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通州区 2022—2023 学年第二学期七年级期中质量检测
数学试卷
一、选择题
1. 如果 是某不等式的解，那么该不等式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把 分别代入各选项，即可判定．
【详解】解：A. ， 不是不等式 的解，故该选项不符合题意；
B. ， 不是不等式 的解，故该选项不符合题意；
C. ， 不是不等式 的解，故该选项不符合题意；
D. ， 是不等式 的解，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解，理解题意是解题的关键．
2. 已知 是方程 的一个解，那么a的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】把 代入方程求解即可．
【详解】解：把 代入方程 得：
，解得： ；
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学科网（北京）股份有限公司故选B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方运算法则进行计算，判断即可．
【详解】A. 不是同类项不能计算，此选项不符合题意；
B. ，计算错误，此选项不符合题意；
C. ，计算正确，此选项符合题意；
D. ，计算错误，此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
4. 利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A. 要消去x，可以将 B. 要消去x，可以将
C. 要消去y，可以将 D. 要消去y，可以将
【答案】A
【解析】
【分析】观察方程组中 与 的系数特点，利用加减消元法判断即可．
【详解】解：利用加减消元法解方程组 ，要消去 可以将 ，故A选项
正确，B选项错误；要消去 可以将 ，故选项C和选项D错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元
法．
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学科网（北京）股份有限公司5. 下列运算：① ；② ；③ ；④
，其中正确的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的运算法则展开逐一判断即可．
【详解】① ，计算错误；
② ，计算错误；
③ ，计算错误；
④ ，计算正确；
故选D．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6. 某学校新增一些洗手杀菌装置，需要2米和1米两种长度的水管，现将一根长7米水管截成这两种长度
（两种都有），如果没有剩余，那么截法的种类有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】截下来的符合条件的水管长度之和刚好等于总厂7米时，没有剩余，设截成2米长的水管 根，1
米长的 根，由题意得到关于 与 的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．
【详解】截下来的符合条件的水管长度之和刚好等于总厂7米时，没有剩余
设截成2米长的水管 根，1米长的 根，
由题意，得
， 都是正整数
符合条件的解为：
或 或
则有3种不同的截法
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学科网（北京）股份有限公司故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系式，得出 ， 的值是解题的关键，
需要注意 ， 的值只能取正整数．
7. 如果关于x的不等式组 的整数解只有2个，那么m的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式组的整数解的个数，即可确定m的取值范围．
【详解】 关于x的不等式组 的整数解只有2个，
整数解为 和
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，能够根据整数解的个数确定未知数的范围是解题的关键．
8. 运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作
仅进行了两次就停止，则x的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【
分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即
可．
【详解】解：由题意得 ，
解不等式①得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解不等式②得 ．
则 的取值范围是 ，
是整数，
的最小值是5．
故选： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关
键．
二、填空题
9. 计算： _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式乘单项式法则计算．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
10. 已知关于x的一元一次不等式 的解集在数轴上表示如图，那么k的值是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据数轴和不等式分别可以求出x的取值范围，再根据范围一样可以列出等式，解不等式即可得
出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又由数轴可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得： ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是解不等式以及不等式在数轴上的表示，注意在数轴上表示不等式时：有等于号是实
心，没有等于号是空心．
11. 已知 ，那么 的值是__________．
【答案】32
【解析】
【分析】逆用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答本题的关键．
12. 如果关于x的不等式组 的解集是 ，请写出一个符合条件的m的值是_________．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据不等式组的解及解集可得出m的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可．
【详解】 关于x的不等式组 的解集是 ，
m的值可以是2
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．
13. 如图1，一个容量为600cm3的杯子中装有300cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中，结果水
没有满，如图2，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
的
【分析】设每颗玻璃球 体积为xcm3，根据不等关系式：4颗玻璃球的体积+水的体积小于杯子的容积，列
出不等式即可．
【详解】解：设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意得：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列不等式，根据题意找出题目中的不等关系，是解题的关键．
14. 已知关于x，y的二元一次方程 的部分解如表：
x … 2 5 8 11 …
y … 2 9 …
关于x，y的二元一次方程 的部分解如表：
x … 2 5 8 11 …
y … 2 26 …
则关于x，y的二元一次方程组 的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的定义解答即可．
【详解】由题意可知， 既是方程 的解，也是方程 的解，
二元一次方程组 的解是
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫
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学科网（北京）股份有限公司做二元一次方程的解．
15. 计算： ______．
【答案】-1
【解析】
【分析】利用平方差公式进行计算，即可得出结果．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．
16. 周末小希跟几位同学在某快餐厅吃饭，如下为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为8份盖饭，x
杯饮料，y份凉拌菜．
A套餐：一份盖饭加一杯饮料
B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜
C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜
（1）他们点了_______份B套餐（用含x或y的代数式表示，其中 ）；
（2）如果 ，且A、B、C套餐均至少点了1份，那么最多有________种点餐方案．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】（1）根据题意，得 套餐和 套餐的总数为： 份；结合所点的餐食总共为8份盖饭，根据代
数式的性质计算，即可得到答案；
（2）根据题意，计算得 套餐和 套餐的总数为： 份，再根据 、 、 套餐均至少点了1份，通过
计算即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，共 杯饮料，即 套餐和 套餐的总数为： 份
∵所点的餐食总共为8份盖饭，即三种套餐的总数为：8份
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学科网（北京）股份有限公司∴ 套餐的数量为： 份；
故答案为:
（2）∵
∴ 套餐和 套餐的总数为： 份
∴ 套餐的数量为： 份
∵ 、 、 套餐均至少点了1份
∴情况1： 套餐：1份， 套餐4份；
情况2： 套餐：2份， 套餐3份；
情况3： 套餐：3份， 套餐2份；
情况4： 套餐：4份， 套餐1份；
∴最多有4种点餐方案．
故答案为：4
【点睛】本题考查了代数式、有理数加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求
解．
三、解答题
17. 解不等式：
【答案】
【解析】
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：去分母，得
去括号，得
移项，得
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学科网（北京）股份有限公司合并同类项，得
系数化成1，得
的解为 ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别解两个不等式得到两个不等式的解集，再取解集的公共部分可得答案．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
在数轴上表示不等式①、②的解集，
所以这个不等式组的解集是 ．
【点睛】本题考查的是解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
19. 解二元一次方程组：
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】采用加减消元法解方程组，即可求解．
【详解】解：
，得 ，
解得 ，
把 代人①，得 ，
解得 ，
所以，原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．
20. 解二元一次方程组：
【答案】
【解析】
【分析】将①代入②可求得 ，再将 代入①，即可求得 ，从而得出答案．
【详解】解：
将①代入②中得，
把 代入①， ，
所以 是原方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解题方法，正确掌握运算方法是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司21. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式化简，再把 变形整体代入即可求解．
【详解】解：原式
，
原式 ．
【点睛】本题主要考查完全平方差公式、平方差公式的化简，去括号得到最简结果，再把已知等式变形后
代入计算求值，解题的关键是学会整体代入的思想解决问题．
22. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，求m的值．
【答案】
【解析】
【分析】将② ①，得到 ，再代入 即可得到m的值．
【详解】解：
② ①，
③
把③代人 中，得
．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到 是解
题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司23. 某校有一块长为 ，宽为 的长方形土地，计划将阴影部分进行绿化，空白正方形部分修建
一座雕像，其中 ．请用含a，b的代数式表示绿化面积（结果化为最简形式）
【答案】
【解析】
【分析】根据图形及多项式乘多项式及完全平方公式可进行求解．
【详解】解：根据题意得：
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，熟练掌握各个运算及公式是解题的关键．
24. 列方程组解应用题：
端午期间某超市销售价格相同的粽子与咸鸭蛋的组合礼品盒，甲种礼品每盒含12只粽子和4枚咸鸭蛋，售
价72元；乙种礼品每盒含10只粽子和8枚咸鸭蛋，售价74元（礼品盒的价格忽略不计），问一只粽子和
一枚咸鸭蛋各多少元？
【答案】一只粽子5元，一枚咸鸭蛋3元
【解析】
【分析】设一只粽子x元，一枚咸鸭蛋y元，根据“甲种礼品每盒含12只粽子和4枚咸鸭蛋，售价72元；
乙种礼品每盒含10只粽子和8枚咸鸭蛋，售价74元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出结论．
【详解】解：设一只粽子x元，一枚咸鸭蛋y元．
根据题意得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得：
答：一只粽子5元，一枚咸鸭蛋3元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25. 列方程组解应用题：
我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个最简的二阶幻圆的
模型，将一些数字分别填入图中的圆圈内，要求：①外、内两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直
径上的四个数字之和相等，请你求出图中外，内两个圆周上两空白圆圈内应填写的数字是多少?
【答案】图中外圆周上空白圆圈内填写 的数字是4，图中内圆周上空白圆圈内填写的数字是7.
【解析】
【分析】设外圆周上的数字是x，内圆周上的数字是y，由题意：（1）内、外两个圆周上的四个数字之和
相等；（2）外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设图中外圆周上空白圆圈内填写的数字是x，
图中内圆周上空白圆圈内填写的数字是y，
根据题意得 ，
解得： ，
答：图中外圆周上空白圆圈内填写的数字是4图中内圆周上空白圆圈内填写的数字是7．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
26. 已知 ，如果 ，请判断x与y的大小关系，并说明理由．
【答案】 ，见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用整式的减法计算可得 ，再根据 判断 的正负即可．
【详解】解： ．理由如下：
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【点睛】本题考查整式减法的应用、不等式的性质，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法则．
27. 图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如
图2所示的形状拼成一个大正方形．
（1）图2中的阴影部分正方形的边长是_______（用含a，b的代数式表示）；
（2）观察图1，图2，请写出 ， 之间的等量关系是：_______
（3）已知 ，求 的值．
（4）如图3，C是线段 上的一点，以 ， 为边向上分别作正方形 和正方形 ，连
接 ．若 ，求 的面积．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；
（3）将 利用完全平方公式展开，再相加即可得出答案；
（4）设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，根据图形中的关系得出 ，
再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；
另解：设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，根据图形中的关系得出
，利用（2）的结论直接代入即可 ，最后根据三角形面积公式即可得出答案．
【小问1详解】
图2中的阴影部分正方形的边长是 ；
【小问2详解】
之间的等量关系是： ，
【小问3详解】
∵ ，
∴ ①
∵ ，
∴ ②
∵①+②，得：
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
【小问4详解】
设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y
∴ ，
解得 ，
；
另解：设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了完全平方公式 的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
28. 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 ．例如， ．
那么 ，其中 ．例如， ．
请你解决下列问题：
（1） _______， _____；
（2）如果 ，那么x的取值范围是________；
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学科网（北京）股份有限公司（3）如果 ，求x的值．
【答案】（1） ，
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接求解；
（2）根据 表示不超过x的最大整数的定义即可求解；
（3）根据 表示不超过x的最大整数的定义得： 或 ，
计算即可得出答案．
【小问1详解】
表示的是不超过x的最大整数
，
【小问2详解】
如果 ，那么x的取值范围是
【小问3详解】
根据题意得 或
解得 ，
因为 的值是整数，
所以2x是整数，
所以 或 ．
【点睛】本题考查了不等式的应用和新定义的理解和运用，正确理解 表示不超过x的最大整数是解题
的关键．
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学科网（北京）股份有限公司
