文档内容
2023 年北京石景山区华奥学校八年级下期末数学试卷
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可．
【详解】A、将方程 整理，得 ，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a＝0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、将方程 整理，得 ，是一元一次方程，故错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）二次项系数不为0．
2. 如图将 ， ， ， 按下列方式排列．若规定 表示第 排从左向右第 个数，则 与
表示的两数之积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】找出 与 表示的两数即可得到答案．
【详解】解： 表示第5排从左向右第 个数是 ．
表示第 排从左向右第 个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是 ，
第 排是奇数排，最中间的也就是这排的第 个数是 ．
∴ 与 表示的两数之积是 ，
故选：B
【点睛】此题考查了二次根式，正确找到排列规律是解题的关键．
3. 已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ）
A. 当AD=BC，AB//DC时，四边形ABCD是平行四边形
B. 当AD=BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C. 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴A不正确，不符合题意；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确，符合题意；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴C不正确，不符合题意；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
∴D不正确，不符合题意；
故选B．
4. 若点 与点 关于 轴对称，则 ， 的值分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），即关于横轴的对
称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，据此回答.
【详解】解：∵点P（-2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，
∴a，b的值分别是-2，-3
故选：C．
【点睛】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识
记的内容．
5. 正n边形的每个内角都是 ，则n的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据内角求出外角，利用外角和求出边数．
【详解】解：∵正n边形的每个内角都是 ，
∴每一个外角都是 ，
∵多边形外角和为 ，
∴多边形的边数为 ，
故选C．
【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和，正确掌握正多边形内角与外角的关系及外角和是 是解
题的关键．
6. 甲、乙两个样本的方差分别是 ， ，由此可反映（ ）
A. 样本甲的波动比样本乙大
B. 样本甲的波动比样本乙小
C. 样本甲和样本乙的波动大小一样
D. 样本甲和样本乙的波动大小关系，不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差的意义进行解答即可．
【详解】解：甲、乙两个样本的方差分别是 ， ，∴ ，
∴样本甲的波动比样本乙小，
故选：B
【点睛】此题考查了方差，熟知方差是反映一组数据波动大小 的量是解题的关键．
7. 已知一次函数y＝kx﹣k，若函数值y随着自变量x值的增大而增大，则该函数的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣k，函数值y随着自变量x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限．
故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k>0，b＞0时，
函数图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；当k>0，b<0时，函数图象经过一、三、四象限，y
随x的增大而增大；当k<0，b>0时，函数图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；当k<0，b<0时，
函数图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小.
8. 如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°， ，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，CP＝2，
如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
A. 2B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2， ，易得△OCP是等腰三角形，∠COP＝
30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
【详解】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝∠COP＝30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠COP＝∠CPO，
∴OC＝CP＝2，
∵∠PCE＝∠AOB＝60°，PE⊥OB，
∴∠CPE＝30°，
∴CE＝ CP＝1，
∴ ，
∴ ，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线，此题难度适中，
注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（共6小题；共30分）
9. 如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ， 为 边中点，已知 ，则
的长为_________ ．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出 ，进而得出 是三角形的中位线，即可得出答案．
【详解】在平行四边形 中， ，
点 是 的中点，
是三角形的中位线，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键．
10. 已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式 ，
∴ ，
解得： ．故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
11. 若一次函数y=kx+b，当－3≤x≤1时，对应的y值满足1≤y≤9，则一次函数的解析式为____________.
【答案】y=2x+7或y=-2x+3
【解析】
【详解】解：分两种情况讨论：
（1）当k＞0时， ，解得： ，此时y=2x+7；
（2）当k＜0时， ，解得： ，此时y=-2x+3．
综上所述：所求的函数解析式为：y=2x+7或y=-2x+3．
点睛：本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：
在定义域上是单调函数，本题难度不大．
12. 已知（a+b）（a+b﹣4）＝﹣4，那么（a+b）＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】设a+b＝t，根据一元二次方程即可求出答案．
【详解】解：设a+b＝t，
原方程化为：t（t﹣4）＝﹣4，
解得：t＝2，
即a+b＝2，
故答案为：2
【点睛】本题考查换元法及解一元二次方程,关键在于整体换元,简化方程.
13. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是___________.
【答案】6
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，再由∠ABC=60°得△ABC为等边三角形即可求得答案．【详解】根据菱形的性质可得AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
则△ABC为等边三角形，
则AC=AB=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐
标为__________．
【答案】（4,2）
【解析】
【详解】试题考查知识点：图形绕固定点旋转
思路分析：利用网格做直角三角形AMB，让△AMB逆时针旋转90°，也就使AB逆时针旋转了90°，由
轻易得知 ，图中的AB′就是旋转后的位置．点B′刚好在网格格点上，
坐标值也就非常明显了．
具体解答过程：
如图所示．做AM∥x轴、BM∥y轴，且AM与BM交于M点，则△AMB为直角三角形,线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°，可以视为将△AMB逆时针方向旋转90°（ ）得
到△ANB′后的结果．
∴ ,AN⊥x轴，NB′⊥y轴，点B′刚好落在网格格点处
∵线段AB上B点坐标为（1，3）
∴点B′的横坐标值为：1+3=4；纵坐标值为：3-1=2
即点B′的坐标为（4,2）
试题点评：在图形旋转涉及到的计算中，还是离不开我们所熟悉的三角形．
三、解答题（共13小题；共169分）
15. 如图，在 中， ，点 在边 上，使 ，过点 作 ，分别
交 于点 ，交 的延长线于点 ．求证： ．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据 得出 ，再根据 ，故 ，证明 ≌
即可证明 .
【详解】∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．
在 和 中， ，
∴ ≌ （AAS），∴ ．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形两锐角互
余以及三角形全等的判定和性质是解题的关键.
16. 先化简： ，当 时，再从 的范围内选取一个合适的整数a代
入求值．
【答案】原式= ，a在规定的范围内取整数，原式均无意义．
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的a的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式=
=
= ，
在 中，a可取的整数为 、0、1，而当 时，
①若 ，分式 无意义；
②若 ，分式 无意义；
③若 ，分式 无意义．所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义，所求值不存在．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
的
17. 一个矩形 长为a，宽为b(a＞0，b＞0)，则矩形的面积为a•b.代数式xy(x＞0，y＞0)可以看作是边
长为x和y的矩形的面积.我们可以由此解一元二次方程：x2+x﹣6＝0(x＞0).具体过程如下：
①方程变形为x(x+1)＝6.
②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵S ＝(x+x+1)2，又S ＝4x(x+1)+12.
ABCD ABCD
∴(x+x+1)2＝4x(x+1)+1，又x(x+1)＝6，
∴(2x+1)2＝25，
∵x＞0，
∴x＝2.
参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx﹣n＝0的解(x＞0，m＞0，n＞0).(要求：画出示意图，标注相关
线段的长度，写出解题步骤)
【答案】画图见解析；x＝ ( ﹣m)(m＞0，n＞0).
【解析】
【分析】根据已知求一元二次方程的具体过程即可求解.
【详解】解：①方程变形 为x(x+m)＝n；
②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.∵S ＝(x+x+m)2，又S ＝4x(x+m)+m2.
ABCD ABCD
∴(x+x+m)2＝4x(x+m)+m2，又x(x+m)＝n，
∴(2x+m)2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝ ( ﹣m)(m＞0，n＞0).
【点睛】本题主要考查根据材料解一元二次方程，能够读懂材料，理解解一元二次方程的方法是解题的关
键.
18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）连接AC，DE，当 四边形ACED是正方形？请说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）45°，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADO＝∠ECO，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用ASA
证明 AOD≌△EOC；
（2）△当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，由（1）得四边形ACED是平行四边形，再证对角
线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BE
∴∠ADO＝∠ECO
又∵O是CD的中点
∴OD＝OC
在 AOD和 EOC中
△ △∴△AOD ≌ EOC （ASA）
△
（2）45°
由（1）知，OA=OE,OC=OD
∴四边形ACED是平行四边形
∴AD＝CE
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC
∴BC ＝CE
当∠B＝∠AEB＝45°时，
且
∴四边形ACED是正方形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握对角线互相垂直且相等的
平行四边形是正方形．
19. 已知弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．
下表中记录的是两次挂不同重量重物的质量（在弹性限度内）与相对应的弹簧长度：
所挂重物质量x（千克） 2.5 5弹簧长度y（厘米） 7.5 9
求不挂重物时弹簧的长度．
【答案】不挂重物时弹簧的长度为6厘米
【解析】
【分析】弹簧总长y=挂上xkg的重物时弹簧伸长的长度+弹簧原来的长度，把相关数值代入即可．
【详解】设长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)的一次函数关系式是：y=kx+b(k≠0)
将表格中数据分别代入为： ，
解得： ，
∴y= x+6，当x＝0时，y＝6．
答：不挂重物时弹簧的长度为6厘米
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程
20. “十一”黄金周期间，某市在 天中外出旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表
示比前一天少的人数）
日期 日 日 日 日 日 日 日
人数变化（万人）
（1）若 月 日外出旅游人数为 ，那么 月 日外出旅游的人数是多少？
（2）请判断七天内外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少？
（3）如果最多一天有出游人数 万人，那么若 月 日外出旅游的有多少人？
【答案】（1） 万人.（2）最多的是 月 日，人数为 万人；最少的是 月 日，人数
为 万人，相差2.2万人；（3） 月 日外出旅游的有 万人.
【解析】
【分析】（1）根据若9月30日外出旅游人数为a，正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的
人数，分别表示出每天旅游的人数，即可解决；
（2）由（1）表示出10月3日到6日4天分别人数，即可得出旅游人数最多的是哪天，最少是哪天，以及它们相差多少万人；
（3）最多一天有出游人数3万人，即：a+2.8=3万，可得出a的值.
【详解】（1） 万人
答： 月 日外出旅游的人数是 万人.
（2） 月 日： 万人
月 日： 万人
月 日： 万人
月 日： 万人
月 日： 万人
月 日： 万人
月 日： 万人
最多的是 月 日，人数为 万人；最少的是 月 日，人数为 万人
相差 （万人）
（3）解：由题意得 ， （万人）
月 日外出旅游的有 人.
【点睛】本题考查了有理数加减混合运算的应用，关键是理解正数是表示比前一天多的人数，负数是表示
比前一天少的人数.
21. 如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得
到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，
从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形；
【详解】（1）证明：由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD；
（2）证明：∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识，属于
常考题型，正确理解题意、熟练掌握菱形的菱形的判定是解题的关键．22. 世纪 年代起，苏州河沿岸集中了大量工厂和棚户简屋，工业污水和生活污水未经处理直接排入
河中，使苏州河的水质不断恶化，最终变成一条臭河． 年代起，上海市政府加大监管力度，投放大量
财力用于苏州河的治理，并对沿岸工厂的污水排放量实行监控．通过实践表明，若每天有 吨污水排
入苏州河，则每吨需要 元来进行污水处理，并且每减少 吨污水排放，每吨的污水处理费可以减少
元，为了使每天的污水处理费用为 万元，则沿岸的工厂每天的污水排放量是多少吨？
【答案】750
【解析】
【分析】设每天的污水排放量减少 吨，其中 ，则每吨处理费用减少 元，由题意，得
，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可．
【详解】解：设每天的污水排放量减少 吨，其中 ，则每吨处理费用减少 元，
由题意，得 ，
整理得 ，
解得 （舍去）或 ，
当 ， ，每天的污水排放量为 （吨），
答：沿岸的工厂每天的污水排放量是 750吨．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并正确的求解．
23. 已知关于 的一元二次方程： ．
（1）求证：方程总有两个实根；
（2）若 是整数，方程的根也是整数，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）计算 ，即可得出结论；
（2）公式法解一元二次方程，得出 ，根据题意，即可求解．【小问1详解】
解：依题意， ，
方程总有两个实根．
【小问2详解】
，
，
均为整数，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的，小明对学校所添置的一
批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度，于是，他测量了一套课桌、凳上对应四
档的高度，得到如下数据见下表：
档次高度 第一档 第二档 第三档 第四档
凳 高 x
37.0 40.0 42.0 45.0
（cm）
.
桌 高 y 78
70.0 74.8 82.8
（cm） 0
（1）小明经过对数据探究，发现桌高 是凳高 的一次函数，请你写出这个一次函数的关系式（不要
求写出 的取值范围）；
（2）小明回家后测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 ，凳子的高度为 ，请你判断
它们是否配套，并说明理由．
【答案】（1）
（2）不配套，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法解答即可；（2）当 时，求得 ；然后再和 比较即可解答．
【小问1详解】
解：设桌高 与凳高 的关系为 ，
依题意得 解得 ，
所以桌高 与凳高 的关系式为 ．
【小问2详解】
解：不配套．理由如下：
当 时， ，
因为 ，
所以该写字台与凳子不配套．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，运用待定系数法求得函数解析式是解答本题的关键．
25. 如图，在 中， ，点 、 分别是边 、 的中点，点 在边 上．若
， ， ，求四边形 的周长．
【答案】
【解析】
【分析】先由SSS证明 ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三
△
线合一性质得出BD=CD= BC=3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得
出DE= AB，DF= AC，证出AE=AF=DE=DF，即可求出结果．
【详解】∵点E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE=BE= AB，AF=CF= AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在 ADE和 ADF中，
△ △
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，
即AD平分∠BAC，
∴BD=CD= BC=3，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴ ，
∵在Rt ABD和Rt ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，
△ △
∴DE= AB，DF= AC，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB= ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性
质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
26. 我市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房
间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单
人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房
间数为 .
（1）根据题意，填写下表：
单人间的房间数 10 … … 30
双人间的房间数 _________ … … 60三人间的房间数 70 … _________ … _________
养老床位数 260 … _________ … _________
（2）若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求 的值；
（3）求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
【答案】（1）20； ； ；10；180 （2）25 （3）260个；180个
【解析】
【分析】（1）根据双人间的房间数是单人间的2倍可得双人间是单人甲的房间数的两倍，再根据总需要
100个房间数即可推出三人间和床位数的答案.
（2）规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100-
3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出关于t的一元一次方程，
解方程即可得出结论；
（3）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍
的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：（1）双人间的房间数： ；
三人间的房间数： = ；
养老床位数： = ；
三人间的房间数： =10；
养老床位数： =180.
（2）由题意得： ，解得： ，
∵ ，符合题意.
答： 的值是25.
（3）设该养老中心建成后能提供养老床位 个，
由题意得： ，
∵ ，∴ 随 的增大而减小.
当 时， 的最大值为 （个），
当 时， 的最小值为 （个）.
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个.【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握计算法则.
27. 如图，将平行四边形 的边 延长到点 ，使 ，连接 ，交 于点 ．若
，连接 ， ．求证：四边形 是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证四边形 是平行四边形，得 ， ，再证 ，即可得出四边形
是矩形．
【详解】 四边形 是平行四边形，
， ，
四边形 是平行四边形．
， ．
， ，
．
，
．
．
，
， ．
．
四边形 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩
形的判定与性质是解此题的关键．
