正确的是( )A.当OD、OC两拉索夹角为60°时,三根拉索的拉力大小相等
B.拉动手刹拉杆时,拉索AO上的拉力总比拉索OD和OC中任何一个拉力大
C.若在AO上施加一恒力,OD、OC两拉索夹角越小,拉索OD、OC拉力越大
D.若保持OD、OC两拉索拉力不变,OD、OC两拉索越短,拉动拉索AO越省力
3.(6分)(2024·徐州模拟)如图所示,半径相同、质量分布均匀的圆柱体 E和半圆柱体M靠在一
起,E、M之间无摩擦力,E的重力为G,M下表面粗糙,E、M均静止在水平地面上。现过E的轴
心施以水平作用力F,可缓慢地将E拉离地面一直滑到M的顶端,整个过程中,M始终处于静止
状态,对该过程的分析,下列说法正确的是( )
A.地面所受M的压力变大
B.地面对M的摩擦力逐渐增大
C.开始时拉力F最大,且为√3G,以后逐渐减小到G
D.E、M间的压力开始时最大,且为2G,以后逐渐减小到G
【加固训练】
(多选)如图所示,在水平地面上放着一个左侧截面为半圆的光滑柱状物体A,在物体A与竖
直墙面之间放着一个光滑斜面体B,斜面体B未接触地面,整个装置在水平力F作用下处于静止状态,现推动物体A缓慢向左移动一小段距离,在此过程中,下列说法正确的是( )
A.水平力F大小不变
B.地面对物体A的支持力不变
C.斜面体B对物体A的压力逐渐增大
D.墙面对斜面体B的支持力逐渐减小
4.(6分)(生活日常)(2023·重庆模拟)小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了,为了
移开石墩小李找来一根结实的绳子,将绳的一端系在石墩上,双手紧握绳的另一端用力斜向上
拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为 θ,小李对绳施加的最大拉力为 0.6mg,石墩与水平地面
√3
间的动摩擦因数为 ,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是( )
3
A.无论θ取何值,小李都不可能拖动石墩
π
B.小李能拖动石墩,且当θ= 时最省力
3
π
C.小李能拖动石墩,且当θ= 时最省力
6π
D.小李能拖动石墩,且当θ= 时最省力
4
5.(6分)(生产生活)(2023·淄博模拟)在吊运表面平整的重型板材(混凝土预制板、厚钢板)时,如
因吊绳无处钩挂而遇到困难,可用一根钢丝绳将板拦腰捆起(不必捆得很紧),用两个吊钩勾住绳
圈长边的中点起吊(如图所示),若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为 μ,为了满足安全起吊(不
考虑钢丝绳断裂),需要满足的条件是( )
A.tanα>μ B.tanα<μ
C.sinα>μ D.sinα<μ
6.(6分)(生产生活)(2023·唐山模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米
棒,某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象,为避免倾倒,在左侧用木棍支撑,如图所示。
√3
若支撑点距水平地面的高度为√3 m,木棍与水平地面间的动摩擦因数为 ,木棍重力不计,粮
3
仓对木棍的作用力沿木棍方向,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,为使木棍下端不发生侧滑,则木
棍的长度最大为( )
A.1.5 m B.√3 mC.2 m D.2√3 m
7.(6分)(2020·山东等级考)如图所示,一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上,质量分别为m和2m
的物块A、B,通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接,A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与
B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的
夹角为45°时,物块A、B刚好要滑动,则μ的值为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 5 6
8.(6分)竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向前推进。槽表面
光滑,摩擦力可以不计;部件A与部件B界面动摩擦因数为μ,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,
界面与水平面呈45°夹角。部件B质量为m,重力加速度为g,为了使门闩启动,施加在部件A上
的水平力F至少是( )
1 1
A. mg B. mg
1+μ 1-μ
1+μ 1-μ
C. mg D. mg
1-μ 1+μ
二、计算题9.(10分)(2023·绍兴模拟)如图所示,一只质量为m的蚂蚁从碗底沿半径为R的半球形碗壁向上
缓慢爬行,若蚂蚁与碗壁间的动摩擦因数为√3,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为
g。
(1)当蚂蚁爬到和圆心O的连线与竖直方向成30°的位置时,求它受到的摩擦力;
(2)当蚂蚁爬到和圆心O的连线与竖直方向成45°的位置时,求碗对它的作用力;
(3)求蚂蚁能爬到距碗底的最大高度。10.(12分)如图所示,质量M=2 √3 kg的木块A套在水平杆上,并用轻绳将木块与质量 m= √3
kg的小球B相连。今用与水平方向夹角α=30°的力F=10 √3 N,拉着小球带动木块一起向右匀
速运动,运动中M、m相对位置保持不变,g取10 m/s2。求:
(1)运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ;
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ;
(3)当tanα为多大时,使小球和木块一起向右匀速运动的拉力最小。
解析版一、选择题
1.(6分)(2023·宁波模拟)如图,有一段圆管,现有一只虫子沿如图所示的圆弧曲线从A点缓慢爬
到B点,关于虫子爬过去的过程,下列说法正确的是( )
A.圆管对虫子的弹力可能不变
B.圆管对虫子的摩擦力先减小后变大
C.圆管对虫子的摩擦力一直减小
D.圆管对虫子的作用力一定改变
【解析】选B。对虫子受力分析,有重力,圆管对其的支持力和摩擦力,设虫子在圆管上某点时
过该点的切线与水平方向夹角为θ,由平衡条件,可得F =mgcosθ,虫子从位置A向位置B缓慢
N
爬行,θ角先减小后增大,圆管对虫子的弹力先增大后减小,故A错误;由平衡条件,有F=mgsinθ,
f
当虫子从位置A向位置B缓慢爬行的过程中,θ角先减小后增大,所以圆管对虫子的摩擦力先
减小后变大,故B正确、C错误;圆管对虫子的作用力是支持力与摩擦力的合力,等于虫子所受
重力,所以应保持不变。故D错误。
2.(6分)(交通工具)(多选)如图为汽车的机械式手刹(驻车器)系统的结构示意图,结构对称。当向上拉动手刹拉杆时,手刹拉索(不可伸缩)就会拉紧,拉索OD、OC分别作用于两边轮子的制
动器,从而实现驻车的目的。则以下说法不正确的是( )
A.当OD、OC两拉索夹角为60°时,三根拉索的拉力大小相等
B.拉动手刹拉杆时,拉索AO上的拉力总比拉索OD和OC中任何一个拉力大
C.若在AO上施加一恒力,OD、OC两拉索夹角越小,拉索OD、OC拉力越大
D.若保持OD、OC两拉索拉力不变,OD、OC两拉索越短,拉动拉索AO越省力
【解析】选A、B、C。当OD、OC两拉索夹角为120°时,三根拉索的拉力大小才相等,A错误
拉动手刹拉杆时,当OD、OC两拉索夹角大于120°时,拉索AO上拉力比拉索OD和OC中任
何一个拉力小,B错误;根据平行四边形定则可知,若在AO上施加一恒力,OD、OC两拉索夹角
越小,拉索OD、OC拉力越小,C错误;若保持OD、OC两拉索拉力不变,OD、OC两拉索越短,
则两力夹角越大,合力越小,即拉动拉索AO越省力,D正确。
3.(6分)(2024·徐州模拟)如图所示,半径相同、质量分布均匀的圆柱体 E和半圆柱体M靠在一
起,E、M之间无摩擦力,E的重力为G,M下表面粗糙,E、M均静止在水平地面上。现过E的轴
心施以水平作用力F,可缓慢地将E拉离地面一直滑到M的顶端,整个过程中,M始终处于静止状态,对该过程的分析,下列说法正确的是( )
A.地面所受M的压力变大
B.地面对M的摩擦力逐渐增大
C.开始时拉力F最大,且为√3G,以后逐渐减小到G
D.E、M间的压力开始时最大,且为2G,以后逐渐减小到G
【解析】选D。取整体为研究对象,在圆柱体E离地后,地面所受M的压力不变,等于二者的总
重力,故A错误;圆柱体E受重力G、拉力F、半圆柱体的支持力N作用处于平衡状态,这三个
力构成封闭三角形,如图所示开始时N与竖直方向成60°角,对应图中的最大三角形,此时拉力
G
F和半圆柱体的支持力N都最大,其大小分别为F =Gtan60°=√3G,N = =2G;随着E向
m m cos60°
上移动,三角形逐渐减小,拉力F、半圆柱体的支持力N都逐渐减小,当E移动到M顶端时,F减
小到零,N减小到G,故C错误,D正确;取整体为研究对象,地面对M的摩擦力等于拉力 F,所以
摩擦力随拉力F的减小而减小,故B错误。
【加固训练】(多选)如图所示,在水平地面上放着一个左侧截面为半圆的光滑柱状物体A,在物体A与竖
直墙面之间放着一个光滑斜面体B,斜面体B未接触地面,整个装置在水平力F作用下处于静
止状态,现推动物体A缓慢向左移动一小段距离,在此过程中,下列说法正确的是( )
A.水平力F大小不变
B.地面对物体A的支持力不变
C.斜面体B对物体A的压力逐渐增大
D.墙面对斜面体B的支持力逐渐减小
m g
【解析】选A、B。以B为研究对象,由平衡条件可知,墙对B的作用力F = B ,物体A对斜面
1
tanθ
m g
体的支持力F = B ,现推动物体A缓慢向左移动一小段距离,角度θ保持不变,所以F 、F 保
2 1 2
sinθ
持不变,以整体为研究对象,水平力F大小等于墙对B的作用力F 且保持不变,故A正确;以整
1
体为研究对象,地面对物体A的支持力等于A、B重力之和且保持不变,故B正确;根据牛顿第
三定律,可知斜面体B对物体A的压力等于物体A对斜面体的支持力F 保持不变,故C错误;墙
2
面对斜面体B的支持力F 保持不变,故D错误。
1
4.(6分)(生活日常)(2023·重庆模拟)小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了,为了移开石墩小李找来一根结实的绳子,将绳的一端系在石墩上,双手紧握绳的另一端用力斜向上
拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为 θ,小李对绳施加的最大拉力为 0.6mg,石墩与水平地面
√3
间的动摩擦因数为 ,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是( )
3
A.无论θ取何值,小李都不可能拖动石墩
π
B.小李能拖动石墩,且当θ= 时最省力
3
π
C.小李能拖动石墩,且当θ= 时最省力
6
π
D.小李能拖动石墩,且当θ= 时最省力
4
【解析】选C。对石墩进行受力分析如图所示
Fcosθ=μF
N
F +Fsinθ=mg
N
√3 1
解得2F( cosθ+ sinθ)=mg
2 2
mg
即F= π
2sin( +θ)
3
π π
可解得,当θ= 时,F最小为0.5mg,故小李能拖动石墩,且当θ= 时最省力。
6 65.(6分)(生产生活)(2023·淄博模拟)在吊运表面平整的重型板材(混凝土预制板、厚钢板)时,如
因吊绳无处钩挂而遇到困难,可用一根钢丝绳将板拦腰捆起(不必捆得很紧),用两个吊钩勾住绳
圈长边的中点起吊(如图所示),若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为 μ,为了满足安全起吊(不
考虑钢丝绳断裂),需要满足的条件是( )
A.tanα>μ B.tanα<μ
C.sinα>μ D.sinα<μ
【解析】选B。要起吊重物,只需满足绳子张力T的竖直分量小于钢丝绳与板材之间的最大静
摩擦力,一般情况最大静摩擦力等于滑动摩擦力,如图所示
即Tcosαμ>Tsinα,化简可得tanα<μ,故B正确。
6.(6分)(生产生活)(2023·唐山模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米
棒,某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象,为避免倾倒,在左侧用木棍支撑,如图所示。
√3
若支撑点距水平地面的高度为√3 m,木棍与水平地面间的动摩擦因数为 ,木棍重力不计,粮
3
仓对木棍的作用力沿木棍方向,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,为使木棍下端不发生侧滑,则木棍的长度最大为( )
A.1.5 m B.√3 m
C.2 m D.2√3 m
【解析】选C。设木棍与水平方向夹角为θ,木棍长度为L,粮仓对木棍的作用力大小为F,则为
使木棍下端一定不发生侧滑,由平衡条件有Fcosθ≤μFsinθ,由几何知识有tanθ= h ,两式联
√L2-h2
立解得L≤2 m,即木棍的长度最大为2 m,故A、B、D错误,C正确。
7.(6分)(2020·山东等级考)如图所示,一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上,质量分别为m和2m
的物块A、B,通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接,A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与
B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的
夹角为45°时,物块A、B刚好要滑动,则μ的值为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 5 6
【解析】选C。当木板与水平面的夹角为45°时,两物块刚好滑动,对A物块受力分析如图甲,沿斜面方向,A、B 之间的滑动摩擦力 f =μN=μmgcos45°,根据平衡条件可知 T=mgsin45°
1
+μmgcos45°①;对B物块受力分析如图乙,
沿斜面方向,B与斜面之间的滑动摩擦力f =μN″=μ·3mgcos45°,根据平衡条件可知
2
2mgsin45°=T+μmgcos45°+μ·3mgcos45°②,①②两式联立,可得2mgsin45°=mgsin45° +μmgcos45°
1
+μmgcos45°+μ·3mgcos45°,解得μ= ,A、B、D错误,C正确。故选C。
5
8.(6分)竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向前推进。槽表面
光滑,摩擦力可以不计;部件A与部件B界面动摩擦因数为μ,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,
界面与水平面呈45°夹角。部件B质量为m,重力加速度为g,为了使门闩启动,施加在部件A上
的水平力F至少是( )1 1
A. mg B. mg
1+μ 1-μ
1+μ 1-μ
C. mg D. mg
1-μ 1+μ
【解题指南】分析本题注意以下两点;
(1)应用临界法,研究刚好发生相对滑动的临界状态;
(2)部件A、B均处于平衡状态,满足平衡条件。
【解析】选C。设A、B刚好发生相对滑动,A、B的受力如图所示
以B为对象,则有mg+fsin45°=F cos45°
AB
以A为对象,则有F=fcos45°+F sin45°
BA
1+μ
又f=μF =μF ,联立解得施加在部件A上的水平力F的最小值为F= mg,选项C正确。
AB BA 1-μ
二、计算题
9.(10分)(2023·绍兴模拟)如图所示,一只质量为m的蚂蚁从碗底沿半径为R的半球形碗壁向上
缓慢爬行,若蚂蚁与碗壁间的动摩擦因数为√3,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为
g。(1)当蚂蚁爬到和圆心O的连线与竖直方向成30°的位置时,求它受到的摩擦力;
1
答案:(1) mg,方向垂直蚂蚁和圆心O的连线向上
2
【解析】(1)蚂蚁缓慢爬行可以认为处于平衡状态,当蚂蚁爬到与圆心O的连线与竖直方向成
30°的位置时,蚂蚁受到重力、支持力和静摩擦力作用,静摩擦力等于重力沿切面向下的分力,可
1
得f=mgsin30°= mg
2
静摩擦力方向垂直蚂蚁和圆心O的连线向上。
(2)当蚂蚁爬到和圆心O的连线与竖直方向成45°的位置时,求碗对它的作用力;
答案:(2)mg,方向竖直向上
【解析】(2)当蚂蚁爬到与圆心O的连线与竖直方向成45°的位置时蚂蚁处于平衡状态,碗对蚂
蚁的作用力大小等于重力mg,方向竖直向上。
(3)求蚂蚁能爬到距碗底的最大高度。
R
答案: (3)
2
【解析】(3)当蚂蚁爬到最高位置,刚好要打滑时,重力沿切面向下的分力恰好等于最大静摩擦
力,重力沿切面向下的分力为F =mgsinθ
1
支持力等于重力垂直于切面的分力F =mgcosθ
N刚打滑时满足mgsinθ=μmgcosθ
联立解得tanθ=√3
即θ=60°
R
由夹角关系可求得蚂蚁离开碗底最大高度为h=
2
10.(12分)如图所示,质量M=2 √3 kg的木块A套在水平杆上,并用轻绳将木块与质量 m= √3
kg的小球B相连。今用与水平方向夹角α=30°的力F=10 √3 N,拉着小球带动木块一起向右匀
速运动,运动中M、m相对位置保持不变,g取10 m/s2。求:
(1)运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ;
答案:(1)30°
【解析】(1)对B进行受力分析,设轻绳对B的拉力为F ,
T
由平衡条件可得Fcos30°=F cosθ
T
√3
Fsin30°+F sinθ=mg,解得F =10 √3 N,tan θ= ,即θ=30°。
T T
3
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ;
√3
答案:(2)
5【解析】(2)对A进行受力分析,由平衡条件得F sinθ+Mg=F ,F cosθ=μF ,
T N T N
√3
解得μ= 。
5
(3)当tanα为多大时,使小球和木块一起向右匀速运动的拉力最小。
√3
答案:(3)
5
【解析】(3)对A、B进行受力分析,由平衡条件有Fsinα+F =(M+m)g,Fcosα=μF
N N
解得F= μ(M+m)g 令sinβ= 1 ,cosβ= μ ,
cosα+μsinα √1+μ2 √1+μ2
即tanβ=1,则F= μ(M+m)g = μ(M+m)g
μ √1+μ2(sinβcosα+cosβsinα) √1+μ2sin(β+α)
√3
显然,当α+β=90°时,F有最小值,所以tanα=μ= 时,F的值最小。
5
【解题指南】分析本题注意以下两点:
(1)整体法与隔离法应该灵活应用;
(2)系统处于平衡状态,根据平衡条件列式求出拉力的表达式是进一步分析最值的关键。
