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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题03 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系和自由落体运动
导练目标 导练内容
目标1 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
目标2 自由落体运动
【知识导学与典例导练】
一、初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
1. 等分时间：
(1)1T末、2T末、3T末、……瞬时速度的比为：v∶v∶v∶…∶v＝1：2：3：……：n；
1 2 3 n
(2)1T内、2T内、3T内……位移的比为：x∶x∶x∶…∶x＝12：22：32：……：n2；
1 2 3 n
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为：x ∶x ∶x ∶ …∶ x＝1:3:5：……：（2n-1）。
Ⅰ Ⅱ Ⅲ n
注意：可以利用v-t图像，利用三角形面积比和相似比的关系加以推导
2. 等分位移：
(1) 通过1x末、2x末、3x末……的瞬时速度之比为： ；
(2) 通过1x、2x、3x……所用时间之比为： ；(3) 通过第一个1x、第二个x、第三个x……所用时间之比为： 。
注意：可以利用v-t图像，利用三角形面积比和相似比的关系加以推导
3. 速度可以减为零的匀减速直线运动，可以逆向利用初速度为零匀加速直线运动的比例关系。
【例1】在2021年全国跳水冠军赛10米台的比赛中，张家齐和陈芋汐顺利夺冠。若将她们入水后向下的
运动视为匀减速直线运动，该运动过程的时间为t。张家齐入水后第一个 时间内的位移为x，最后一个
1
时间内的位移为x，则 =（ ）
2
A．3∶1 B．4∶1 C．7∶1 D．8∶1
【答案】C
【详解】将运动员入水后的运动逆过来可看作初速度为零的匀加速直线运动，根据匀加速直线运动规律可
知，连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶7…，所以有 故选C。
【例2】如图所示，音乐喷泉竖直向上喷出水流，喷出的水经3s到达最高点，把最大高度分成三等份，水
通过起始的第一等份用时为 ，通过最后一等份用时为 。空气阻力不计，则 满足（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据初速度为零的匀变速直线运动规律，水通过连续相等位移所用时间之比
将水的运动逆向看成自由落体运动，可知 即 故B正确，ACD错误。故
选B。
【例3】今年1月10日，首发“复兴号”动车D843次载着旅客，从西昌出发一路向南驶向攀枝花，正式
开启了凉山的“动车时代”。假如动车进站时从某时刻起做匀减速直线运动，分别用时3s、2s、1s连续通
过三段位移后停下，则这三段位移的平均速度之比是（ ）
A．3：2：1 B．27：8：1 C．5：3：1 D．9：4：1
【答案】D
【详解】将动车的运动反向看做初速度为零的匀加速直线运动，则1s内的位移为
2s内的位移为 ；3s内的位移为
故位移之比 平均速度 故平均速度之比为 故D正确。
故选D。二、自由落体运动
1. 基本规律
（1）从静止开始的，只受重力作用的匀加速直线运动。
（2）基本公式：
（3）推论比例公式：匀变速直线运动的推论公式和初速度为零的匀加速直线运动的比例关系都适用。
2. 三种常见情况：
（1）知局部高度∆h（对应时间∆t），求总高度H（对应时间t）
方法一： ，求得时间t，进而求出H。
Δh Δt
¯v= =g(t+ )
Δt 2
方法二： ，利用∆t内的平均速度，求得时间t，进而求出H。
（2）链子（或杆）过观察点时间问题：
设链子（或杆）长L，链子（或杆）的下端到观察点的距离为h
√2h
t =
1 g
①链子（或杆）下端下落到观察点的时间
√2(L+h)
t =
2 g
②链子（或杆）上端下落到观察点的时间
√2(L+h) √2h
Δt= −
g g
③所以，整条链子（或杆）通过观察点的时间
（3）等高不同时和同时不等高问题
①等高不同时：1）速度差： ，为一定值；
2）位移差： ,随t增大而增大。
②同时不等高：
设A球从顶部下落h 时，B球距顶h 下落，同时落地，求H。
1 2
√2H
g
A球：落地总时间：t = ，下落h 时间为t= ，
总 1 1
B球：下落高度为（H-h）,下落时间为t=
1 2
根据时间关系有t =t+t
总 1 2
即 ，可解得H。
3. 描述自由落体运动的三种图像V-t图像 a-t图像 h-t图像
图像
公式 v=gt a=g
斜率等于g，
物理量 面积为速度变化量 当t=0时，h=H
面积为下落高度h
【例4】蹦极是一项刺激的户外休闲活动，可以使蹦极者在空中体验几秒钟的“自由落体”。如图所示，
蹦极者站在高塔顶端，将一端固定的弹性长绳系在腰上，然后双臂伸开，双腿并拢，头朝下跳离高塔。设
弹性绳的原长为L，蹦极者下落第一个 时速度的增加量为Δv，下落第五个 时速度的增加量为Δv，把
1 2
蹦极者视为质点，蹦极者离开塔顶时的速度为零，不计空气阻力，则 满足（ ）
A．1< <2 B．2< <3
C．3< <4 D．4< <5【答案】D
【详解】蹦极者下落高度L的过程，可视为自由落体运动，对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续
相等位移的时间之比为1：（ －1）：（ － ）：（2－ ）：（ －2）：…，可知
＝ ＝ ＋2即4< <5根据Δv＝gt可得4< <5故D正确，ABC错误。故选D。
【例5】一条悬链长5.6m,从悬点处断开,使其自由下落,不计空气阻力．则整条悬链通过悬点正下方12.8m
处的一点所需的时间是(g取 )（ ）
A．0.3s
B．0.4s
C．0.7s
D．1.2s
【答案】B
【详解】设悬链的长度为L，从悬点至悬点正下方12.8 m处的一点的高度为h，经t 悬链的下端经过该点，
1
则 ，代入数据解得： ，经t 悬链的上端经过该点，则有： ，代入数据解得：
2
，则经历的时间为：Δt＝t－t＝0.4 s，故B正确，ACD错误．
2 1
【例6】一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的小球从一定的高度自由下落，
测得在第5 s内的位移是18 m，则（ ）
A．小球在2 s末的速度是20 m/s B．小球在第5 s内的平均速度是3.6 m/s
C．小球在第2 s内的位移是20 m D．小球在5 s内的位移是50 m
【答案】D【详解】B. 小球在第5 s内的平均速度为 ，B错误；
A.小球在5s内的位移为 小球在4s内的位移为 由题意可知 联立解得：
；因此小球在2 s末的速度是 ，A错误；
C. 小球在2s内的位移为 小球在1s内的位移为
小球在第2 s内的位移是 ，C错误；
D. 小球在5s内的位移为 ，D正确；故选D。
【例7】质量相等的甲和乙两物体（均可视为质点）从空中自由下落，同时落至水平地面，甲、乙两物体
运动的 图像如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙在空中运动时间相等 B．甲和乙速度变化快慢相同
C．甲和乙开始下落位置距离地面高度相同 D．甲和乙下落过程重力对它们做功相同
【答案】B
【详解】A．由题中 图像可知，甲物体在空中运动时间大于乙物体在空中运动时间，A错误；
B．甲和乙两物体均做自由落体运动，两物体 图像的斜率等于重力加速度大小，所以两物体速度变化
快慢相同，B正确；C． 图线与t轴所围面积表示物体运动位移，由题图可知甲物体下落位置距离地面高度大于乙物体下落
位置距离地面高度，C错误；
D．甲和乙质量相等，下落高度不同，下落过程中重力对甲所做的功大于对乙所做的功，D错误。故选B。
【例8】中国发射的“嫦娥四号”探测器是人类第一次近距离访问月球背面，此次访问为我国进一步探索
深空积累了重要经验。一物体从月球表面某高处由静止释放，自开始下落计时，得到物体离月球表面高度
随时间 变化的图象如图所示，则（ ）
A．月球表面重力加速度大小为
B．物体落到月球表面的速度大小为
C．1s末物体的速度大小为
D．前4s内物体的平均速度大小为
【答案】C
【详解】AB．根据 代入数据，解得 物体落到月球表面的速度大小为
故AB错误；
C．1s末物体的速度大小为 故C正确；
D．前4s内物体的位移 前4s内物体的平均速度大小为故D错误；故选C。
【多维度分层专练】
1．如图所示，冰壶以某一速度沿虚线做匀减速直线运动，垂直进入四个完全相同的矩形区域，离开第四
个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零。若冰壶从A点运动到D点的时间为t，则冰壶从C点运动到E点
所需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】冰壶作匀减速运动至速度为零，采用逆向思维，把冰壶看作从E到A的初速度为零的匀加速直线
运动，设冰壶从C点运动到E点所需要的时间为 根据通过连续相等位移的时间之比为
可得 解得 故C正确；ABD错
误。故选C。
2．科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的
照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴
似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是
（g取10 m/s2）（ ）A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足t ＜t ＜t
AB BC CD
B．闪光的间隔时间是 s
C．水滴在相邻两点间的平均速度满足 ∶ ∶ =1∶4∶9
AB BC CD
D．水滴在各点的速度之比满足v ∶v ∶v =1∶3∶5
B C D
【答案】B
【详解】A．由题图可知h ∶h ∶h =1∶3∶5水滴做初速度为零的匀加速直线运动，由题意知水滴在下落过程
AB BC CD
中通过相邻两点之间的时间相等，A错误；
B．由h= gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s，即闪光的间隔时间是 s，B正确；
C．由 知水滴在相邻两点间的平均速度满足 ∶ ∶ =1∶3∶5，C错误；
AB BC CD
D．由v=gt知水滴在各点的速度之比满足v ∶v ∶v =1∶2∶3，D错误。故选B。
B C D
3．某同学想测一细绳的长度，手头没有刻度尺，只有秒表，他找来两个相同的小球A和B，在楼顶自由释
放小球A，测得小球的下落时间约2s。把A和B两小球分别拴在细绳两端，手持A球，小球B自然下垂，
小球A再次由第一次位置自由释放后，测得两球的落地时间差约为1s，不计空气阻力，则细绳的长度约为
（ ）
A．20m B．15m C．10m D．5m【答案】B
【详解】设楼顶距地面高度为h，细绳长度为L，A自由释放过程，由自由落体运动规律
细绳栓上两球后，有 联立可解得L=15m故选B。
4．如图所示，地面上方离地面高度分别为的 ， ， 的三个金属小球a、b、c。若先后
释放a、b、c，三球刚好同时落到地面上，不计空气阻力，重力加速度g，则（ ）
A．b与a开始下落的时间差等于c与b开始下落的时间差
B．三小球运动时间之比为
C．a比b早释放的时间为
D．三小球到达地面时的速度大小之比是6：4：3
【答案】C
【详解】ABC．由公式 可得 ； ； 则 三小球运动时间之
比为 ，a比b早释放的时间为 选项AB错误，C正确；D．根据 可计算出三小球到达地面时的速度大小之比是 ，选项D错误。故选C。
5．高空抛物是一种不文明行为，会带来很大的社会危害。某天，家住8楼的小华发现有一钢球从落地窗外
坠落，调看家里视频监控发现钢球通过落地窗用时 ，已知落地窗高度为 ，每层楼高度为 ，试估
算钢球从几楼抛出（ ）
A．9楼 B．10楼 C．15楼 D．20楼
【答案】C
【详解】设钢球下落点距离小华家窗户上沿高度为h，则 ； 解得 ；
h 19m
≈
因为 可知钢球从15楼抛出的。故选C。
6．如图所示，两位同学在教学楼。上做自由落体实验，甲同学在四楼先将小球A释放，当下落距离为h时，
乙同学在三楼将小球B释放，小球B释放时间t后，两球恰好同时落地，小球A、B不在同一条竖直线上，
不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲同学释放点离地高度为
B．甲同学释放点离地高度为C．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，两小球仍能同时落地
D．若两位同学均各下一层楼重做以上实验，小球A先落地
【答案】B
【详解】AB．小球A下落h所需时间为t′，则 解得 故小球A下落到地面所需时间为
下降的高度为 故A错误B正确；
C．当两位同学均各上一层楼重做以上实验，相当于在以上实验的基础上，假设两同学不动，地平面下降
了一层楼。则由自由落体运动规律可知，两球会在空中原来地平面处相遇，相遇时小球A速度大，故A先
落地，故C错误；
D．若两位同学均各下一层楼重做以上实验，相当于在以上实验的基础上，假设两同学不动，地平面上升
了一层楼，则两小球不能在空中相遇，根据自由落体规律可知小球B先落地，故D错误；故选B。
7．甲、乙两物体从同一高度做自由落体运动，记甲开始下落时t=0，乙开始下落时，甲的速度 =10m/s，
且乙比甲晚 开始下落，甲在t=3 时落地，两物体的v-t图像如图所示，重力加速度g取10m/s2，下列说
法正确的是（ ）A．乙开始下落时，甲离地的高度为5m
B．在 ~3 内，甲相对乙做匀加速直线运动
C．甲落地时，乙离地的高度为20m
D．图像中平行四边形对应的面积（阴影部分），大小等于 ~3 时间间隔内甲、乙的位移大小之差
【答案】D
【详解】AC．由题意可得 解得 且由题意知甲在t=3 时落地，故甲开始下落时离地面高度为
乙开始下落时，甲离地的高度为 ； 解得 同理甲落地时，乙距
离地面为 ； 解得 故AC错误；
B．在 ~3 内，甲和乙具有相同的加速度，故甲相对乙做匀速直线运动，故B错误；
D．因为v-t图像面积表示位移，所以图像中平行四边形对应的面积（阴影部分），大小等于 ~3 时间间
隔内甲、乙的位移大小之差，故D正确。故选D。
8．有一辆汽车在一个沙尘暴天气中以 的速度匀速行驶，司机突然模糊看到正前方十字路口有一个
老人跌倒在地，他立即刹车，刹车后加速度大小为 ，则（ ）
A．经4s汽车速度变为零
B．汽车刹车后6s内的位移为30m
C．汽车在第1s末、第2s末、第3s末的速度之比为
D．汽车第一个 内、第二个 内、第三个 内、第四个 内位移之比为
【答案】AC【详解】A．由速度时间公式可得，汽车速度减到零时的时间 故A正确；
B．汽车刹车后6s内的位移等于4s内的位移 故B错误；
C．将刹车过程的逆过程看做初速度为零的匀加速运动，则汽车在第4s末速度为零；汽车在第1s末、第2s
末、第3s末的速度之比为 ，故C正确；
D．将刹车过程的逆过程看做初速度为零的匀加速运动，汽车在第一个1s、第二个1s、第三个1s、第四个
1s内位移之比为 ， D错误。故选AC。
9．高楼坠物危害极大，常有媒体报道高空坠物伤人事件。某建筑工地一根长为l的直钢筋突然从高空坠下，
垂直落地时，恰好被检查安全生产的随行记者用相机拍到钢筋坠地瞬间的照片。为了查询钢筋是从几楼坠
下的，检查人员将照片还原后测得钢筋的影像长为L，且 ，查得当时相机的曝光时间为t，楼房每层
高为h，重力加速度为g，则（影像长度包括钢筋长度和钢筋坠地前在曝光时间t内下落的距离）（ ）
A．钢筋坠地瞬间的速度约为
B．钢筋坠下的楼层为
C．钢筋坠下的楼层为
D．钢筋在整个下落时间内的平均速度约为
【答案】BD
【详解】A．最后t时间内的位移为（L－l），故平均速度 由于t时间极短，可以表示末时刻的瞬
时速度，故末速度为 ，A错误；
BC．对运动全程，根据速度位移公式v2＝2gh得 故楼层为 ，C错误，B正确；
D．钢筋在整个下落时间内的平均速度 ，D正确。故选BD。
10．如图所示，在足够高的空间内，小球位于空心管的正上方h处，空心管长为L，小球的球心与管的轴
线重合，并在竖直线上，小球直径小于管的内径，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．两者均无初速度且同时释放，小球在空中能穿过管
B．小球自由下落，管固定不动，小球穿过管的时间t= －
C．小球自由下落，管固定不动，小球穿过管的时间t=
D．两者均无初速度释放，但小球提前Δt时间释放，Δt较小，则从释放空心管到小球穿过管的时间t=
【答案】BD
【详解】A．若两者无初速度同时释放，则两者都做自由落体运动，在相同时间内下降的高度相同，可知
小球在空中不能穿过空心管，故A错误；
BC．若小球自由下落、管固定不动，小球穿过管的时间是小球到达管的下端与到达管的上端的时间差，根
据自由落体运动公式可知t= － 故B正确，C错误；D．两者均无初速度释放，但小球提前△t时间释放，当△t较小时，根据
可知小球穿过管的时间 当Δt较小时，则有 故D正确。故选BD。
