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北京市门头沟区 2021-2022 学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的运算规则计算即可．
【详解】A. ，选项错误；
B. ，选项错误；
C. ，选项正确；
D. ，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查幂的运算，熟记同底数幂的乘除、幂的乘方、负整数指数幂等法则是解题的关键．
2. 《北京市“十四五”时期能源发展规划》中提出制定推广新能源车实施方案，到2025年，全市新能源
汽车累计保有量力争达到200万辆，将200万用科学记数法表示（ ）
A. 2×104 B. 2×105 C. 2×106 D. 2×107
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；
当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】200万=2000000=2×106．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3. 有一个数不小于a，这个数在数轴上表示，正确的是（ ）A. B.C D.
.
【答案】D
【解析】
【分析】设这个数为x，由这个数不小于a可得 ，把它在数轴上表示出来即可求解．
【详解】解：设这个数为x，由题意得： ，
把 在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查了列不等式，在数轴上表示解集，根据不等关系列出不等式，并根据数轴上表示解集的
方法表示出来是解题的关键．
4. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 同角或等角的余角相等；
B. 相等的角是对顶角；
C. 平行于同一条直线的两条直线平行；
D. 在同一平面内，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定、对顶角的性质分别对每一项进行判断即可．
【详解】A、同角或等角的余角相等，原命题属于真命题，故本选项不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，原命题属于假命题，故本选项符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，原命题属于真命题，故本选项不符合题意；
D、在同一平面内，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题属于真命题，故本选项不符合
题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】标出字母，根据平行线的性质即可求解．
【详解】标出字母，如图
∵AB∥CD，
∴∠2=∠CEM，
∵∠1+90°+∠CEM=180°，
∴∠1+90°+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=40°，
∴∠1=90°-40°=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
6. 以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A. 调查全班同学的睡眠时间 B. 调查某品牌热水器的使用寿命
C. 调查某校学生的核算检测结果 D. 调查某次航班乘客随身携带物品情况
【答案】B
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比
较近似．【详解】解：A. 调查全班同学的睡眠时间，适合全面调查，不符合题意；
B. 调查某品牌热水器的使用寿命适合，不适合全面调查，符合题意；
C. 调查某校学生的核算检测结果，适合全面调查，不符合题意；
D. 调查某次航班乘客随身携带物品情况，适合全面调查，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7. 下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（ ）
A. A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据提公因式法和公式法依次对各个选项进行判断即可
【详解】A. －2x2＋4xy＝－2x（x－2y），故A选项正确．
B. 从左往右是整式乘法不是因式分解，故B选项错误．
C. 等号左边的多项式x2＋4x－4不是完全平方式，不能分解因式，故C选项错误．
D. 等号左边的多项式x2＋16不是完全平方式，不能分解因式，故D选项错误．
故选A
【点睛】本题考查了因式分解的概念及因式分解的方法．把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因
式分解．因式分解与整式乘法互为逆运算，常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．熟练掌握以上
知识是解题 的关键．
8. 一组从小到大排列的数据：2，5，x，y ，2x，11，这组数据的平均数与中位数都是7，则这组数据的众
数是（ ）
A. 2 B. 5 C. 7 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数与中位数的定义可以先求出x，y的值，进而就可以确定这组数据的众数．
【详解】∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，∴平均数为 （2+5+x+y+2x+11）=7
中位数为： （x+y）=7，
解得y=9，x=5，
∴这组数据的众数是5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平均数、众数与中位数的定义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据
的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平
均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
二、填空题
9. 如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，且∠1=125°，那么∠3= ______°．
【答案】125
【解析】
【分析】由于∠1、∠3都与∠2互补，应当联想到用“同角的补角相等”来解决．
【详解】∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，
∴∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，
∴∠3=∠1=125°．
故答案为：125．
【点睛】本题考查同角的补角相等，解此题时要认真观察，只要发现∠1、∠3都与∠2互补，即可大功告
成．
10. 把方程 写成用含y的代数式表示x的形式，_____．
【答案】
【解析】
【分析】把y看作已知数表示出x即可．
【详解】方程 ，
移项得：系数化1得：
故答案为： ．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
11. 关于x 的不等式 解集是 ，且解集里面的数是正数， 写出一组满足条件的 的值：
____， ____．
【答案】 ①. -1 ②. 1
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质即可求解．
【详解】解：由不等式 解集是 ，可得 ，
∴满足条件的 的值可以是a=-1，b=1（答案不唯一），
故答案为：-1，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
12. 如图，两个四边形均为正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：_____________________．
【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2
【解析】
【分析】两种方法表示最大正方形 的面积即可．
【详解】如图：
由面积法可得：
故答案是： ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的图形证明，解题的关键是利用好不同的方法计算同一图形的面积．
13. 已知数据 ， ， ， 的平均数为10，则数据 ， ， ， 的平均数是
______．
【答案】12.5
【解析】
【分析】先求出 ， ， ， 的和，再根据求平均数的公式求解即可．·
【详解】解：∵数据 ， ， ， 的平均数为10，
∴ + + + =4×10=40，
∴ = =12.5，
即数据 ， ， ， 的平均数是12.5，
故答案为：12.5．
【点睛】本题考查平均数，熟知平均数的求解公式是解答的关键．
14. 如图， ， 平分 交 于点 ， ，则 __°．
【答案】30
【解析】
【分析】根据 平分 得到 ，之后根据 即可得到答案．
【详解】解： 平分 ，
，
，
．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的
关键．
15. 如图，要使输出的y值大于100，则输入的最小正整数x是_______【答案】21
【解析】
【分析】分x为偶数与奇数两种情况，根据题中的程序框图计算即可得到结果.
【详解】解：若x为偶数，根据程序框图得：20×4+13=80+13=93＜100，
22×4+13=88+13=101＞100，
若x为奇数，根据程序框图得：19×5=95＜100，
21×5=105＞100，
则输入的最小正整数x是21，
故答案为：21.
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解本题的关键.
16. 从下面的关系中归纳出规律，然后进行计算：
1 × 3 = 3，而3 = 22 - 1 ；
3 × 5 = 15，而15 = 42 - 1 ；
5 × 7 = 35，而35 = 62 - 1 ；
……
根据如上的规律，第 n 行式子是：（ n为正整数），_________；
并按此规律计算：29 × 31 =____________ ．
【答案】 ①. ②. 899
【解析】
【分析】根据题目中的式子，可以发现式子的变化规律，从而可以得出第n个等式，进而可求解．
【详解】解：∵1 × 3 = 3，而3 = 22 - 1 ；
3 × 5 = 15，而15 = 42 - 1 ；
5 × 7 = 35，而35 = 62 - 1 ；……
∴第n个式子是： ，
则 ，
故答案为： ，899．
【点睛】本题考查了数字类探究规律问题，明确题意，发现式子的变化规律，归纳出第n个等式是解题的
关键．
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】6
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质等分别化简得出答案．
【详解】
=
=
【点睛】本题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数
是解题关键．
18. 解不等式组：
【答案】x<-2
【解析】
【分析】分别求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
【详解】原不等式组为
解不等式①，得x＜－2；不等式②，得x＜2；
原不等式组的解集为x＜－2．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则.19. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
②×2得： ③，
①－③得： ，
解得 ，
把 代入②得： ，
解得 ，
∴原方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组（代入法和加减法）的方法是解
答本题的关键．
20. 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用提公因式法，再利用公式法即可求解．
（2）利用公式法即可求解．
【小问1详解】解：=
= ．
【小问2详解】
解：
=
= ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
21. 动手操作题： 如图，三角形ABC， 按要求画图并填空，通过测量解决下面的问题：
（1）作∠ABC的平分线，交AC于点D；
（2）过点D作BC的平行线，交AB于点E；
（3）写出一对相等的角（角平分线平分的两个角相等除外）_______________；
（4）写出一对相等的线段_______________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） （答案不唯一）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的作法，即可作出角平分线；
（2）根据平行线的作法，即可作出平行线；
（3）根据题目条件即可判断；
（4）关键题目条件即可判断．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】解：如图所示，
【小问3详解】
解：由题意知， （答案不唯一）；
【
小问4详解】
解：由题意知， ．
【点睛】本题主要考查作图，熟练掌握基本知识是解题的关键．
22. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，22
【解析】
【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、进行化简，之后再整体代换．
【详解】解：
=
=
由于 ，所以
所以原式= = =22．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，平方差公式，掌握公式是解决问题的关键．
23. 补全横线上的内容并在括号中填入适当的理由：如图，AB CD， ∠1=∠2，∠3=∠4；求证：AD
BC
证明：∵AB CD（已知）∴∠4=∠BAE（ ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠ 1+∠CAF=∠2+∠CAF（ ）即 ∠BAE =∠_____
∵∠3=∠4 （已知）
∴∠3 =∠__________（ ）
∴AD BC（ ）
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据“两直线平行，同位角相等”得∠4=∠BAE，再根据∠1=∠2，得∠BAE=∠CAD，即可得
出∠3=∠CAD，最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案．
【详解】证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠4=∠BAE（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAE=∠DAC．
∵∠3=∠4（已知），
∴∠3=∠DAC（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：两直线平行，同位角相等；等式的性质；DAC；BAE，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，灵活选择定理是解题的关键．
24. 学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
_____ ③
回答下面的问题：
（1）①完成了上面流程图的第______步；
（2）②完成了上面流程图的第______步；
（3）将③的结果写在横线上_____________．
【答案】（1）三 （2）四
（3）
【解析】
【分析】（1）观察小亮的分解过程与流程，即可得到所求；
（2）观察小亮的分解过程与流程，即可得到所求；（3）写出正确的分解过程即可．【小问1详解】
按照小亮的流程图进行因式分解，①完成了上面流程图的第三步；
故答案为：三；
【小问2详解】
按照小亮的流程图进行因式分解，②完成了上面流程图的第四步；
故答案为：四；
【小问3详解】
故答案为： ．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
25. 下面的表格是某景点某天的门票价格及收入情况，这天售出成年人门票和学生门票各多少张？
成年人门票 学生门票
售出数量（单位：张） 3000
单价（单位：元/张） 40 20
总价格（单位：元） 78000
【答案】成年人门票900张，学生门票2100张
【解析】
【分析】根据题意设成年人门票x张，学生门票y张，找出两个等量关系时，列出方程组，求解．
【详解】解：设成年人门票x张，学生门票y张．
依题意可列方程组
．
解得
答：成年人门票900张，学生门票2100张．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出等量关系，列出相应方程求解．
26. 阅读材料后解决问题
北京市初中开放性科学实践活动是通过网络平台进行活动选课，活动项目包括六个领域，A：自然与环境，B：健康与安全，C：结构与机械，D：电子与控制，E：数据与信息，F：能源与材料．为
了了解某区学生自主选课情况，随机抽取了初一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完
整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）扇形统计图中 值为________________；
（2）这次被调查的学生共有________人；
（3）请将统计图2补充完整；
（4）若该区初一共有学生3000人，根据以上信息估计该区初一学生中选择电子与控制的人数．
【答案】（1）30 （2）200
（3）见解析 （4）900人
【解析】
【分析】（1）由扇形图所得信息可得 ；
（2）由A组有20人，占比10%，从而可得答案；
（3）先求解E组的人数为 ，再补全图形即可；
（4）由3000乘以D组占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：
故答案为：30
【小问2详解】
（人）
∴这次被调查的学生共有200人．
故答案为：200【小问3详解】∵ ，
∴补全图形如下：
【小问4详解】
3000×30%=900（人）
答：该区初一共有学生3000人，估计该区初一学生中选择电子与控制的人数为900人．
【点睛】本题考查的是扇形统计图与频数分布直方图，利用样本估计总体，频数与频率之间的关系，掌握
以上基础的统计知识是解本题的关键．
27. 已知：如图，AB CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数．（思路提
示：通过构建平行线，建立角之间的关系）
【答案】120°
【解析】
【分析】过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；
【详解】解：过点F作MN∥CD∵MN∥CD，∠1=30°
∴∠2=∠1=30°（两直线平行，同位角相等）
∵MN∥CD，AB∥CD
∴AB∥MN（平行于同一直线的两条直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB，
∴∠4=90°
∴∠3=∠4=90°
∴
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．
28. 对于有理数a，b，定义ma x 的含义为：当a≥b时，max ＝a；当a＜b时，max ＝
b．例如：max ＝1．
（1）max = ；
（2）求max { ， }= ，写出一个满足条件的x的值，x=______；
（3）已知max { ， }＝3．直接写出x的值．
【答案】（1）2； （2）0；
（3）x=1
【解析】
【分析】（1）由定义可求max 的值；
（2）先确定 的取值范围，再求解即可；
（3）根据 求解即可；
【小问1详解】
解：∵-1<2，
∴max =2，
故答案为2；
【小问2详解】
解：∵max { ， }= ，∴ ，
∴ ，∴x=0；
故答案为：0；
【小问3详解】
解：∵
∴
∴ 不可能等于3；
当
解得，
综上所述，
【点睛】本题考查一元一次方程的解，新定义及一元一次不等式．能将所求知识根据定义转化为一元一次
方程求解是解题的关键
