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2023 年高考押题预测卷 03
数学·全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．设集合 ，1，2， ， ，则
A． B． ， C． ，1， D．
【答案】
【解析】解： ，1，2， ， ，
， ．
故选： ．
2．若复数 满足 ，则
A．7 B．10 C．11 D．25
【答案】A
【解析】解：由已知可得 ，
因此 ．
故选：A．
3．一组数据如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，则该组数据的第30百分位数是
A．12 B．12.5 C．13 D．13.5
【答案】C
【解析】解：根据题意得，该组数据有11个数，且已经从小到大排列，
则该组数据的第30百分位数是 ，所以取第4个数13．
故选： ．
4． 的展开式中， 的系数等于
A． B． C．10 D．45
【答案】D【解析】解： 的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 项的系数为： ．
故选： ．
5．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．
它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图 2所示．
已知球的半径为 ，酒杯的容积 ，则其内壁表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设圆柱部分的高是 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
内壁表面积为 ，
故选： ．
6．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，当 面积最大时，实数 的值
为
A．2 B．1 C． D．【答案】B
【解析】解： ，可得 ，即 时， 面积最大，
此时圆心 到直线的距离 ，
， ，又 ， ．
故选： ．
7．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，且当 ， 时，
．若 （4） ，则
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】解：因为 为偶函数，所以 ，
用 代替 得： ，
因为 为奇函数，所以 ，
故 ①，
用 代替 得： ②，
由①②得： ，
所以函数 的周期 ，
所以 （4） ，即 ，
因为 ，令 得： （1） （1），故 （1） ， （1） ，
解得： ，所以 ， 时， ，
因为 ，
令 ，得 ，
其中 ，所以 ，
因为 ，
令 得： ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
令 得： ，
故 ， ．
故选： ．
8．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：令 ，
所以 时， ，
因为 ，即 ，
所以 ，故 ，即 ，
令 ，则 ，显然 在 单调递增，
令 ，得 ，故 在 上单调递增，因为 ，故 ，则 ，
故 在 上单调递增，则 （1） ，
即 ，即 ，故 ，
综上： ．
故选： ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】解：由已知可得 ，则 ，
又 ， ，解得 ，故 正确， 错误，
所以 ，则 ，故 错误，
又 ，解得 （负值舍去），故 正确．
故选： ．
10．已知某校有 1200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成 ； 绩 近似服从正态分布
，则下列说法正确的有
（参考数据：
① ；
② ；③
A．这次考试成绩超过100分的约有500人
B．这次考试分数低于70分的约有27人
C．
D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
【答案】BD
【解析】解：对于 ， ， ，则 ，则成绩超过100分的约有 人，
故选项 错误；
对于 ， ，
所以 ，
故分数低于70分的人数约为 ，即约27人，故选项 正确；
对于 ， ，
，
所以 ，故选项 错误；
对于 ，因为 ，且至少有2人的分数超过100分的情况如下；
①恰好2人时，概率为 ；
②3人均超过100分时，概率为 ．
则至少有2人的分数超过100分的概率为 ，故选项 正确．
故选： ．
11．如图，正方形 的边长为 ，动点 在正方形内部及边上运动， ，则下列结论正确
的有（ ）A．点P在线段BC上时， 为定值
B．点P在线段CD上时， 为定值
C．λ+μ的最大值为2
D．使 的P点轨迹长度为
【答案】AC
【解析】解：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设点P（x,y）（0≤x≤2，0≤y≤2），
则 ，
当点P在线段BC上时，x=2， ，故A正确；
当点P在线段CD上时，x不是定值， 不为定值，故B错误；由 得（x,y）=λ（2，0）+μ（0，2）=（2λ，2μ），则 ，
所以 ，故当x=y=2时，即当点P与点C重合时，λ+μ取得最大值2，故C正确；
由 得 ，直线 交x轴于点E（1，0），交y轴于点 ，
所以，使 的P点轨迹为线段EF，且 ，故D错误．
故选：AC．
12．已知 为双曲线 ： 上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为 ，记线段 ， 的
长分别为 ， ，则( )
A．若 ， 的斜率分别为 ， ，则
B．
C． 的最小值为
D． 的最小值为
【答案】AD
【解析】 如右图所示，设 ，则 ．由题设条件知：
双曲线 的两渐近线： ．
设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ， ，所以 ，故 选项正确；
由点线距离公式知： ，
故 选项错误；
，所以 不正确；
由四边形 中，所以 ，
，
所以 正确，
故选： ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数 的图象在点 ， （1） 处的切线的斜率为 ．
【答案】81
【解析】解：函数 ，
所以 ，
故 （1） ．
故答案为：81．
14．如图过抛物线 的焦点 的直线依次交拋物线及准线于点 若且 则 .
【答案】
【解析】过 分别作准线的垂线，垂足为
．
所以 为 的中点 .
15．若 ，函数 在区间 上单调递减，且在区间 上存在零点，则 的
取值范围是 ．
【答案】 ， ．
【解析】解：由 ， ，得 ， ，
即函数的单调递减区间为 ， ， ，
在区间 ， 单调递减，
且 ， ，
， ，
， ，即 ， ，，
当 时， ，
由 ， ，得 ， ，
在区间 有零点，
满足 ， ，
当 时， ，得 ，
综上： ，即 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
16．在侧棱长为2的正三棱锥 中， ， ， 两两垂直， 、 分别为 、 的中点，
则三棱锥 的外接球的表面积为 ，若 为 上的动点， 是平面 上的动点，则
的最小值是 ．
【答案】 ； ．
【解析】解：因为 ， ， 两两垂直， ，
所以 ，
因为 ， 分别为 、 的中点，
所以 ，
故 为三棱锥 的外接球球心，所以三棱锥 的外接球的表面积 ；
由题知在正三棱锥 中， 为 中点，
， ，
平面 ，
设 中点为 ，连接 ，
为 中点，
，且 ，
平面 ，
即为 在平面 上的射影，
沿 展开平面 ，使之与平面 重合，
此时， 的最小值即为点 到 的距离，
故过点 作 于点 ．
又 ，
， ，
．
，
，
故答案为： ； ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 周长的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）因为 ，
，
因为 ，
所以 ，
由 为三角形内角得 ；
（2）若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 ， ．
故 周长的最大值为 ．
18．（12分）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（1） （2）略
【解析】解：（1） ①，
当 时， ， ，则 ，
当 时， ②，
由① ②得 ，
又 ，则 ，
数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
；
（2）证明：由（1）得 ，则 ，
，
故 成立．
19．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 平面 ，， ， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）略（2）
【解析】证明：（1） 平面 ， 平面 ，
，
， ，
则 ，
则 ，
又 ， ， 平面 ，
平面 ；
解：（2）由题意可知， 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分
别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ，
则 ，0， 、 ，0， 、 、 ，1， 、 ，0， ，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ，取 ，解得 ，即 ，
由 ，得 ，取 ，解得 ，即 ，
因为 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
20．（12分）某大学有 ， 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在
学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲 30天 20天 40天 10天
乙 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（Ⅰ）分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的概率；
（Ⅱ）记 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求 的分布列和数学期望 ；
（Ⅲ）假设 表示事件“ 餐厅推出优惠套餐”， 表示事件“某学生去 餐厅就餐”， ，
一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的
概率要大，证明： ．
【答案】（Ⅰ）0.3，0.4（Ⅱ）略（Ⅲ）略
【解析】解：（Ⅰ）设事件 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐”，
事件 为“乙员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的天数为40，
所以 ， ．
（Ⅱ）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的概率为0.1，
乙员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的概率为0.2，
记 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则 的所有可能取值为1、2，
所以 ， ，
所以 的分布列为：
1 2
0.1 0.9
所以 的数学期望 ．
（Ⅲ）证明：由题知 ，
即 ，即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ．
21．（12分）一束光线从点 出发，经直线 ： 上一点 反射后，恰好穿过点 ．
求点 的坐标；
求以 为焦点且过点 的椭圆 的方程；
设点 是椭圆 上除长轴两端点外的任意一点，试问在 轴上是否存在两定点 ，使得直线
的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点 的坐标；若不存在，请说明
理由．【答案】（1） （2） （3）
【解析】 设 关于 的对称点为 ，
则 且 解得 即 ，
易得直线 方程为 ，
由 解得 ．
因为 ，根据椭圆定义，
得
所以 ．又 ，
所以 ．所以椭圆 的方程为 ．
方法一 假设存在两定点为 ，
则
又 ，
若要 是定值，则要满足 ，解得 或 ，
所以有且只有两定点 ，
使得 为定值 ．
方法二 假设存在两定点为 ，
使得对于椭圆上任意一点 (除长轴两端点)都有 ( 为定值)，
即 将 代入并整理得
由题意 式对 恒成立，
所以 ，解之得 或 ．
所以有且只有两定点 ，
使得 为定值 ．
22．（12分）已知函数 ．
（1）讨论函数 在 ， 上的单调性；
（2）若 有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
（参考数据：
【答案】（1）：当 时， 在 ， 上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增．（2）略
【解析】解：（1）因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
当 时，即 时， ，
则 在 ， 上单调递增；
当 ，即 时， ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
则 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上：当 时， 在 ， 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增．
（2）因为 ，
所以 ，
因为 有两个极值点 ， ，所以 有两个零点 ， ，即方程 有两个根 ， ，
令 ，则 的图像与 的图像有两个交点，
又 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
又当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；
当 趋于无穷大时， 的增长速率远远小于 的增长速率，所以 趋于0，
由此作出 的图像如下：所以 ，则 ，
又 ，则 ，
故 ，
因为 ，令 ，则 ，
令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 （1） ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 （1） ，
故当 时， ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，即 ，所以 （2） ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ．
